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三、解答题
7. 如图所示，A，B，C，D四点不在同一直线上，按下列要求画图.
（1）过点A和点D画直线AD；
（2）画射线CD；
（3）连接AB，BC；
（4）延长BC，交射线DA的反向延长线于点E.
7. 如图所示，A，B，C，D四点不在同一直线上，按下列要求画图.
（1）过点A和点D画直线AD；
（2）画射线CD；
（3）连接AB，BC；
（4）延长BC，交射线DA的反向延长线于点E.
答案
解：
按要求依次完成作图：
（1）过点A、点D作向两方无限延伸的直线，即为直线AD；
（2）以点C为端点，经过点D向D点外侧无限延伸，得到射线CD；
（3）分别作连接点A与点B、点B与点C的有限线段，得到线段AB、线段BC；
（4）沿BC方向延长线段BC，同时从点A出发，沿背离点D的方向延长射线DA，两延长线的交点标记为点E。
最终得到的图形满足题目的全部作图要求。
按要求依次完成作图：
（1）过点A、点D作向两方无限延伸的直线，即为直线AD；
（2）以点C为端点，经过点D向D点外侧无限延伸，得到射线CD；
（3）分别作连接点A与点B、点B与点C的有限线段，得到线段AB、线段BC；
（4）沿BC方向延长线段BC，同时从点A出发，沿背离点D的方向延长射线DA，两延长线的交点标记为点E。
最终得到的图形满足题目的全部作图要求。
解析
【分析】
解决本题首先要明确直线、射线、线段、反向延长线的基本特点，再按顺序分步作图：①直线过两点后向两端无限延伸，无端点，因此画直线AD只需连接A、D后向两端延长即可；②射线有1个端点，仅向一侧无限延伸，画射线CD要注意端点是C，向D的方向延伸；③线段有2个端点，长度有限，连接A和B、B和C就能得到线段AB、BC；④延长BC是从C端沿BC的走向向外延伸，射线DA的反向延长线是从A端向远离D的方向延伸，两条线的交点就是点E，按上述思路作图即可。
【解析】
按要求依次完成作图：
（1）过点A、点D作向两方无限延伸的直线，即为直线AD；
（2）以点C为端点，经过点D向D点外侧无限延伸，得到射线CD；
（3）分别作连接点A与点B、点B与点C的有限线段，得到线段AB、线段BC；
（4）沿BC方向延长线段BC，同时从点A出发，沿背离点D的方向延长射线DA，两延长线的交点标记为点E。
【答案】
作出满足题目全部作图要求的图形即可。
【知识点】
直线的画法，射线的画法，线段的画法
【点评】
本题属于基础的几何作图题，主要考查对直线、射线、线段的特征及延长线、反向延长线概念的理解，作图时要注意区分不同线的端点和延伸方向，避免混淆射线端点导致出错。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确直线、射线、线段、反向延长线的基本特点，再按顺序分步作图：①直线过两点后向两端无限延伸，无端点，因此画直线AD只需连接A、D后向两端延长即可；②射线有1个端点，仅向一侧无限延伸，画射线CD要注意端点是C，向D的方向延伸；③线段有2个端点，长度有限，连接A和B、B和C就能得到线段AB、BC；④延长BC是从C端沿BC的走向向外延伸，射线DA的反向延长线是从A端向远离D的方向延伸，两条线的交点就是点E，按上述思路作图即可。
【解析】
按要求依次完成作图：
（1）过点A、点D作向两方无限延伸的直线，即为直线AD；
（2）以点C为端点，经过点D向D点外侧无限延伸，得到射线CD；
（3）分别作连接点A与点B、点B与点C的有限线段，得到线段AB、线段BC；
（4）沿BC方向延长线段BC，同时从点A出发，沿背离点D的方向延长射线DA，两延长线的交点标记为点E。
【答案】
作出满足题目全部作图要求的图形即可。
【知识点】
直线的画法，射线的画法，线段的画法
【点评】
本题属于基础的几何作图题，主要考查对直线、射线、线段的特征及延长线、反向延长线概念的理解，作图时要注意区分不同线的端点和延伸方向，避免混淆射线端点导致出错。
【难度系数】
0.9
8. 阅读下表，解答下列问题.
线段AB上的点数n（包括A，B两点） | 图例 | 线段总条数N
--- | --- | ---
3 | $A---C---B$ | $3=2+1$
4 |
| $6=3+2+1$
5 | $A---C---D---E---B$ | $10=4+3+2+1$
6 | $A---C---D---E---F---B$ | $15=5+4+3+2+1$
7 | |
（1）在表中空格处画出图形，写出结果；
（2）用含$n$的代数式表示$N$；
（3）当$n=10$时，求$N$的值.
线段AB上的点数n（包括A，B两点） | 图例 | 线段总条数N
--- | --- | ---
3 | $A---C---B$ | $3=2+1$
4 |
| $6=3+2+1$5 | $A---C---D---E---B$ | $10=4+3+2+1$
6 | $A---C---D---E---F---B$ | $15=5+4+3+2+1$
7 | |
（1）在表中空格处画出图形，写出结果；
（2）用含$n$的代数式表示$N$；
（3）当$n=10$时，求$N$的值.
答案
8. （1）略 （2）$N=1+2+3+\dots+(n-1)=\frac{1}{2}n(n-1)$ （3）45
解析
【分析】
首先解决第（1）问：观察表格前几行的图例规律，n为线段上总点数，n每增加1，就在线段AB上多增加1个分点，因此n=7时，AB上除A、B外有5个分点，按顺序标注字母即可；线段总条数的规律是从n-1开始依次递减1相加到1，因此n=7时总条数为6+5+4+3+2+1。
然后解决第（2）问：观察表格中N和n的对应关系，n个点时，每个点和其余n-1个点可组成线段，但是每条线段会被重复计算2次，因此总条数为$\frac{n(n-1)}{2}$，也可通过等差数列求和推导：$1+2+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$。
最后第（3）问：将n=10代入第（2）问得到的代数式直接计算即可得到结果。
【解析】
（1）图例：在线段AB上依次标记5个分点，分别为C、D、E、F、G，即$A---C---D---E---F---G---B$；
线段总条数：$6+5+4+3+2+1=21$，即$21=6+5+4+3+2+1$。
（2）观察表格规律：当线段上有n个点时，线段总条数是从1到n-1的正整数之和，因此：
$N=1+2+3+\dots+(n-1)=\frac{1}{2}n(n-1)$
（3）当$n=10$时，代入$N=\frac{1}{2}n(n-1)$得：
$N=\frac{1}{2}×10×(10-1)=5×9=45$
【答案】
（1）图例略，线段总条数为21；（2）$N=\frac{1}{2}n(n-1)$；（3）45
【知识点】
线段计数规律，规律探究，代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类基础题，通过观察已知的线段点数与总条数的对应关系，归纳出通用的计数公式，再代入数值求解，侧重考查归纳推理能力和代数式的应用能力。
【难度系数】
0.7
首先解决第（1）问：观察表格前几行的图例规律，n为线段上总点数，n每增加1，就在线段AB上多增加1个分点，因此n=7时，AB上除A、B外有5个分点，按顺序标注字母即可；线段总条数的规律是从n-1开始依次递减1相加到1，因此n=7时总条数为6+5+4+3+2+1。
然后解决第（2）问：观察表格中N和n的对应关系，n个点时，每个点和其余n-1个点可组成线段，但是每条线段会被重复计算2次，因此总条数为$\frac{n(n-1)}{2}$，也可通过等差数列求和推导：$1+2+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$。
最后第（3）问：将n=10代入第（2）问得到的代数式直接计算即可得到结果。
【解析】
（1）图例：在线段AB上依次标记5个分点，分别为C、D、E、F、G，即$A---C---D---E---F---G---B$；
线段总条数：$6+5+4+3+2+1=21$，即$21=6+5+4+3+2+1$。
（2）观察表格规律：当线段上有n个点时，线段总条数是从1到n-1的正整数之和，因此：
$N=1+2+3+\dots+(n-1)=\frac{1}{2}n(n-1)$
（3）当$n=10$时，代入$N=\frac{1}{2}n(n-1)$得：
$N=\frac{1}{2}×10×(10-1)=5×9=45$
【答案】
（1）图例略，线段总条数为21；（2）$N=\frac{1}{2}n(n-1)$；（3）45
【知识点】
线段计数规律，规律探究，代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类基础题，通过观察已知的线段点数与总条数的对应关系，归纳出通用的计数公式，再代入数值求解，侧重考查归纳推理能力和代数式的应用能力。
【难度系数】
0.7
9. 已知平面内有A，B，C，D四点，过其中两点画一条直线，一共可以画多少条直线？请作图说明。
答案
1条或4条或6条，图略
解析
【分析】
解题核心依据是“两点确定一条直线”，由于题目未明确四点的位置关系，因此需要分类讨论所有可能的位置情况：首先考虑四点全部共线的情况，再考虑有且仅有三点共线、第四个点在直线外的情况，最后考虑任意三点都不共线的情况，分别计算每种情形下的直线数量即可。
【解析】
我们分三种情况讨论：
1. 当A、B、C、D四点在同一条直线上时，过任意两点只能画出1条直线；
2. 当四点中有且仅有三点在同一条直线上时，比如A、B、C共线，D在该直线外，此时可画出的直线有：过A、B、C的1条共线直线，以及AD、BD、CD这3条连线，总计1+3=4条直线；
3. 当四点中任意三点都不在同一条直线上时，过两点可画出的直线有AB、AC、AD、BC、BD、CD，总计6条直线。
综上，一共可以画1条、4条或6条直线，三种情况的作图分别对应上述三类位置即可，图略。
【答案】
1条或4条或6条，图略
【知识点】
两点确定一条直线；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略四点位置的多种可能性，容易漏解，解题的关键是明确分类标准，按照共线点数从多到少的顺序讨论，做到不重不漏，能锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
解题核心依据是“两点确定一条直线”，由于题目未明确四点的位置关系，因此需要分类讨论所有可能的位置情况：首先考虑四点全部共线的情况，再考虑有且仅有三点共线、第四个点在直线外的情况，最后考虑任意三点都不共线的情况，分别计算每种情形下的直线数量即可。
【解析】
我们分三种情况讨论：
1. 当A、B、C、D四点在同一条直线上时，过任意两点只能画出1条直线；
2. 当四点中有且仅有三点在同一条直线上时，比如A、B、C共线，D在该直线外，此时可画出的直线有：过A、B、C的1条共线直线，以及AD、BD、CD这3条连线，总计1+3=4条直线；
3. 当四点中任意三点都不在同一条直线上时，过两点可画出的直线有AB、AC、AD、BC、BD、CD，总计6条直线。
综上，一共可以画1条、4条或6条直线，三种情况的作图分别对应上述三类位置即可，图略。
【答案】
1条或4条或6条，图略
【知识点】
两点确定一条直线；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略四点位置的多种可能性，容易漏解，解题的关键是明确分类标准，按照共线点数从多到少的顺序讨论，做到不重不漏，能锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
