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【例2】关于$x$的一元二次方程$x^2 + kx + (k - 1)=0$.
(1)求证:对于任意实数$k$,该方程总有实数根.
(2)当方程有两个相等实数根时,求$k$的值及方程的根.
(1)求证:对于任意实数$k$,该方程总有实数根.
(2)当方程有两个相等实数根时,求$k$的值及方程的根.
答案
(1)证明: 因为 $\Delta =k^2 -4×1×(k -1)=k^2 -4k +4=(k -2)^2≥0$,
所以对于任意实数 $k$,该方程总有实数根.
(2) $k$ 的值为 2, 方程的根为 $x_1=x_2=-1$.
所以对于任意实数 $k$,该方程总有实数根.
(2) $k$ 的值为 2, 方程的根为 $x_1=x_2=-1$.
解析
【分析】
(1)要证明一元二次方程对任意实数k总有实数根，只需证明根的判别式Δ≥0恒成立即可。首先确定方程中a=1，b=k，c=k-1，代入Δ=b²-4ac的公式，将得到的表达式化简整理，若能得到非负的形式（如完全平方）即可完成证明。
(2)当一元二次方程有两个相等实数根时，满足Δ=0，据此先求出k的值，再将k代入原方程，用配方法或因式分解法求解方程即可得到根。
【解析】
(1)证明：在一元二次方程$x^2 + kx + (k - 1)=0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=k$，常数项$c=k-1$，
则根的判别式$\Delta =b^2-4ac =k^2 -4×1×(k -1)=k^2 -4k +4=(k -2)^2$，
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$(k-2)^2≥0$，
∴ 对于任意实数$k$，该方程总有实数根。
(2)解：
∵ 方程有两个相等实数根，
∴ $\Delta =0$，即$(k-2)^2=0$，解得$k=2$，
将$k=2$代入原方程得：$x^2 + 2x + 1=0$，
因式分解得$(x+1)^2=0$，
解得$x_1=x_2=-1$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；
(2) $k$的值为2，方程的根为$x_1=x_2=-1$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题核心是牢记判别式与根的三种对应关系：Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时方程有两个相等的实数根，Δ＜0时方程没有实数根。计算判别式后化简为完全平方形式是解题的关键步骤，求解方程时选择因式分解法可简化运算。
【难度系数】
0.8
(1)要证明一元二次方程对任意实数k总有实数根，只需证明根的判别式Δ≥0恒成立即可。首先确定方程中a=1，b=k，c=k-1，代入Δ=b²-4ac的公式，将得到的表达式化简整理，若能得到非负的形式（如完全平方）即可完成证明。
(2)当一元二次方程有两个相等实数根时，满足Δ=0，据此先求出k的值，再将k代入原方程，用配方法或因式分解法求解方程即可得到根。
【解析】
(1)证明：在一元二次方程$x^2 + kx + (k - 1)=0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=k$，常数项$c=k-1$，
则根的判别式$\Delta =b^2-4ac =k^2 -4×1×(k -1)=k^2 -4k +4=(k -2)^2$，
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$(k-2)^2≥0$，
∴ 对于任意实数$k$，该方程总有实数根。
(2)解：
∵ 方程有两个相等实数根，
∴ $\Delta =0$，即$(k-2)^2=0$，解得$k=2$，
将$k=2$代入原方程得：$x^2 + 2x + 1=0$，
因式分解得$(x+1)^2=0$，
解得$x_1=x_2=-1$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；
(2) $k$的值为2，方程的根为$x_1=x_2=-1$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题核心是牢记判别式与根的三种对应关系：Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时方程有两个相等的实数根，Δ＜0时方程没有实数根。计算判别式后化简为完全平方形式是解题的关键步骤，求解方程时选择因式分解法可简化运算。
【难度系数】
0.8
【例3】已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x + m -1=0$有两个实数根$x_1,x_2$。
(1)求$m$的取值范围。
(2)是否存在实数$m$，满足$m(x_1 -2)(x_2 -2)=-4$？若存在，求出实数$m$的值；若不存在，请说明理由。
(1)求$m$的取值范围。
(2)是否存在实数$m$，满足$m(x_1 -2)(x_2 -2)=-4$？若存在，求出实数$m$的值；若不存在，请说明理由。
答案
(1)$m≤5$.
(2)存在.实数 $m$ 的值为 1 或 4.
(2)存在.实数 $m$ 的值为 1 或 4.
解析
【分析】
(1) 一元二次方程有两个实数根的核心判断依据是根的判别式$\Delta ≥ 0$，只需将方程对应系数代入判别式，解不等式即可求出$m$的取值范围。
(2) 要判断是否存在符合条件的$m$，先通过根与系数的关系得到$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，再将$(x_1-2)(x_2-2)$展开后代入上述表达式，结合给定等式得到关于$m$的方程，求解后结合第一问的取值范围检验，符合条件的$m$即为所求。
【解析】
(1)
∵ 一元二次方程$x^2 -4x + m -1=0$有两个实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=m-1$
代入得：$\Delta = (-4)^2 -4×1×(m-1) ≥ 0$
计算得：$16 -4m +4 ≥ 0$
整理得：$20-4m ≥ 0$
解得：$m ≤ 5$
(2) 存在，理由如下：
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=m-1$
展开$(x_1-2)(x_2-2)$得：
$(x_1-2)(x_2-2) = x_1x_2 -2(x_1+x_2) +4$
代入$x_1+x_2$、$x_1x_2$的表达式得：
$(x_1-2)(x_2-2) = (m-1) - 2×4 +4 = m-5$
将其代入$m(x_1-2)(x_2-2) = -4$得：
$m(m-5) = -4$
整理得：$m^2 -5m +4 = 0$
因式分解得：$(m-1)(m-4)=0$
解得：$m_1=1$，$m_2=4$
结合(1)的结论$m≤5$，可知$m=1$和$m=4$均符合要求。
【答案】
(1)$m≤5$；(2)存在，实数$m$的值为1或4。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，解题的易错点是忽略参数需满足方程有实根的前提，求出参数后需结合判别式的限制检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
(1) 一元二次方程有两个实数根的核心判断依据是根的判别式$\Delta ≥ 0$，只需将方程对应系数代入判别式，解不等式即可求出$m$的取值范围。
(2) 要判断是否存在符合条件的$m$，先通过根与系数的关系得到$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，再将$(x_1-2)(x_2-2)$展开后代入上述表达式，结合给定等式得到关于$m$的方程，求解后结合第一问的取值范围检验，符合条件的$m$即为所求。
【解析】
(1)
∵ 一元二次方程$x^2 -4x + m -1=0$有两个实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=m-1$
代入得：$\Delta = (-4)^2 -4×1×(m-1) ≥ 0$
计算得：$16 -4m +4 ≥ 0$
整理得：$20-4m ≥ 0$
解得：$m ≤ 5$
(2) 存在，理由如下：
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=m-1$
展开$(x_1-2)(x_2-2)$得：
$(x_1-2)(x_2-2) = x_1x_2 -2(x_1+x_2) +4$
代入$x_1+x_2$、$x_1x_2$的表达式得：
$(x_1-2)(x_2-2) = (m-1) - 2×4 +4 = m-5$
将其代入$m(x_1-2)(x_2-2) = -4$得：
$m(m-5) = -4$
整理得：$m^2 -5m +4 = 0$
因式分解得：$(m-1)(m-4)=0$
解得：$m_1=1$，$m_2=4$
结合(1)的结论$m≤5$，可知$m=1$和$m=4$均符合要求。
【答案】
(1)$m≤5$；(2)存在，实数$m$的值为1或4。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，解题的易错点是忽略参数需满足方程有实根的前提，求出参数后需结合判别式的限制检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
【例4】中秋节是我国的传统节日，自古便有赏月、吃月饼等习俗.某甜品店在今年中秋节前推出一种新口味的月饼，以80元/盒的价格出售这种月饼，第一周销售50盒，第二、第三周该口味月饼十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到72盒.
(1)求第二、第三周该口味月饼销售量的周平均增长率.
(2)经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平.现甜品店为了回馈顾客，采用降价促销方式(售价低于80元/盒)，经过调查发现，该口味月饼每盒每降价1元，周销售量就增加3盒.已知该口味月饼的成本价为50元/盒，当该口味月饼每盒降价多少元时，该店铺第四周销售这种口味月饼可获利2160元？
(1)求第二、第三周该口味月饼销售量的周平均增长率.
(2)经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平.现甜品店为了回馈顾客，采用降价促销方式(售价低于80元/盒)，经过调查发现，该口味月饼每盒每降价1元，周销售量就增加3盒.已知该口味月饼的成本价为50元/盒，当该口味月饼每盒降价多少元时，该店铺第四周销售这种口味月饼可获利2160元？
答案
(1)第二、第三周该口味月饼销售量的周平均增长率为 20%.
(2)当该口味月饼每盒降价 6 元时,该店铺第四周销售这种口味月饼可获利 2160 元.
(2)当该口味月饼每盒降价 6 元时,该店铺第四周销售这种口味月饼可获利 2160 元.
解析
【分析】
(1) 本题属于增长率问题，核心解题公式为：初始量×(1+周平均增长率)ⁿ = n次增长后的量。已知第一周销量为初始量50盒，经过2周增长后第三周销量为72盒，设周平均增长率为x，代入公式列一元二次方程求解，再舍去不符合实际意义的负根即可。
(2) 本题属于销售利润问题，核心等量关系为：总利润=单盒利润×销售总数量。设每盒降价m元，先分别表示出降价后的单盒利润、销售总数量，再代入总利润2160元列方程，结合“售价低于80元”的条件舍去不符合要求的根即可。
【解析】
(1) 设第二、第三周该口味月饼销售量的周平均增长率为x。
根据题意列方程：$50(1+x)^2 = 72$
化简得：$(1+x)^2 = 1.44$
开方得：$1+x = ±1.2$
解得：$x_1 = 0.2 = 20\%$，$x_2 = -2.2$（增长率不能为负，不符合实际，舍去）。
(2) 设该口味月饼每盒降价m元（$m＞0$）。
降价后单盒利润为：$80-50-m=(30-m)$元
降价后周销售量为：$72+3m$盒
根据总利润为2160元列方程：$(30 - m)(72 + 3m) = 2160$
展开整理得：$m^2 -6m = 0$
因式分解得：$m(m-6)=0$
解得：$m_1=0$（不符合售价低于80元的要求，舍去），$m_2=6$。
【答案】
(1) 第二、第三周该口味月饼销售量的周平均增长率为20%；
(2) 当该口味月饼每盒降价6元时，该店铺第四周销售这种口味月饼可获利2160元。
【知识点】
一元二次方程的应用，增长率问题，销售利润问题
【点评】
本题结合生活场景命题，侧重考察一元二次方程的实际应用能力，解题关键是找准等量关系列方程，同时要注意结合实际要求对根的合理性进行检验，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
(1) 本题属于增长率问题，核心解题公式为：初始量×(1+周平均增长率)ⁿ = n次增长后的量。已知第一周销量为初始量50盒，经过2周增长后第三周销量为72盒，设周平均增长率为x，代入公式列一元二次方程求解，再舍去不符合实际意义的负根即可。
(2) 本题属于销售利润问题，核心等量关系为：总利润=单盒利润×销售总数量。设每盒降价m元，先分别表示出降价后的单盒利润、销售总数量，再代入总利润2160元列方程，结合“售价低于80元”的条件舍去不符合要求的根即可。
【解析】
(1) 设第二、第三周该口味月饼销售量的周平均增长率为x。
根据题意列方程：$50(1+x)^2 = 72$
化简得：$(1+x)^2 = 1.44$
开方得：$1+x = ±1.2$
解得：$x_1 = 0.2 = 20\%$，$x_2 = -2.2$（增长率不能为负，不符合实际，舍去）。
(2) 设该口味月饼每盒降价m元（$m＞0$）。
降价后单盒利润为：$80-50-m=(30-m)$元
降价后周销售量为：$72+3m$盒
根据总利润为2160元列方程：$(30 - m)(72 + 3m) = 2160$
展开整理得：$m^2 -6m = 0$
因式分解得：$m(m-6)=0$
解得：$m_1=0$（不符合售价低于80元的要求，舍去），$m_2=6$。
【答案】
(1) 第二、第三周该口味月饼销售量的周平均增长率为20%；
(2) 当该口味月饼每盒降价6元时，该店铺第四周销售这种口味月饼可获利2160元。
【知识点】
一元二次方程的应用，增长率问题，销售利润问题
【点评】
本题结合生活场景命题，侧重考察一元二次方程的实际应用能力，解题关键是找准等量关系列方程，同时要注意结合实际要求对根的合理性进行检验，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
