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知识点1）传播问题
解决此类问题要抓住两点：
假设1个人每次可以传染x个人，则第一轮后有
解决此类问题要抓住两点：
传染源
与传播速度
.假设1个人每次可以传染x个人，则第一轮后有
$(1+x)$
人被传染，第二轮后有$1+x+x(1+x)=(1+x)^2$
人被传染，第三轮后有$1+x+(1+x)x+(1+x)^2x=(1+x)^3$
人被传染……第n轮后有$(1+x)^n$
人被传染.答案
传染源 传播速度
第一轮后有$(1+x)$人被传染，第二轮后有$1+x+x(1+x)=(1+x)^2$人被传染，第三轮后有$1+x+(1+x)x+(1+x)^2x=(1+x)^3$人被传染，第n轮后有$(1+x)^n$人被传染。
第一轮后有$(1+x)$人被传染，第二轮后有$1+x+x(1+x)=(1+x)^2$人被传染，第三轮后有$1+x+(1+x)x+(1+x)^2x=(1+x)^3$人被传染，第n轮后有$(1+x)^n$人被传染。
解析
【分析】
解决传播类问题首先要明确两个核心要素：一是初始的传染源数量，二是每个传染源每轮的传播速度（即每个传染源每次能传染的人数）。推导每轮被传染总人数时，要注意每轮的所有患病者都是下一轮的传染源：第一轮初始1个传染源，每人传染x人，第一轮结束后总患病人数就是初始传染源加新增传染人数；第二轮时第一轮的所有患者都作为传染源传染他人，总人数就是第一轮总人数加上第二轮新增的传染人数，整理后可发现规律：每轮总患病人数都是上一轮的$(1+x)$倍，依此就能推出各轮及第n轮后的总人数。
【解析】
传播问题的两个核心关键点为传染源、传播速度。
各轮被传染总人数推导过程如下：
1. 初始有1个传染源，每人每次传染x个人，第一轮新增被传染人数为x人，因此第一轮后总共有$1+x$人被传染；
2. 第二轮时，第一轮被传染的$(1+x)$人全部作为新的传染源，每人传染x人，第二轮新增被传染人数为$x(1+x)$人，因此第二轮后总共有$1+x + x(1+x) = (1+x)(1+x) = (1+x)^2$人被传染；
3. 第三轮时，第二轮被传染的$(1+x)^2$人全部作为新的传染源，新增被传染人数为$x(1+x)^2$人，因此第三轮后总共有$(1+x)^2 + x(1+x)^2 = (1+x)^3$人被传染；
4. 按照此规律类推，第n轮后总共有$(1+x)^n$人被传染。
【答案】
传染源；传播速度；$\boldsymbol{(1+x)}$；$\boldsymbol{(1+x)^2}$；$\boldsymbol{(1+x)^3}$；$\boldsymbol{(1+x)^n}$
【知识点】
1. 传播问题模型
2. 代数式化简
3. 乘方规律
【点评】
本题是传播问题的基础规律推导题，核心是明确每轮的传染源范围，掌握推导逻辑即可快速总结出通用规律，为后续解决实际传播类应用题打下基础。
【难度系数】
0.8
解决传播类问题首先要明确两个核心要素：一是初始的传染源数量，二是每个传染源每轮的传播速度（即每个传染源每次能传染的人数）。推导每轮被传染总人数时，要注意每轮的所有患病者都是下一轮的传染源：第一轮初始1个传染源，每人传染x人，第一轮结束后总患病人数就是初始传染源加新增传染人数；第二轮时第一轮的所有患者都作为传染源传染他人，总人数就是第一轮总人数加上第二轮新增的传染人数，整理后可发现规律：每轮总患病人数都是上一轮的$(1+x)$倍，依此就能推出各轮及第n轮后的总人数。
【解析】
传播问题的两个核心关键点为传染源、传播速度。
各轮被传染总人数推导过程如下：
1. 初始有1个传染源，每人每次传染x个人，第一轮新增被传染人数为x人，因此第一轮后总共有$1+x$人被传染；
2. 第二轮时，第一轮被传染的$(1+x)$人全部作为新的传染源，每人传染x人，第二轮新增被传染人数为$x(1+x)$人，因此第二轮后总共有$1+x + x(1+x) = (1+x)(1+x) = (1+x)^2$人被传染；
3. 第三轮时，第二轮被传染的$(1+x)^2$人全部作为新的传染源，新增被传染人数为$x(1+x)^2$人，因此第三轮后总共有$(1+x)^2 + x(1+x)^2 = (1+x)^3$人被传染；
4. 按照此规律类推，第n轮后总共有$(1+x)^n$人被传染。
【答案】
传染源；传播速度；$\boldsymbol{(1+x)}$；$\boldsymbol{(1+x)^2}$；$\boldsymbol{(1+x)^3}$；$\boldsymbol{(1+x)^n}$
【知识点】
1. 传播问题模型
2. 代数式化简
3. 乘方规律
【点评】
本题是传播问题的基础规律推导题，核心是明确每轮的传染源范围，掌握推导逻辑即可快速总结出通用规律，为后续解决实际传播类应用题打下基础。
【难度系数】
0.8
知识点2）平均变化率问题
此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新的数据.
（1）如果增长率中的基数为$a$，平均增长率为$x$，则第一次增长后的数量为
（2）如果下降率中的基数为$a$，平均下降率为$x$，则第$n$次下降后的数量为
总结公式：$a(1+x)^2 = b$ 或 $a(1-x)^2 = b$，其中$a$表示增长或下降前的数据，$x$表示平均增长率或平均下降率，$b$表示增长或下降两次后得到的数据，“+”表示增长，“-”表示降低.
此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新的数据.
（1）如果增长率中的基数为$a$，平均增长率为$x$，则第一次增长后的数量为
$a(1+x)$
，第二次增长后的数量为$a(1+x)^2$
，第$n$次增长后的数量为$a(1+x)^n$
.（2）如果下降率中的基数为$a$，平均下降率为$x$，则第$n$次下降后的数量为
$a(1-x)^n$
.总结公式：$a(1+x)^2 = b$ 或 $a(1-x)^2 = b$，其中$a$表示增长或下降前的数据，$x$表示平均增长率或平均下降率，$b$表示增长或下降两次后得到的数据，“+”表示增长，“-”表示降低.
答案
(1)第一次增长后的数量为$a(1+x)$，第二次增长后的数量为$a(1+x)^2$，第n次增长后的数量为$a(1+x)^n$
(2)第n次下降后的数量为$a(1-x)^n$
(2)第n次下降后的数量为$a(1-x)^n$
解析
【分析】
解决这道题要先理解平均增长/下降率的核心逻辑：每次增长或下降的基数是上一次变化后的数量，不是最初的原始基数。推导时先算第一次变化后的数量：增长x就是在原基数基础上多了原基数乘x的量，下降x就是在原基数基础上少了原基数乘x的量；第二次变化时，基数替换为第一次变化后的数量，同理计算第二次的结果；以此类推就能总结出第n次变化的数量规律。
【解析】
（1）已知增长的初始基数为$a$，平均增长率为$x$：
第一次增长的新增量为$a· x$，因此第一次增长后的数量为原基数加新增量，即$a + a· x = a(1+x)$；
第二次增长的基数变为第一次增长后的$a(1+x)$，第二次的新增量为$a(1+x)· x$，因此第二次增长后的数量为$a(1+x) + a(1+x)· x = a(1+x)·(1+x) = a(1+x)^2$；
按照这个规律，每一次增长都是在上一次的结果上乘$(1+x)$，因此第$n$次增长后的数量为$a(1+x)^n$。
（2）已知下降的初始基数为$a$，平均下降率为$x$：每次下降后剩余的量是上一次数量的$(1-x)$倍，参考增长率的推导逻辑，可得第$n$次下降后的数量为$a(1-x)^n$。
【答案】
(1) $a(1+x)$，$a(1+x)^2$，$a(1+x)^n$
(2) $a(1-x)^n$
【知识点】
平均增长率计算，平均下降率计算，代数式表示
【点评】
本题是平均变化率问题的基础公式推导题，掌握每次变化的基数替换规则是解题关键，推导得到的公式是解决后续变化率实际应用题的核心，需要熟练记忆并灵活运用。
【难度系数】
0.8
解决这道题要先理解平均增长/下降率的核心逻辑：每次增长或下降的基数是上一次变化后的数量，不是最初的原始基数。推导时先算第一次变化后的数量：增长x就是在原基数基础上多了原基数乘x的量，下降x就是在原基数基础上少了原基数乘x的量；第二次变化时，基数替换为第一次变化后的数量，同理计算第二次的结果；以此类推就能总结出第n次变化的数量规律。
【解析】
（1）已知增长的初始基数为$a$，平均增长率为$x$：
第一次增长的新增量为$a· x$，因此第一次增长后的数量为原基数加新增量，即$a + a· x = a(1+x)$；
第二次增长的基数变为第一次增长后的$a(1+x)$，第二次的新增量为$a(1+x)· x$，因此第二次增长后的数量为$a(1+x) + a(1+x)· x = a(1+x)·(1+x) = a(1+x)^2$；
按照这个规律，每一次增长都是在上一次的结果上乘$(1+x)$，因此第$n$次增长后的数量为$a(1+x)^n$。
（2）已知下降的初始基数为$a$，平均下降率为$x$：每次下降后剩余的量是上一次数量的$(1-x)$倍，参考增长率的推导逻辑，可得第$n$次下降后的数量为$a(1-x)^n$。
【答案】
(1) $a(1+x)$，$a(1+x)^2$，$a(1+x)^n$
(2) $a(1-x)^n$
【知识点】
平均增长率计算，平均下降率计算，代数式表示
【点评】
本题是平均变化率问题的基础公式推导题，掌握每次变化的基数替换规则是解题关键，推导得到的公式是解决后续变化率实际应用题的核心，需要熟练记忆并灵活运用。
【难度系数】
0.8
例 某种电脑病毒传播得非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?
分析:设每轮感染中平均一台电脑会感染$x$台电脑.
解:设每轮感染中平均一台电脑会感染$x$台电脑.依题意,得
$1+x+(1+x)x=81,$
整理,得$(1+x)^2=81$,
则$1+x=9$或$1+x=-9$,
解得$x_1=8,x_2=-10$(不符合题意,舍去).
3轮感染后,被感染的电脑台数为
$(1+x)^2+x(1+x)^2=(1+x)^3=(1+8)^3=729＞700.$
答:每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑;3轮感染后,被感染的电脑会超过700台.
方法点拨 将题目中的关键性语言、数量及各数量之间的关系译成代数式,然后根据代数式之间的内在联系,找出等量关系即可.
分析:设每轮感染中平均一台电脑会感染$x$台电脑.
解:设每轮感染中平均一台电脑会感染$x$台电脑.依题意,得
$1+x+(1+x)x=81,$
整理,得$(1+x)^2=81$,
则$1+x=9$或$1+x=-9$,
解得$x_1=8,x_2=-10$(不符合题意,舍去).
3轮感染后,被感染的电脑台数为
$(1+x)^2+x(1+x)^2=(1+x)^3=(1+8)^3=729＞700.$
答:每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑;3轮感染后,被感染的电脑会超过700台.
方法点拨 将题目中的关键性语言、数量及各数量之间的关系译成代数式,然后根据代数式之间的内在联系,找出等量关系即可.
答案
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染$x$台电脑。
依题意，得
$1+x+(1+x)x=81$，
整理，得$(1+x)^2=81$，
则$1+x=9$或$1+x=-9$，
解得$x_1=8$，$x_2=-10$（不符合题意，舍去）。
3轮感染后，被感染的电脑台数为：
$(1+x)^3=(1+8)^3=729$，
$\because 729＞700$，
$\therefore$3轮感染后，被感染的电脑会超过700台。
答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；3轮感染后，被感染的电脑会超过700台。
依题意，得
$1+x+(1+x)x=81$，
整理，得$(1+x)^2=81$，
则$1+x=9$或$1+x=-9$，
解得$x_1=8$，$x_2=-10$（不符合题意，舍去）。
3轮感染后，被感染的电脑台数为：
$(1+x)^3=(1+8)^3=729$，
$\because 729＞700$，
$\therefore$3轮感染后，被感染的电脑会超过700台。
答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；3轮感染后，被感染的电脑会超过700台。
解析
【分析】
解决这道传播类应用题，首先明确解题思路：第一步设未知数，设每轮感染中平均1台电脑感染x台电脑。再梳理感染过程：初始有1台被感染，第一轮感染后总共有(1+x)台被感染；第二轮感染时，每台已被感染的电脑都会再感染x台，因此第二轮新增x(1+x)台被感染电脑，两轮后总感染数为81台，据此列方程求解。注意感染台数不能为负数，需舍去负根。最后计算三轮后的总感染数，和700比较大小即可判断是否超过。
【解析】
设每轮感染中平均一台电脑会感染$x$台电脑。
依题意，得
$1+x+(1+x)x=81$，
整理，得$(1+x)^2=81$，
则$1+x=9$或$1+x=-9$，
解得$x_1=8$，$x_2=-10$（不符合题意，舍去）。
3轮感染后，被感染的电脑台数为：
$(1+x)^3=(1+8)^3=729$，
$\because 729＞700$，
$\therefore$3轮感染后，被感染的电脑会超过700台。
【答案】
每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；3轮感染后，被感染的电脑会超过700台。
【知识点】
一元二次方程应用，传播问题建模，乘方运算
【点评】
本题是典型的实际应用类问题，解题核心是理清每轮感染前后总感染数量的变化逻辑，建立正确的等量关系列出方程，同时要注意结合实际情况对方程的根进行取舍，能有效提升将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
解决这道传播类应用题，首先明确解题思路：第一步设未知数，设每轮感染中平均1台电脑感染x台电脑。再梳理感染过程：初始有1台被感染，第一轮感染后总共有(1+x)台被感染；第二轮感染时，每台已被感染的电脑都会再感染x台，因此第二轮新增x(1+x)台被感染电脑，两轮后总感染数为81台，据此列方程求解。注意感染台数不能为负数，需舍去负根。最后计算三轮后的总感染数，和700比较大小即可判断是否超过。
【解析】
设每轮感染中平均一台电脑会感染$x$台电脑。
依题意，得
$1+x+(1+x)x=81$，
整理，得$(1+x)^2=81$，
则$1+x=9$或$1+x=-9$，
解得$x_1=8$，$x_2=-10$（不符合题意，舍去）。
3轮感染后，被感染的电脑台数为：
$(1+x)^3=(1+8)^3=729$，
$\because 729＞700$，
$\therefore$3轮感染后，被感染的电脑会超过700台。
【答案】
每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；3轮感染后，被感染的电脑会超过700台。
【知识点】
一元二次方程应用，传播问题建模，乘方运算
【点评】
本题是典型的实际应用类问题，解题核心是理清每轮感染前后总感染数量的变化逻辑，建立正确的等量关系列出方程，同时要注意结合实际情况对方程的根进行取舍，能有效提升将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
