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1. 已知$\odot O$的直径$CD=10\ \mathrm{cm}$，$AB$是$\odot O$的弦，$AB⊥ CD$，垂足为$M$，且$AB=8\ \mathrm{cm}$，则$AC$的长为（
A.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
B.$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
C.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
C
）A.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
B.$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
C.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
答案
1. C
解析
【分析】
看到圆中弦与直径垂直的条件，优先联想到垂径定理，第一步先求出弦AB的一半长度；第二步连接半径OA构造直角三角形，利用勾股定理求出圆心O到垂足M的距离；第三步注意圆具有对称性，垂足M的位置有两种可能（靠近点C或靠近点D），因此需要分类讨论求出线段CM的长度；最后在直角三角形ACM中再次利用勾股定理，即可求出AC的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵ $\odot O$的直径$CD=10\ \mathrm{cm}$，
∴ 半径$OA=OC=5\ \mathrm{cm}$，
∵ $AB⊥ CD$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，由垂径定理可得：
$AM=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
分两种情况讨论：
① 当垂足M在OC线段上时：
$CM=OC-OM=5-3=2\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；
② 当垂足M在OD线段上时：
$CM=OC+OM=5+3=8\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
因此$AC$的长为$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的对称性
【点评】
本题是圆相关计算的常见题型，解题核心是结合圆的对称性全面分析所有可能的情况，易错点是仅考虑单一种垂足位置导致漏解，熟练掌握垂径定理和勾股定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
看到圆中弦与直径垂直的条件，优先联想到垂径定理，第一步先求出弦AB的一半长度；第二步连接半径OA构造直角三角形，利用勾股定理求出圆心O到垂足M的距离；第三步注意圆具有对称性，垂足M的位置有两种可能（靠近点C或靠近点D），因此需要分类讨论求出线段CM的长度；最后在直角三角形ACM中再次利用勾股定理，即可求出AC的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵ $\odot O$的直径$CD=10\ \mathrm{cm}$，
∴ 半径$OA=OC=5\ \mathrm{cm}$，
∵ $AB⊥ CD$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，由垂径定理可得：
$AM=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
分两种情况讨论：
① 当垂足M在OC线段上时：
$CM=OC-OM=5-3=2\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；
② 当垂足M在OD线段上时：
$CM=OC+OM=5+3=8\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
因此$AC$的长为$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的对称性
【点评】
本题是圆相关计算的常见题型，解题核心是结合圆的对称性全面分析所有可能的情况，易错点是仅考虑单一种垂足位置导致漏解，熟练掌握垂径定理和勾股定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
2. 如图，在菱形$ABCD$中，$AB=4$，$∠ A=60°$，$E$是$AB$的中点，以点$B$为圆心，$BE$长为半径作弧，交$BC$于点$F$，连接$DE$，$DF$，$EF$，则阴影部分的面积为（
A.$3\sqrt{3}+\frac{4}{3}π$
B.$5\sqrt{3}+\frac{4}{3}π$
C.$3\sqrt{3}-\frac{4}{3}π$
D.$5\sqrt{3}-\frac{4}{3}π$
D
）A.$3\sqrt{3}+\frac{4}{3}π$
B.$5\sqrt{3}+\frac{4}{3}π$
C.$3\sqrt{3}-\frac{4}{3}π$
D.$5\sqrt{3}-\frac{4}{3}π$
答案
2. D
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，可通过割补法转化为规则图形面积的和差计算。首先利用菱形的性质得到各边长度和内角度数，结合已知条件先求出四边形DEBF的面积，再根据阴影部分的构成，结合扇形和△BEF的面积即可算出结果。首先菱形四条边相等，∠A=60°可推出△ABD、△BCD均为等边三角形，E是AB中点可得BE=BF=2，先算出菱形、△ADE、△CDF的面积得到四边形DEBF的面积，再算出扇形BEF和△BEF的面积，最后将两部分阴影合并计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，$AB=4$，$∠A=60°$，
∴$AB=BC=CD=AD=4$，$∠C=∠A=60°$，$∠ABC=180°-60°=120°$，
∵E是AB中点，
∴$AE=EB=2$，由题意得$BF=BE=2$。
1. 计算$△ ADE$和$△ CDF$的面积：
在$△ ADE$中，$AD=4$，$AE=2$，$∠A=60°$，
∴$S_{△ ADE}=\frac{1}{2} × AE × AD × \sin60°=\frac{1}{2} × 2 × 4 × \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
同理可得$S_{△ CDF}=2\sqrt{3}$。
2. 计算菱形ABCD和四边形DEBF的面积：
$S_{菱形ABCD}=AB × AD × \sin60°=4 × 4 × \frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$，
∴$S_{四边形DEBF}=S_{菱形ABCD}-S_{△ ADE}-S_{△ CDF}=8\sqrt{3}-2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
3. 计算$△ BEF$的面积：
在$△ BEF$中，$BE=BF=2$，$∠EBF=120°$，
∴$S_{△ BEF}=\frac{1}{2} × BE × BF × \sin120°=\frac{1}{2} × 2 × 2 × \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
4. 计算扇形BEF的面积：
扇形圆心角为120°，半径$r=2$，
∴$S_{扇形BEF}=\frac{120°}{360°} × π r^2=\frac{1}{3} × π × 2^2=\frac{4π}{3}$。
5. 计算阴影面积：
阴影面积=（四边形DEBF面积-扇形BEF面积）+$△ BEF$面积，
代入得$S_{阴影}=4\sqrt{3}-\frac{4π}{3}+\sqrt{3}=5\sqrt{3}-\frac{4π}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，扇形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，解题核心是将不规则阴影面积转化为规则图形面积的和差，熟练掌握菱形、三角形、扇形的面积公式是解题的基础。
【难度系数】
0.65
要求阴影部分的面积，可通过割补法转化为规则图形面积的和差计算。首先利用菱形的性质得到各边长度和内角度数，结合已知条件先求出四边形DEBF的面积，再根据阴影部分的构成，结合扇形和△BEF的面积即可算出结果。首先菱形四条边相等，∠A=60°可推出△ABD、△BCD均为等边三角形，E是AB中点可得BE=BF=2，先算出菱形、△ADE、△CDF的面积得到四边形DEBF的面积，再算出扇形BEF和△BEF的面积，最后将两部分阴影合并计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，$AB=4$，$∠A=60°$，
∴$AB=BC=CD=AD=4$，$∠C=∠A=60°$，$∠ABC=180°-60°=120°$，
∵E是AB中点，
∴$AE=EB=2$，由题意得$BF=BE=2$。
1. 计算$△ ADE$和$△ CDF$的面积：
在$△ ADE$中，$AD=4$，$AE=2$，$∠A=60°$，
∴$S_{△ ADE}=\frac{1}{2} × AE × AD × \sin60°=\frac{1}{2} × 2 × 4 × \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
同理可得$S_{△ CDF}=2\sqrt{3}$。
2. 计算菱形ABCD和四边形DEBF的面积：
$S_{菱形ABCD}=AB × AD × \sin60°=4 × 4 × \frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$，
∴$S_{四边形DEBF}=S_{菱形ABCD}-S_{△ ADE}-S_{△ CDF}=8\sqrt{3}-2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
3. 计算$△ BEF$的面积：
在$△ BEF$中，$BE=BF=2$，$∠EBF=120°$，
∴$S_{△ BEF}=\frac{1}{2} × BE × BF × \sin120°=\frac{1}{2} × 2 × 2 × \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
4. 计算扇形BEF的面积：
扇形圆心角为120°，半径$r=2$，
∴$S_{扇形BEF}=\frac{120°}{360°} × π r^2=\frac{1}{3} × π × 2^2=\frac{4π}{3}$。
5. 计算阴影面积：
阴影面积=（四边形DEBF面积-扇形BEF面积）+$△ BEF$面积，
代入得$S_{阴影}=4\sqrt{3}-\frac{4π}{3}+\sqrt{3}=5\sqrt{3}-\frac{4π}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，扇形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，解题核心是将不规则阴影面积转化为规则图形面积的和差，熟练掌握菱形、三角形、扇形的面积公式是解题的基础。
【难度系数】
0.65
3. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，截面圆中弦AB的长为$4\sqrt{6}$ cm，瓶内液体的最大深度CD=6 cm，则球的半径为 （
A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.7 cm
B
）A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.7 cm
答案
3. B
解析
【分析】
本题可结合垂径定理和勾股定理求解。首先观察到CD过圆心且垂直于弦AB，根据垂径定理可先求出弦AB一半的长度；再设圆的半径为r，用含r的式子表示出直角三角形OAC中直角边OC的长度，最后利用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
解：
∵CD过圆心O且垂直于弦AB，AB=$4\sqrt{6}$ cm，
根据垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{6}$ cm。
设圆O的半径为r cm，则OA=r cm，
∵液体最大深度CD=6 cm，点O在C、D之间，
∴$OC=CD-OD=(6-r)$ cm。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$OA^2=OC^2+AC^2$
代入数据得：$r^2=(6-r)^2+(2\sqrt{6})^2$
展开整理得：$r^2=36-12r+r^2+24$
移项合并得：$12r=60$
解得：$r=5$
即球的半径为5 cm。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题是圆中求半径的典型题型，将垂径定理和勾股定理结合，通过列方程求解几何量是这类问题的常用思路，掌握该方法可快速解决同类弦长、半径计算问题。
【难度系数】
0.7
本题可结合垂径定理和勾股定理求解。首先观察到CD过圆心且垂直于弦AB，根据垂径定理可先求出弦AB一半的长度；再设圆的半径为r，用含r的式子表示出直角三角形OAC中直角边OC的长度，最后利用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
解：
∵CD过圆心O且垂直于弦AB，AB=$4\sqrt{6}$ cm，
根据垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{6}$ cm。
设圆O的半径为r cm，则OA=r cm，
∵液体最大深度CD=6 cm，点O在C、D之间，
∴$OC=CD-OD=(6-r)$ cm。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$OA^2=OC^2+AC^2$
代入数据得：$r^2=(6-r)^2+(2\sqrt{6})^2$
展开整理得：$r^2=36-12r+r^2+24$
移项合并得：$12r=60$
解得：$r=5$
即球的半径为5 cm。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题是圆中求半径的典型题型，将垂径定理和勾股定理结合，通过列方程求解几何量是这类问题的常用思路，掌握该方法可快速解决同类弦长、半径计算问题。
【难度系数】
0.7
4. 如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的一块碎片是
②
.(填序号)答案
4. ②
解析
【分析】
要配到和原来大小一样的圆形玻璃，本质是要确定原圆形玻璃的圆心和半径。我们学过“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，因此带去的碎片需要保留有足够长度的圆弧，这样才能在弧上找到三个不在同一直线上的点，进而确定圆心和半径。观察四块碎片的特征：只有②号碎片带有一段较长的连续圆弧，其余碎片的圆弧长度过短，无法满足选取三个点定圆的要求，因此选择带②号碎片。
【解析】
确定一个圆的两个要素是圆心和半径，根据圆的确定定理：不在同一直线上的三个点可以确定唯一的一个圆。
若要确定原圆的圆心和半径，碎片上需要保留一段连续的圆弧：我们可以在这段圆弧上任意选取三个点，连接任意两点得到两条弦，分别作这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，圆心到弧上任意一点的距离就是半径，由此就能得到和原玻璃大小完全一致的圆。
观察四块碎片，只有②号碎片保留了足够长的连续圆弧，其余①、③、④号碎片的圆弧长度过短，无法选取合适的三个点确定圆心和半径，因此应当带②号碎片去店里。
【答案】
②
【知识点】
1. 三点定圆
2. 垂径定理的应用
【点评】
本题结合生活实际考查圆的基本性质的应用，解题的关键是理解确定圆的条件，能够将生活中的配玻璃问题转化为数学上确定圆的圆心和半径的问题。
【难度系数】
0.7
要配到和原来大小一样的圆形玻璃，本质是要确定原圆形玻璃的圆心和半径。我们学过“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，因此带去的碎片需要保留有足够长度的圆弧，这样才能在弧上找到三个不在同一直线上的点，进而确定圆心和半径。观察四块碎片的特征：只有②号碎片带有一段较长的连续圆弧，其余碎片的圆弧长度过短，无法满足选取三个点定圆的要求，因此选择带②号碎片。
【解析】
确定一个圆的两个要素是圆心和半径，根据圆的确定定理：不在同一直线上的三个点可以确定唯一的一个圆。
若要确定原圆的圆心和半径，碎片上需要保留一段连续的圆弧：我们可以在这段圆弧上任意选取三个点，连接任意两点得到两条弦，分别作这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，圆心到弧上任意一点的距离就是半径，由此就能得到和原玻璃大小完全一致的圆。
观察四块碎片，只有②号碎片保留了足够长的连续圆弧，其余①、③、④号碎片的圆弧长度过短，无法选取合适的三个点确定圆心和半径，因此应当带②号碎片去店里。
【答案】
②
【知识点】
1. 三点定圆
2. 垂径定理的应用
【点评】
本题结合生活实际考查圆的基本性质的应用，解题的关键是理解确定圆的条件，能够将生活中的配玻璃问题转化为数学上确定圆的圆心和半径的问题。
【难度系数】
0.7
5. 为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路，如图，$\overset{\frown}{AB}$与$\overset{\frown}{CD}$是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是$72°$，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36 m，则公路宽AC的长是
28.7
m.（$π$取3.14，计算结果精确到0.1 m）答案
5. 28.7
解析
【分析】
这是弧长公式在实际问题中的应用题，解题思路如下：
1. 首先明确$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$是同圆心、圆心角均为$72°$的两段弧，设外弧$\overset{\frown}{AB}$的半径$OA=R$，内弧$\overset{\frown}{CD}$的半径$OC=r$，公路宽$AC=R-r$；
2. 利用弧长公式分别表示出外弧、内弧的长度；
3. 根据“外侧边线比内侧边线多36m”的等量关系列等式，整体化简即可求出$R-r$的值，无需单独计算R和r的具体数值。
【解析】
弧长公式为$ l=\frac{nπ r}{180} $（其中$n$为圆心角度数，$r$为弧所在圆的半径）。
设外弧$\overset{\frown}{AB}$的半径$ OA=R\ \mathrm{m} $，内弧$\overset{\frown}{CD}$的半径$ OC=r\ \mathrm{m} $，则公路宽$ AC=R-r $。
由题意得外弧长与内弧长的差为36m，列等式：
$\frac{72π R}{180} - \frac{72π r}{180} = 36$
提取公因式化简左边：
$\frac{72π}{180}(R-r) = 36$
整理得：
$\frac{2π}{5}(R-r) = 36$
解得：
$R-r = \frac{36 × 5}{2π} = \frac{90}{π}$
代入$π=3.14$计算，$\frac{90}{3.14}\approx28.7\ \mathrm{m}$。
【答案】
28.7
【知识点】
弧长计算；整体思想求值
【点评】
本题结合生活实际考查弧长公式的应用，解题的核心是利用整体思想直接求半径差，避免了分别求两个半径的繁琐计算，能锻炼学生应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
这是弧长公式在实际问题中的应用题，解题思路如下：
1. 首先明确$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$是同圆心、圆心角均为$72°$的两段弧，设外弧$\overset{\frown}{AB}$的半径$OA=R$，内弧$\overset{\frown}{CD}$的半径$OC=r$，公路宽$AC=R-r$；
2. 利用弧长公式分别表示出外弧、内弧的长度；
3. 根据“外侧边线比内侧边线多36m”的等量关系列等式，整体化简即可求出$R-r$的值，无需单独计算R和r的具体数值。
【解析】
弧长公式为$ l=\frac{nπ r}{180} $（其中$n$为圆心角度数，$r$为弧所在圆的半径）。
设外弧$\overset{\frown}{AB}$的半径$ OA=R\ \mathrm{m} $，内弧$\overset{\frown}{CD}$的半径$ OC=r\ \mathrm{m} $，则公路宽$ AC=R-r $。
由题意得外弧长与内弧长的差为36m，列等式：
$\frac{72π R}{180} - \frac{72π r}{180} = 36$
提取公因式化简左边：
$\frac{72π}{180}(R-r) = 36$
整理得：
$\frac{2π}{5}(R-r) = 36$
解得：
$R-r = \frac{36 × 5}{2π} = \frac{90}{π}$
代入$π=3.14$计算，$\frac{90}{3.14}\approx28.7\ \mathrm{m}$。
【答案】
28.7
【知识点】
弧长计算；整体思想求值
【点评】
本题结合生活实际考查弧长公式的应用，解题的核心是利用整体思想直接求半径差，避免了分别求两个半径的繁琐计算，能锻炼学生应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
6. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上.
(1)将△ABC绕点C顺时针旋转$90°$得到△$A_1B_1C$，画出△$A_1B_1C$；
(2)在(1)的条件下，求点A经过的路径长和线段CA扫过的面积.
(1)将△ABC绕点C顺时针旋转$90°$得到△$A_1B_1C$，画出△$A_1B_1C$；
(2)在(1)的条件下，求点A经过的路径长和线段CA扫过的面积.
答案
6. (1)略 (2)点A经过的路径长为$\frac{\sqrt{10}}{2}π$，线段CA扫过的面积为$\frac{5}{2}π$.
解析
【分析】
(1) 旋转作图首先要明确旋转三要素：旋转中心为点C，旋转方向是顺时针，旋转角度为90°。先找到点A、B绕点C顺时针旋转90°后的对应点A₁、B₁，再顺次连接C、A₁、B₁即可得到所求三角形。
(2) 点A经过的路径是圆心为C、半径为CA长度、圆心角为90°的圆弧；线段CA扫过的图形是同半径、同圆心角的扇形。首先利用勾股定理求出CA的长度，再分别代入弧长公式、扇形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 作图步骤：①将线段CA绕点C顺时针旋转90°，结合网格特征得到点A的对应点A₁；②同理将线段CB绕点C顺时针旋转90°得到点B的对应点B₁；③顺次连接C、A₁、B₁，△A₁B₁C即为所求。
(2) 先计算CA的长度：
∵网格中小正方形边长为1，由勾股定理可得：
$CA=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$
点A经过的路径是圆心角90°、半径为$\sqrt{10}$的弧，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为半径）：
路径长$l=\frac{90π×\sqrt{10}}{180}=\frac{\sqrt{10}}{2}π$
线段CA扫过的图形是圆心角90°、半径为$\sqrt{10}$的扇形，根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$：
扫过的面积$S=\frac{90π×(\sqrt{10})^2}{360}=\frac{90π×10}{360}=\frac{5}{2}π$
【答案】
(1) 略；(2) 点A经过的路径长为$\frac{\sqrt{10}}{2}π$，线段CA扫过的面积为$\frac{5}{2}π$
【知识点】
旋转作图，弧长计算，扇形面积计算
【点评】
本题结合网格考查旋转性质的应用和弧长、扇形面积的计算，解题核心是明确旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，旋转角等于对应线段的夹角，属于平面几何基础常考题。
【难度系数】
0.7
(1) 旋转作图首先要明确旋转三要素：旋转中心为点C，旋转方向是顺时针，旋转角度为90°。先找到点A、B绕点C顺时针旋转90°后的对应点A₁、B₁，再顺次连接C、A₁、B₁即可得到所求三角形。
(2) 点A经过的路径是圆心为C、半径为CA长度、圆心角为90°的圆弧；线段CA扫过的图形是同半径、同圆心角的扇形。首先利用勾股定理求出CA的长度，再分别代入弧长公式、扇形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 作图步骤：①将线段CA绕点C顺时针旋转90°，结合网格特征得到点A的对应点A₁；②同理将线段CB绕点C顺时针旋转90°得到点B的对应点B₁；③顺次连接C、A₁、B₁，△A₁B₁C即为所求。
(2) 先计算CA的长度：
∵网格中小正方形边长为1，由勾股定理可得：
$CA=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$
点A经过的路径是圆心角90°、半径为$\sqrt{10}$的弧，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为半径）：
路径长$l=\frac{90π×\sqrt{10}}{180}=\frac{\sqrt{10}}{2}π$
线段CA扫过的图形是圆心角90°、半径为$\sqrt{10}$的扇形，根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$：
扫过的面积$S=\frac{90π×(\sqrt{10})^2}{360}=\frac{90π×10}{360}=\frac{5}{2}π$
【答案】
(1) 略；(2) 点A经过的路径长为$\frac{\sqrt{10}}{2}π$，线段CA扫过的面积为$\frac{5}{2}π$
【知识点】
旋转作图，弧长计算，扇形面积计算
【点评】
本题结合网格考查旋转性质的应用和弧长、扇形面积的计算，解题核心是明确旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，旋转角等于对应线段的夹角，属于平面几何基础常考题。
【难度系数】
0.7
