9.【实践操作】
在数学实践活动课上,某小组准备研究如下问题:如图,点A,O,B在同一条直线上,将一直角三角尺如图①所示放置,直角顶点与点O重合,∠COD是直角,OE平分∠BOC。
【问题发现】
(1)若∠DOE=20°,则∠AOC的度数为。
(2)将这一直角三角尺如图②所示放置,其他条件不变,若∠DOE=70°,求∠AOC的度数。
(3)将这一直角三角尺如图③所示放置,其他条件不变,试探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系。写出你的结论,并说明理由。

$\boldsymbol{40}$
(2)
∵ ∠COD=90°，∠DOE=70°
∴ ∠COE=∠COD - ∠DOE=20°
∵ OE平分∠BOC
∴ ∠BOC=2∠COE=40°
又∵ ∠AOC + ∠BOC=180°
∴ ∠AOC=180°-∠BOC=180°-40°=140°
(3)
结论：$\boldsymbol{∠AOC=360° - 2∠DOE}$，理由如下：
∵ OE平分∠BOC
∴ ∠BOC=2∠COE
∵ ∠COD=90°
∴ ∠COE=∠DOE - ∠COD=∠DOE - 90°
∴ ∠BOC=2(∠DOE - 90°)=2∠DOE - 180°
又∵ ∠AOC + ∠BOC=180°
∴ ∠AOC=180° - ∠BOC=180°-(2∠DOE - 180°)=360°-2∠DOE

【分析】
(1) 解题思路：先根据直角∠COD=90°和已知的∠DOE的度数，计算出∠COE的度数；再利用OE平分∠BOC的性质，求出∠BOC的度数；最后根据A、O、B共线，∠AOC与∠BOC组成平角和为180°，即可求出∠AOC的度数。
(2) 解题思路：和第(1)问逻辑一致，先由∠COD和∠DOE的度数差求出∠COE，再结合角平分线性质得到∠BOC的度数，最后用平角180°减去∠BOC得到∠AOC的度数。
(3) 解题思路：要探究∠AOC和∠DOE的关系，先根据角平分线性质将∠BOC用∠COE表示，再结合∠COD=90°，把∠COE转化为用∠DOE表示的式子，最后根据∠AOC和∠BOC的和为180°，代入化简即可得到两者的数量关系。
【解析】
(1) 解：
∵ ∠COD是直角，
∴ ∠COD=90°，
已知∠DOE=20°，
∴ ∠COE=∠COD - ∠DOE=90°-20°=70°，
∵ OE平分∠BOC，
∴ ∠BOC=2∠COE=2×70°=140°，
∵ 点A、O、B在同一直线上，
∴ ∠AOC + ∠BOC=180°，
∴ ∠AOC=180°-140°=40°。
(2) 解：
∵ ∠COD=90°，∠DOE=70°，
∴ ∠COE=∠COD - ∠DOE=90°-70°=20°，
∵ OE平分∠BOC，
∴ ∠BOC=2∠COE=2×20°=40°，
又
∵ ∠AOC + ∠BOC=180°，
∴ ∠AOC=180°-∠BOC=180°-40°=140°。
(3) 结论：$\boldsymbol{∠AOC=360° - 2∠DOE}$，理由如下：
∵ OE平分∠BOC，
∴ ∠BOC=2∠COE，
∵ ∠COD=90°，
∴ ∠COE=∠DOE - ∠COD=∠DOE - 90°，
∴ ∠BOC=2(∠DOE - 90°)=2∠DOE - 180°，
又
∵ ∠AOC + ∠BOC=180°，
∴ ∠AOC=180° - ∠BOC=180°-(2∠DOE - 180°)=360°-2∠DOE。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40}$
(2) $\boldsymbol{140°}$
(3) $\boldsymbol{∠AOC=360° - 2∠DOE}$
【知识点】
角平分线的定义，平角的性质，角的和差计算
【点评】
本题围绕三角尺的旋转考查角的相关计算，解题的核心是结合图形找准各角之间的和差关系，熟练运用角平分线和平角的性质即可求解，能有效锻炼几何图形的读图分析能力。
【难度系数】
0.7

10.【给出定义】
在同一平面内，我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”。例如：图①和图②中∠AOB和∠BOC都有公共顶点O和一条公共边OB，所以这两个角是“共边角”。

【问题解决】
（1）当两个“共边角”为$60°$和$30°$时，它们非公共边的两边的夹角是。
（2）在图①中，若$OD$，$OE$分别平分“共边角”$∠ AOC$和$∠ BOC$，请指出$∠ DOE$与$∠ AOB$的数量关系，并说明理由。
【知识迁移】
（3）在同一条直线上，我们把有一个公共端点的两条线段称为“共端点线段”。例如：$AB$和$BC$都有公共端点$B$，所以这两条线段是“共端点线段”。若两条“共端点线段”的长度分别为10和4，求这两条线段的中点之间的距离。

$\boldsymbol{90°}$或$\boldsymbol{30°}$
(2) $∠ DOE=\frac{1}{2}∠ AOB$，理由如下：
$\because OD$平分$∠ AOC$，
$\therefore ∠ DOC=\frac{1}{2}∠ AOC$。
$\because OE$平分$∠ BOC$，
$\therefore ∠ EOC=\frac{1}{2}∠ BOC$。
$\therefore ∠ DOE=∠ DOC-∠ EOC=\frac{1}{2}∠ AOC-\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(∠ AOC-∠ BOC)$。
又$\because ∠ AOC-∠ BOC=∠ AOB$，
$\therefore ∠ DOE=\frac{1}{2}∠ AOB$。
(3) 设两条共端点线段的公共端点为$O$，两条线段分别为$OA=10$，$OB=4$，分两种情况：
① 当点$A$、$B$在点$O$的两侧时，设$OA$的中点为$M$，$OB$的中点为$N$，
则$OM=\frac{1}{2}OA=5$，$ON=\frac{1}{2}OB=2$，
$\therefore MN=OM+ON=5+2=7$；
② 当点$A$、$B$在点$O$的同侧时，设$OA$的中点为$M$，$OB$的中点为$N$，
则$OM=\frac{1}{2}OA=5$，$ON=\frac{1}{2}OB=2$，
$\therefore MN=OM-ON=5-2=3$。
答：这两条线段的中点之间的距离为7或3。

【分析】
（1）第一问需结合“共边角”的位置分两种情况讨论：若较小角在较大角外部，非公共边夹角为两角之和；若较小角在较大角内部，非公共边夹角为两角之差，分别计算即可。
（2）第二问利用角平分线的性质，先表示出两个被平分角的一半，再通过角的和差关系推导∠DOE和∠AOB的数量关系。
（3）第三问与第一问思路一致，分两条“共端点线段”在公共端点同侧、异侧两种情况，结合线段中点的性质分别计算中点距离即可。
【解析】
（1）分两种情况计算：
① 当30°角在60°角外部时，非公共边的两边夹角为$60°+30°=90°$；
② 当30°角在60°角内部时，非公共边的两边夹角为$60°-30°=30°$。
（2）$∠ DOE=\frac{1}{2}∠ AOB$，理由如下：
$\because OD$平分$∠ AOC$，
$\therefore ∠ DOC=\frac{1}{2}∠ AOC$。
$\because OE$平分$∠ BOC$，
$\therefore ∠ EOC=\frac{1}{2}∠ BOC$。
$\therefore ∠ DOE=∠ DOC-∠ EOC=\frac{1}{2}∠ AOC-\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(∠ AOC-∠ BOC)$。
又$\because ∠ AOC-∠ BOC=∠ AOB$，
$\therefore ∠ DOE=\frac{1}{2}∠ AOB$。
（3）设两条共端点线段的公共端点为$O$，两条线段分别为$OA=10$，$OB=4$，分两种情况：
① 当点$A$、$B$在点$O$的两侧时，设$OA$的中点为$M$，$OB$的中点为$N$，
则$OM=\frac{1}{2}OA=5$，$ON=\frac{1}{2}OB=2$，
$\therefore MN=OM+ON=5+2=7$；
② 当点$A$、$B$在点$O$的同侧时，设$OA$的中点为$M$，$OB$的中点为$N$，
则$OM=\frac{1}{2}OA=5$，$ON=\frac{1}{2}OB=2$，
$\therefore MN=OM-ON=5-2=3$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{90°}$或$\boldsymbol{30°}$
（2）$\boldsymbol{∠ DOE=\frac{1}{2}∠ AOB}$
（3）$\boldsymbol{7}$或$\boldsymbol{3}$
【知识点】
角的运算；角平分线的定义；线段中点的定义
【点评】
本题为新定义题型，重点考查分类讨论的数学思想，解题时要注意考虑角、线段的不同位置关系，避免漏解，同时需熟练运用角平分线、线段中点的性质进行运算。
【难度系数】
0.7