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二、等式的性质
1.两个基本事实：
（1）如果$a = b$，那么$b =$；
（2）如果$a = b$，$ = c$，那么$a = c$.
2.性质1:如果$a = b$，那么$a \pm c =$；
性质2:如果$a = b$，那么$ac =$；
如果$a = b$，$c ≠ 0$，那么$\frac{a}{c} =$.
1.两个基本事实：
（1）如果$a = b$，那么$b =$；
（2）如果$a = b$，$ = c$，那么$a = c$.
2.性质1:如果$a = b$，那么$a \pm c =$；
性质2:如果$a = b$，那么$ac =$；
如果$a = b$，$c ≠ 0$，那么$\frac{a}{c} =$.
答案
解：
1. （1）$a$
（2）$b$
2. $b\pm c$；
$bc$；
$\frac{b}{c}$
1. （1）$a$
（2）$b$
2. $b\pm c$；
$bc$；
$\frac{b}{c}$
解析
【分析】
这道题考查等式的基本事实和基本性质的识记，解题时只需对应回忆相关概念的内容逐一填空即可。首先回忆等式的两个基本事实：第一个是对称性，即相等关系是相互的，若a和b相等，那么b也等于a；第二个是传递性，即若两个量都和同一个量相等，那么这两个量也相等。再回忆等式的两条性质：性质1是等式两边加减同一个数（或整式），等式仍成立；性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立，对应性质内容填空即可得到答案。
【解析】
1. （1）根据等式的对称性基本事实：如果$a = b$，那么$b = a$，因此此处填$a$；
（2）根据等式的传递性基本事实：如果$a = b$，$b = c$，那么$a = c$，因此此处填$b$；
2. 根据等式性质1：等式两边同时加或减同一个数（或整式），等式仍然成立，因此如果$a = b$，那么$a \pm c = b\pm c$；
根据等式性质2：等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立，因此如果$a = b$，那么$ac = bc$；
等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立，因此如果$a = b$，$c ≠ 0$，那么$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$。
【答案】
1.（1）$a$；（2）$b$
2.$b\pm c$；$bc$；$\frac{b}{c}$
【知识点】
等式的基本事实；等式的性质1；等式的性质2
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，直接考查等式相关的核心基础内容，这些知识是后续学习方程解法的重要基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
这道题考查等式的基本事实和基本性质的识记，解题时只需对应回忆相关概念的内容逐一填空即可。首先回忆等式的两个基本事实：第一个是对称性，即相等关系是相互的，若a和b相等，那么b也等于a；第二个是传递性，即若两个量都和同一个量相等，那么这两个量也相等。再回忆等式的两条性质：性质1是等式两边加减同一个数（或整式），等式仍成立；性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立，对应性质内容填空即可得到答案。
【解析】
1. （1）根据等式的对称性基本事实：如果$a = b$，那么$b = a$，因此此处填$a$；
（2）根据等式的传递性基本事实：如果$a = b$，$b = c$，那么$a = c$，因此此处填$b$；
2. 根据等式性质1：等式两边同时加或减同一个数（或整式），等式仍然成立，因此如果$a = b$，那么$a \pm c = b\pm c$；
根据等式性质2：等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立，因此如果$a = b$，那么$ac = bc$；
等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立，因此如果$a = b$，$c ≠ 0$，那么$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$。
【答案】
1.（1）$a$；（2）$b$
2.$b\pm c$；$bc$；$\frac{b}{c}$
【知识点】
等式的基本事实；等式的性质1；等式的性质2
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，直接考查等式相关的核心基础内容，这些知识是后续学习方程解法的重要基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
三、解一元一次方程一般步骤(将下表补充完整)
答案
解：
| 步骤 | 依据 | 注意事项 |
|------------|--------------------|-|
| 去括号 | 乘法分配律 | (1) 括号外的因数要乘括号内的每一项，不能漏乘；(2) 若括号前是负号，去括号后括号内各项都要变号 |
| 移项 | 等式的性质1 | （题目已给出对应注意事项） |
| 合并同类项 | 合并同类项法则 | (1) 系数相加计算准确；(2) 字母和字母的指数保持不变 |
| 系数化为1 | 等式的性质2 | (1) 未知数的系数不为0；(2) 不要将分子、分母的位置颠倒 |
| 步骤 | 依据 | 注意事项 |
|------------|--------------------|-|
| 去括号 | 乘法分配律 | (1) 括号外的因数要乘括号内的每一项，不能漏乘；(2) 若括号前是负号，去括号后括号内各项都要变号 |
| 移项 | 等式的性质1 | （题目已给出对应注意事项） |
| 合并同类项 | 合并同类项法则 | (1) 系数相加计算准确；(2) 字母和字母的指数保持不变 |
| 系数化为1 | 等式的性质2 | (1) 未知数的系数不为0；(2) 不要将分子、分母的位置颠倒 |
解析
【分析】
本题考查解一元一次方程的常规步骤、各步骤的依据及操作注意事项。解题时先回忆解一元一次方程的完整流程：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1，再结合已给出的去分母、移项的部分内容，依次补充剩余内容：首先确定去分母后的下一个步骤是去括号，结合乘法分配律总结其注意事项；再填写移项的依据为等式的性质1；之后补充合并同类项步骤的依据和注意事项；最后补充系数化为1步骤的依据和注意事项即可。
【解析】
解一元一次方程的完整步骤及对应内容补充如下：
1. 去分母后为去括号步骤：依据是乘法分配律，注意操作时括号外的因数要乘括号内每一项，不能漏乘，若括号前是负号，去括号后括号内各项都要变号。
2. 移项的依据是等式的性质1，注意事项题目已给出。
3. 移项后为合并同类项步骤：依据是合并同类项法则，操作时要注意系数相加计算准确，字母和字母的指数保持不变。
4. 合并同类项后为系数化为1步骤：依据是等式的性质2，操作时要注意未知数的系数不为0，不要将分子、分母的位置颠倒。
【答案】
| 步骤 | 依据 | 注意事项 |
|------------|--------------------|----------|
| 去分母 | 等式的性质2 | （题目已给出） |
| 去括号 | 乘法分配律 | (1) 括号外的因数要乘括号内的每一项，不能漏乘；(2) 若括号前是负号，去括号后括号内各项都要变号 |
| 移项 | 等式的性质1 | （题目已给出） |
| 合并同类项 | 合并同类项法则 | (1) 系数相加计算准确；(2) 字母和字母的指数保持不变 |
| 系数化为1 | 等式的性质2 | (1) 未知数的系数不为0；(2) 不要将分子、分母的位置颠倒 |
【知识点】
一元一次方程的解法、等式的性质、合并同类项
【点评】
本题侧重考查解一元一次方程的基础流程，需要准确记忆各步骤的操作依据和易错点，是熟练解方程、解决方程类实际问题的基础。
【难度系数】
0.8
本题考查解一元一次方程的常规步骤、各步骤的依据及操作注意事项。解题时先回忆解一元一次方程的完整流程：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1，再结合已给出的去分母、移项的部分内容，依次补充剩余内容：首先确定去分母后的下一个步骤是去括号，结合乘法分配律总结其注意事项；再填写移项的依据为等式的性质1；之后补充合并同类项步骤的依据和注意事项；最后补充系数化为1步骤的依据和注意事项即可。
【解析】
解一元一次方程的完整步骤及对应内容补充如下：
1. 去分母后为去括号步骤：依据是乘法分配律，注意操作时括号外的因数要乘括号内每一项，不能漏乘，若括号前是负号，去括号后括号内各项都要变号。
2. 移项的依据是等式的性质1，注意事项题目已给出。
3. 移项后为合并同类项步骤：依据是合并同类项法则，操作时要注意系数相加计算准确，字母和字母的指数保持不变。
4. 合并同类项后为系数化为1步骤：依据是等式的性质2，操作时要注意未知数的系数不为0，不要将分子、分母的位置颠倒。
【答案】
| 步骤 | 依据 | 注意事项 |
|------------|--------------------|----------|
| 去分母 | 等式的性质2 | （题目已给出） |
| 去括号 | 乘法分配律 | (1) 括号外的因数要乘括号内的每一项，不能漏乘；(2) 若括号前是负号，去括号后括号内各项都要变号 |
| 移项 | 等式的性质1 | （题目已给出） |
| 合并同类项 | 合并同类项法则 | (1) 系数相加计算准确；(2) 字母和字母的指数保持不变 |
| 系数化为1 | 等式的性质2 | (1) 未知数的系数不为0；(2) 不要将分子、分母的位置颠倒 |
【知识点】
一元一次方程的解法、等式的性质、合并同类项
【点评】
本题侧重考查解一元一次方程的基础流程，需要准确记忆各步骤的操作依据和易错点，是熟练解方程、解决方程类实际问题的基础。
【难度系数】
0.8
四、列一元一次方程解应用题
一般步骤(补充完整)：
审→→列→→→答
一般步骤(补充完整)：
审→→列→→→答
答案
解：
审→$\boldsymbol{设未知数}$→列→$\boldsymbol{解方程}$→$\boldsymbol{检验}$→答
审→$\boldsymbol{设未知数}$→列→$\boldsymbol{解方程}$→$\boldsymbol{检验}$→答
解析
【分析】
本题考查一元一次方程解应用题的基本步骤，解题时先回忆完整的解题流程：第一步审题明确题意和等量关系后，首先需要对未知量进行设定，才能基于等量关系列方程；列出方程后要进行求解得到未知数的值；得到的解需要先验证是否为方程的解、是否符合实际场景要求，最后再作答，据此即可补全空缺的步骤。
【解析】
一元一次方程解应用题的完整步骤为：
1.审：审题，梳理题目中的已知量、未知量，找到等量关系；
2.设：设未知数，可根据题意选择直接设或间接设未知数；
3.列：根据找到的等量关系列出对应的一元一次方程；
4.解：求解所列的一元一次方程，得到未知数的取值；
5.验：检验所求的未知数取值是否是方程的解，同时是否符合实际问题的意义；
6.答：规范书写答案，注意标注单位。
因此空缺的三个步骤依次为设未知数、解方程、检验。
【答案】
设未知数；解方程；检验
【知识点】
一元一次方程解应用题步骤
【点评】
本题是基础概念识记题，核心考察对一元一次方程解应用题流程的掌握，牢记该步骤是解决实际应用问题的前提，能有效避免解题时漏检验、忘设未知数等低级错误。
【难度系数】
0.9
本题考查一元一次方程解应用题的基本步骤，解题时先回忆完整的解题流程：第一步审题明确题意和等量关系后，首先需要对未知量进行设定，才能基于等量关系列方程；列出方程后要进行求解得到未知数的值；得到的解需要先验证是否为方程的解、是否符合实际场景要求，最后再作答，据此即可补全空缺的步骤。
【解析】
一元一次方程解应用题的完整步骤为：
1.审：审题，梳理题目中的已知量、未知量，找到等量关系；
2.设：设未知数，可根据题意选择直接设或间接设未知数；
3.列：根据找到的等量关系列出对应的一元一次方程；
4.解：求解所列的一元一次方程，得到未知数的取值；
5.验：检验所求的未知数取值是否是方程的解，同时是否符合实际问题的意义；
6.答：规范书写答案，注意标注单位。
因此空缺的三个步骤依次为设未知数、解方程、检验。
【答案】
设未知数；解方程；检验
【知识点】
一元一次方程解应用题步骤
【点评】
本题是基础概念识记题，核心考察对一元一次方程解应用题流程的掌握，牢记该步骤是解决实际应用问题的前提，能有效避免解题时漏检验、忘设未知数等低级错误。
【难度系数】
0.9
五、某些实际问题中的基本数量关系
1. 行程问题：
路程 = × .
顺水速度 = 静水速度 .
逆水速度 = .
2. 工程问题(通常把总工作量设为1)：
工作量 = 工作效率 × .
3. 商品销售问题：
利润 = 售价 - = ×利润率；
利润率 = $\frac{利润}{进价}$ × 100%.
4. 积分问题：
比赛总积分 = 胜场总积分 + + 平场总积分.
1. 行程问题：
路程 = × .
顺水速度 = 静水速度 .
逆水速度 = .
2. 工程问题(通常把总工作量设为1)：
工作量 = 工作效率 × .
3. 商品销售问题：
利润 = 售价 - = ×利润率；
利润率 = $\frac{利润}{进价}$ × 100%.
4. 积分问题：
比赛总积分 = 胜场总积分 + + 平场总积分.
答案
解：
1. 路程 = $\boldsymbol{速度}$ × $\boldsymbol{时间}$
顺水速度 = 静水速度 $\boldsymbol{+ 水流速度}$
逆水速度 = $\boldsymbol{静水速度 - 水流速度}$
2. 工作量 = 工作效率 × $\boldsymbol{工作时间}$
3. 利润 = 售价 - $\boldsymbol{进价}$ = $\boldsymbol{进价}$ × 利润率
4. 比赛总积分 = 胜场总积分 + $\boldsymbol{负场总积分}$ + 平场总积分
1. 路程 = $\boldsymbol{速度}$ × $\boldsymbol{时间}$
顺水速度 = 静水速度 $\boldsymbol{+ 水流速度}$
逆水速度 = $\boldsymbol{静水速度 - 水流速度}$
2. 工作量 = 工作效率 × $\boldsymbol{工作时间}$
3. 利润 = 售价 - $\boldsymbol{进价}$ = $\boldsymbol{进价}$ × 利润率
4. 比赛总积分 = 胜场总积分 + $\boldsymbol{负场总积分}$ + 平场总积分
解析
【分析】
本题考查几类常见实际问题的基本数量关系，是后续解决应用类题目的核心基础。解题时可以按题目分类逐一回忆对应公式：首先回忆行程问题的核心三量关系，再结合水流对顺水、逆水行驶的影响填对应速度公式；接着回忆工程问题的三量关系；然后回忆商品销售中利润的两种计算方式；最后结合比赛的常见结果分类，补全积分公式即可。
【解析】
1. 行程问题中，总路程等于单位时间行驶的距离（速度）乘行驶时长，因此$\mathrm{路}\mathrm{程}=\mathrm{速}\mathrm{度}× \mathrm{时}\mathrm{间}$；顺水行驶时水流会助力船前进，因此$\mathrm{顺}\mathrm{水}\mathrm{速}\mathrm{度}=\mathrm{静}\mathrm{水}\mathrm{速}\mathrm{度}+\mathrm{水}\mathrm{流}\mathrm{速}\mathrm{度}$；逆水行驶时水流会阻碍船前进，因此$\mathrm{逆}\mathrm{水}\mathrm{速}\mathrm{度}=\mathrm{静}\mathrm{水}\mathrm{速}\mathrm{度}-\mathrm{水}\mathrm{流}\mathrm{速}\mathrm{度}$。
2. 工程问题中，总工作量等于单位时间完成的工作量（工作效率）乘工作时长，因此$\mathrm{工}\mathrm{作}\mathrm{量}=\mathrm{工}\mathrm{作}\mathrm{效}\mathrm{率}× \mathrm{工}\mathrm{作}\mathrm{时}\mathrm{间}$。
3. 商品销售中，利润是卖出商品赚取的金额，等于售价减去商品成本（进价）；又因为利润率是利润占进价的比例，因此$\mathrm{利}\mathrm{润}=\mathrm{进}\mathrm{价}× \mathrm{利}\mathrm{润}\mathrm{率}$。
4. 常规比赛结果分为胜、负、平三类，每类场次对应不同积分，因此$\mathrm{比}\mathrm{赛}\mathrm{总}\mathrm{积}\mathrm{分}=\mathrm{胜}\mathrm{场}\mathrm{总}\mathrm{积}\mathrm{分}+\mathrm{负}\mathrm{场}\mathrm{总}\mathrm{积}\mathrm{分}+\mathrm{平}\mathrm{场}\mathrm{总}\mathrm{积}\mathrm{分}$。
【答案】
1. 速度；时间；+ 水流速度；静水速度 - 水流速度
2. 工作时间
3. 进价；进价
4. 负场总积分
【知识点】
行程问题等量关系、工程问题等量关系、销售问题等量关系
【点评】
本题属于基础识记类题目，考查的是各类应用问题的基础数量关系，这些公式是列方程求解复杂应用题的前提，需要熟练掌握并灵活运用。
【难度系数】
0.9
本题考查几类常见实际问题的基本数量关系，是后续解决应用类题目的核心基础。解题时可以按题目分类逐一回忆对应公式：首先回忆行程问题的核心三量关系，再结合水流对顺水、逆水行驶的影响填对应速度公式；接着回忆工程问题的三量关系；然后回忆商品销售中利润的两种计算方式；最后结合比赛的常见结果分类，补全积分公式即可。
【解析】
1. 行程问题中，总路程等于单位时间行驶的距离（速度）乘行驶时长，因此$\mathrm{路}\mathrm{程}=\mathrm{速}\mathrm{度}× \mathrm{时}\mathrm{间}$；顺水行驶时水流会助力船前进，因此$\mathrm{顺}\mathrm{水}\mathrm{速}\mathrm{度}=\mathrm{静}\mathrm{水}\mathrm{速}\mathrm{度}+\mathrm{水}\mathrm{流}\mathrm{速}\mathrm{度}$；逆水行驶时水流会阻碍船前进，因此$\mathrm{逆}\mathrm{水}\mathrm{速}\mathrm{度}=\mathrm{静}\mathrm{水}\mathrm{速}\mathrm{度}-\mathrm{水}\mathrm{流}\mathrm{速}\mathrm{度}$。
2. 工程问题中，总工作量等于单位时间完成的工作量（工作效率）乘工作时长，因此$\mathrm{工}\mathrm{作}\mathrm{量}=\mathrm{工}\mathrm{作}\mathrm{效}\mathrm{率}× \mathrm{工}\mathrm{作}\mathrm{时}\mathrm{间}$。
3. 商品销售中，利润是卖出商品赚取的金额，等于售价减去商品成本（进价）；又因为利润率是利润占进价的比例，因此$\mathrm{利}\mathrm{润}=\mathrm{进}\mathrm{价}× \mathrm{利}\mathrm{润}\mathrm{率}$。
4. 常规比赛结果分为胜、负、平三类，每类场次对应不同积分，因此$\mathrm{比}\mathrm{赛}\mathrm{总}\mathrm{积}\mathrm{分}=\mathrm{胜}\mathrm{场}\mathrm{总}\mathrm{积}\mathrm{分}+\mathrm{负}\mathrm{场}\mathrm{总}\mathrm{积}\mathrm{分}+\mathrm{平}\mathrm{场}\mathrm{总}\mathrm{积}\mathrm{分}$。
【答案】
1. 速度；时间；+ 水流速度；静水速度 - 水流速度
2. 工作时间
3. 进价；进价
4. 负场总积分
【知识点】
行程问题等量关系、工程问题等量关系、销售问题等量关系
【点评】
本题属于基础识记类题目，考查的是各类应用问题的基础数量关系，这些公式是列方程求解复杂应用题的前提，需要熟练掌握并灵活运用。
【难度系数】
0.9
一、方程的解的应用
1. 已知关于x的方程$3a - x = \frac{x}{2} + 3$的解是$x = 4$，求$a^2 - 2a$的值。
1. 已知关于x的方程$3a - x = \frac{x}{2} + 3$的解是$x = 4$，求$a^2 - 2a$的值。
答案
解：把$x=4$代入方程$3a - x = \frac{x}{2} + 3$，得
$3a - 4 = \frac{4}{2} + 3$
化简得：$3a - 4 = 5$
移项，得：$3a = 5 + 4$
合并同类项，得：$3a = 9$
系数化为1，得：$a = 3$
把$a=3$代入$a^2 - 2a$，得
$a^2 - 2a = 3^2 - 2×3 = 9 - 6 = 3$
即$a^2 - 2a$的值为3。
$3a - 4 = \frac{4}{2} + 3$
化简得：$3a - 4 = 5$
移项，得：$3a = 5 + 4$
合并同类项，得：$3a = 9$
系数化为1，得：$a = 3$
把$a=3$代入$a^2 - 2a$，得
$a^2 - 2a = 3^2 - 2×3 = 9 - 6 = 3$
即$a^2 - 2a$的值为3。
解析
【分析】
已知方程的解求代数式的值，解题可分两步思考：第一步根据方程的解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，因此将x=4代入原方程，此时方程中仅含有未知数a，解这个一元一次方程即可得到a的值；第二步把求得的a值代入待求的代数式$a^2 - 2a$，按运算规则计算就能得到最终结果。
【解析】
解：把$x=4$代入方程$3a - x = \frac{x}{2} + 3$，得
$3a - 4 = \frac{4}{2} + 3$
化简得：$3a - 4 = 5$
移项，得：$3a = 5 + 4$
合并同类项，得：$3a = 9$
系数化为1，得：$a = 3$
把$a=3$代入$a^2 - 2a$，得
$a^2 - 2a = 3^2 - 2×3 = 9 - 6 = 3$
即$a^2 - 2a$的值为3。
【答案】
3
【知识点】
方程的解的定义；一元一次方程的解法；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的应用，解题的关键是明确方程的解可使方程左右两边相等，先代入求出参数的值，再代入代数式计算即可，解题过程中要注意计算的准确性。
【难度系数】
0.8
已知方程的解求代数式的值，解题可分两步思考：第一步根据方程的解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，因此将x=4代入原方程，此时方程中仅含有未知数a，解这个一元一次方程即可得到a的值；第二步把求得的a值代入待求的代数式$a^2 - 2a$，按运算规则计算就能得到最终结果。
【解析】
解：把$x=4$代入方程$3a - x = \frac{x}{2} + 3$，得
$3a - 4 = \frac{4}{2} + 3$
化简得：$3a - 4 = 5$
移项，得：$3a = 5 + 4$
合并同类项，得：$3a = 9$
系数化为1，得：$a = 3$
把$a=3$代入$a^2 - 2a$，得
$a^2 - 2a = 3^2 - 2×3 = 9 - 6 = 3$
即$a^2 - 2a$的值为3。
【答案】
3
【知识点】
方程的解的定义；一元一次方程的解法；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的应用，解题的关键是明确方程的解可使方程左右两边相等，先代入求出参数的值，再代入代数式计算即可，解题过程中要注意计算的准确性。
【难度系数】
0.8
