1.已知$x,y,c$是有理数,则下列说法正确的是()

A.若$x=y$,则$x+c=y-c$
B.若$x=y$,则$xc=yc$
C.若$x=y$,则$\frac{x}{c}=\frac{y}{c}$
D.若$\frac{x}{2c}=\frac{y}{3c}$,则$2x=3y$

B

【分析】
本题考查等式的性质的应用，解题思路为：先明确等式的两条基本性质，再逐一用性质验证每个选项是否正确。等式性质1：等式两边加或减同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。判断时尤其要注意除以一个数时，这个数不能为0。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：若$x=y$，根据等式性质1，需两边同时加或同时减同一个数，才能保证等式成立，本选项一边加$c$一边减$c$，不符合等式性质，故A错误。
B选项：若$x=y$，根据等式性质2，两边同时乘同一个有理数$c$，等式仍成立，即$xc=yc$，故B正确。
C选项：若$x=y$，当$c=0$时，分母为0，$\frac{x}{c}$和$\frac{y}{c}$无意义，只有$c≠0$时该等式才成立，题目未说明$c≠0$，故C错误。
D选项：若$\frac{x}{2c}=\frac{y}{3c}$，由分母不为0可知$c≠0$，根据等式性质2，两边同时乘$6c$，可得$3x=2y$，而非$2x=3y$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质；分式有意义的条件
【点评】
本题属于等式性质的基础考察题，解题的易错点是容易忽略等式两边除以的数不能为0的限制条件，以及变形时计算错误，掌握等式性质的适用条件是解题关键。
【难度系数】
0.8

2.利用等式的性质，用适当的数填空.
(1)若$2x - 3 = -5$，则$2x = $，$x = $；
(2)若$\frac{x}{4} + 3 = 1$，则$x + 12 = $，$x = $.

(1)$-2$ $-1$ (2)$4$ $-8$

【分析】
本题考查等式性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的两个基本性质：等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立。(1)要得到$2x$，需消去原式左边的$-3$，根据等式性质1，两边同时加3即可；得到$2x$后，要得到$x$，根据等式性质2，两边同时除以2即可。(2)要得到$x+12$，观察到原式左边的$\frac{x}{4}$乘4可得$x$，3乘4可得12，因此根据等式性质2，两边同时乘4即可得到$x+12$的结果，再根据等式性质1，两边同时减12即可求出$x$的值。
【解析】
(1) 已知$2x - 3 = -5$，
根据等式性质1，等式两边同时加3，得：
$2x - 3 + 3 = -5 + 3$
化简得$2x = -2$；
再根据等式性质2，等式两边同时除以2，得：
$\frac{2x}{2} = \frac{-2}{2}$
化简得$x = -1$。
(2) 已知$\frac{x}{4} + 3 = 1$，
根据等式性质2，等式两边同时乘4，得：
$\frac{x}{4} × 4 + 3 × 4 = 1 × 4$
化简得$x + 12 = 4$；
再根据等式性质1，等式两边同时减12，得：
$x + 12 - 12 = 4 - 12$
化简得$x = -8$。
【答案】
(1)$-2$；$-1$ (2)$4$；$-8$
【知识点】
等式的性质；一元一次方程变形
【点评】
本题属于等式性质应用的基础题型，解题核心是熟练掌握等式的两个基本性质，根据待求式子的结构选择对应变形操作，计算时需注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.85

【例2】利用等式的性质解下列方程，并检验.
(1)$x+3=8$; (2)$-5x=30$;
(3)$-\frac{1}{2}x-5=10$.
解:

(1)方程两边减3,得$x+3-3=8-3$,于是$x=5$.
检验:将$x=5$代入方程$x+3=8$的左边,得$5+3=8$.
方程左、右两边的值相等,所以$x=5$是方程$x+3=8$的解.
(2)方程两边除以$-5$,得$\frac{-5x}{-5}=\frac{30}{-5}$,
于是$x=-6$.
检验:将$x=-6$代入方程$-5x=30$的左边,得$-5×(-6)=30$.
方程左、右两边的值相等,所以$x=-6$是方程$-5x=30$的解.
(3)方程两边加5,得$-\frac{1}{2}x-5+5=10+5$.
化简,得$-\frac{1}{2}x=15$.
方程两边乘$-2$,得$-\frac{1}{2}x×(-2)=15×(-2)$,
于是$x=-30$.
检验:将$x=-30$代入方程$-\frac{1}{2}x-5=10$的左边,得$-\frac{1}{2}×(-30)-5=15-5=10$.
方程左、右两边的值相等,所以$x=-30$是方程$-\frac{1}{2}x-5=10$的解.

【分析】
这组题需运用等式的性质求解一元一次方程，解题核心思路是通过等式的变形将方程逐步化为“x=a”的形式，最后代入原方程检验解的正确性。具体思考路径：①观察方程左边的常数项或x的系数，确定变形方向：若方程左边有加/减的常数项，先利用等式的性质1，两边同时加/减同一个数，消去左边的常数项，得到“ax=b（a≠0）”的形式；②再利用等式的性质2，两边同时乘系数的倒数（或除以不为0的系数），将x的系数化为1，得到x的解；③最后把求得的x代入原方程左右两边，验证两边是否相等，确认解的正确性。
【解析】
(1)方程两边减3,得$x+3-3=8-3$,于是$x=5$.
检验:将$x=5$代入方程$x+3=8$的左边,得$5+3=8$.
方程左、右两边的值相等,所以$x=5$是方程$x+3=8$的解.
(2)方程两边除以$-5$,得$\frac{-5x}{-5}=\frac{30}{-5}$,
于是$x=-6$.
检验:将$x=-6$代入方程$-5x=30$的左边,得$-5×(-6)=30$.
方程左、右两边的值相等,所以$x=-6$是方程$-5x=30$的解.
(3)方程两边加5,得$-\frac{1}{2}x-5+5=10+5$.
化简,得$-\frac{1}{2}x=15$.
方程两边乘$-2$,得$-\frac{1}{2}x×(-2)=15×(-2)$,
于是$x=-30$.
检验:将$x=-30$代入方程$-\frac{1}{2}x-5=10$的左边,得$-\frac{1}{2}×(-30)-5=15-5=10$.
方程左、右两边的值相等,所以$x=-30$是方程$-\frac{1}{2}x-5=10$的解.
【答案】
(1)$x=5$；(2)$x=-6$；(3)$x=-30$
【知识点】
等式的性质；一元一次方程的解法；方程的检验
【点评】
本题是运用等式性质解方程的基础题型，重点考察等式性质的规范应用，解题时要注意每一步变形需同时对等式两边做相同运算，避免漏乘漏加的错误，养成检验的习惯能有效提高解题正确率。
【难度系数】
0.8

3.利用等式的性质解下列方程，并检验.
(1)$2x - 7 = 9$;
(2)$-\dfrac{1}{2}x - 2 = 3$.

(1)方程两边加7,得$2x=16$.
方程两边除以2,得$x=8$.
检验:把$x=8$代入方程$2x-7=9$的左边,得$2×8-7=9$.方程左、右两边的值相等,所以$x=8$是方程$2x-7=9$的解.
(2)方程两边加2,得$-\frac{1}{2}x=5$.
方程两边乘$-2$,得$x=-10$.
检验:把$x=-10$代入方程$-\frac{1}{2}x-2=3$的左边,得$-\frac{1}{2}×(-10)-2=3$.方程左、右两边的值相等,所以$x=-10$是方程$-\frac{1}{2}x-2=3$的解.

【分析】
解题前先回忆等式的两个基本性质：1. 等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；2. 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题思路分为三步：第一步用等式性质1消去方程左边的常数项，把方程变形为“ax=b（a≠0）”的形式；第二步用等式性质2将未知数的系数化为1，得到方程的解；第三步将解代入原方程，分别计算左右两边的值，若相等则该值是原方程的解。
【解析】
(1) 根据等式的性质1，方程两边加7，得：
$2x-7+7=9+7$，化简得$2x=16$。
根据等式的性质2，方程两边除以2，得：
$2x÷2=16÷2$，即$x=8$。
检验：把$x=8$代入方程$2x-7=9$的左边，得$2×8-7=9$。方程左、右两边的值相等，所以$x=8$是方程$2x-7=9$的解。
(2) 根据等式的性质1，方程两边加2，得：
$-\dfrac{1}{2}x-2+2=3+2$，化简得$-\dfrac{1}{2}x=5$。
根据等式的性质2，方程两边乘$-2$，得：
$-\dfrac{1}{2}x×(-2)=5×(-2)$，即$x=-10$。
检验：把$x=-10$代入方程$-\dfrac{1}{2}x-2=3$的左边，得$-\dfrac{1}{2}×(-10)-2=3$。方程左、右两边的值相等，所以$x=-10$是方程$-\dfrac{1}{2}x-2=3$的解。
【答案】
(1)$x=8$；(2)$x=-10$
【知识点】
等式的性质，解一元一次方程，方程的检验
【点评】
本题属于基础计算题，重点考查等式性质的规范应用，解题时要注意每一步变形都要符合等式性质的要求，检验环节必须代入原方程验证，熟练掌握该类题型可以为后续学习复杂方程的解法打下坚实基础。
【难度系数】
0.8

【例3】已知$3b - 2a - 1 = 3a - 2b$，请利用等式的性质比较$a$与$b$的大小。
解：

$b＞a$.

【分析】
要比较a与b的大小，可通过判断b-a的正负来实现。我们可以利用等式的性质，对已知等式进行变形，将含a的项和含b的项分别移到等号的两侧，化简得到b和a的数量关系，即可判断二者大小。
【解析】
已知等式：$3b - 2a - 1 = 3a - 2b$
1. 根据等式的性质1，等式两边同时加上$2a + 2b + 1$，得：
$3b - 2a - 1 + 2a + 2b + 1 = 3a - 2b + 2a + 2b + 1$
化简得：$5b = 5a + 1$
2. 根据等式的性质2，等式两边同时除以5，得：
$b = a + \frac{1}{5}$
则$b - a = \frac{1}{5} ＞ 0$，因此$b ＞ a$。
【答案】
$b＞a$
【知识点】
等式的性质；作差法比较大小
【点评】
本题核心是灵活运用等式的性质对式子进行变形，解题的关键是通过移项、化简得到两个未知数的差值符号，属于基础类题型，掌握等式的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

【例4】已知$5x^2 -5x -3=7$，求$x^2 -x +1$的值。
解：

3.

【分析】
首先观察已知等式和待求代数式的结构特征，可发现已知式中含未知数的项$5x^2-5x$恰好是待求式中$x^2-x$的5倍，因此不需要求出$x$的具体值，只需利用等式的性质对已知等式变形，先求出$x^2-x$的值，再整体代入待求式计算即可。
【解析】
1. 对已知等式变形求$5x^2-5x$的值：
根据等式的性质1，等式$5x^2 -5x -3=7$两边同时加3，得：
$5x^2 -5x = 7+3$，即$5x^2 -5x=10$。
2. 求$x^2-x$的值：
根据等式的性质2，等式$5x^2 -5x=10$两边同时除以5，得：
$x^2 -x = 10÷5=2$。
3. 整体代入计算：
将$x^2 -x=2$代入$x^2 -x +1$，得：
$2+1=3$。
【答案】
3
【知识点】
等式的性质、代数式求值、整体代入法
【点评】
本题通过整体代入的思想简化计算，无需解出未知数的具体值，解题核心是快速找到已知式和待求式之间的数量关联，灵活运用等式的性质做变形，是代数式求值类题的基础考法。
【难度系数】
0.8

【规律方法】
(1)两个字母比较大小的两种方法
①可以利用等式的性质先将一个字母用另一个字母表示出来，再比较大小.
②可以转化为比较两个字母之差与0的大小.
(2)整体代入法求多项式的值
利用等式的性质把已知等式变形，得到与所求多项式中所含字母的部分相同的式子，然后将变形后的式子整体代入即可求值.
变式训练
4.若$2a-1=2b+1$，则$a$$b$(填“＞”“

4.$＞$
5.8.

【分析】
要比较a和b的大小，可利用等式的性质对已知等式变形，推导出a与b的数量关系，或计算a-b的结果与0比较大小即可判断。首先对等式2a-1=2b+1进行移项、系数化为1的操作，整理出a关于b的表达式，就能直接判断大小。
【解析】
已知$2a - 1 = 2b + 1$，
根据等式的性质1，等式两边同时加1，得：
$2a = 2b + 2$，
再根据等式的性质2，等式两边同时除以2，得：
$a = b + 1$，
因此$a - b = 1 ＞ 0$，故$a ＞ b$。
【答案】
$＞$
【知识点】
等式的性质；代数式比较大小
【点评】
本题考查等式性质的应用，解题的关键是通过等式变形得到两个字母的数量关系，属于基础题型，掌握等式的基本性质就能快速求解。
【难度系数】
0.9