登录
（1）小圆直径等于大圆半径，小圆面积是大圆面积的（
$\frac{1}{4}$
）。答案
1.(1)$\frac{1}{4}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确圆的面积和半径的关系，圆的面积计算公式是$S=π r^2$，面积的比等于半径平方的比。我们首先根据题目给出的“小圆直径等于大圆半径”的条件，推导得出小圆和大圆的半径比，再代入面积公式计算两者的面积比值即可。
【解析】
方法1：设数法（直观易理解）
假设小圆的半径是1，那么小圆的直径$=2×1=2$。
根据题意，小圆直径等于大圆半径，因此大圆半径$=2$。
分别计算面积：
小圆面积$S_小=π r_小^2=π×1^2=π$
大圆面积$S_大=π r_大^2=π×2^2=4π$
求小圆面积是大圆面积的几分之几：$S_小÷ S_大=π÷4π=\frac{1}{4}$
方法2：字母推导法
设小圆半径为$r$，则小圆直径为$2r$，即大圆半径$R=2r$。
分别计算面积：
小圆面积：$S_小=π r^2$
大圆面积：$S_大=π R^2=π×(2r)^2=4π r^2$
计算比值：$\frac{S_小}{S_大}=\frac{π r^2}{4π r^2}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 圆的面积计算
2. 面积与半径平方的关系
【点评】
这道题是圆的面积相关的基础易错题，解题的关键是先根据直径和半径的关系，正确推导两个圆的半径比，注意不要直接用直径的比值作为面积的比值，圆的面积比等于半径平方的比。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确圆的面积和半径的关系，圆的面积计算公式是$S=π r^2$，面积的比等于半径平方的比。我们首先根据题目给出的“小圆直径等于大圆半径”的条件，推导得出小圆和大圆的半径比，再代入面积公式计算两者的面积比值即可。
【解析】
方法1：设数法（直观易理解）
假设小圆的半径是1，那么小圆的直径$=2×1=2$。
根据题意，小圆直径等于大圆半径，因此大圆半径$=2$。
分别计算面积：
小圆面积$S_小=π r_小^2=π×1^2=π$
大圆面积$S_大=π r_大^2=π×2^2=4π$
求小圆面积是大圆面积的几分之几：$S_小÷ S_大=π÷4π=\frac{1}{4}$
方法2：字母推导法
设小圆半径为$r$，则小圆直径为$2r$，即大圆半径$R=2r$。
分别计算面积：
小圆面积：$S_小=π r^2$
大圆面积：$S_大=π R^2=π×(2r)^2=4π r^2$
计算比值：$\frac{S_小}{S_大}=\frac{π r^2}{4π r^2}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 圆的面积计算
2. 面积与半径平方的关系
【点评】
这道题是圆的面积相关的基础易错题，解题的关键是先根据直径和半径的关系，正确推导两个圆的半径比，注意不要直接用直径的比值作为面积的比值，圆的面积比等于半径平方的比。
【难度系数】
0.7
(3)一个圆环，内圆周长是31.4cm，外圆周长是62.8cm，这个圆环的环宽是(
答案
1.(3)5
解析
【分析】
要计算圆环的环宽，首先要明确环宽是外圆半径与内圆半径的差值。已知内外圆的周长，我们可以根据圆的周长公式推导出半径的计算方法：半径=周长÷π÷2（π取3.14），分别求出外圆和内圆的半径后，用外圆半径减去内圆半径就能得到环宽。
【解析】
圆的周长公式为$C=2π r$，变形可得半径计算公式$r=C÷π÷2$，计算时$π$取3.14。
1. 计算内圆半径：
$r_{内}=31.4÷3.14÷2=5\mathrm{（cm）}$
2. 计算外圆半径：
$r_{外}=62.8÷3.14÷2=10\mathrm{（cm）}$
3. 计算环宽：
环宽 = 外圆半径 - 内圆半径 = $10-5=5\mathrm{（cm）}$
【答案】
5
【知识点】
圆的周长计算、圆环的特征
【点评】
本题核心考察圆周长公式的灵活运用，解题的关键是明确环宽的定义为内外圆的半径差，只要熟练掌握周长公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要计算圆环的环宽，首先要明确环宽是外圆半径与内圆半径的差值。已知内外圆的周长，我们可以根据圆的周长公式推导出半径的计算方法：半径=周长÷π÷2（π取3.14），分别求出外圆和内圆的半径后，用外圆半径减去内圆半径就能得到环宽。
【解析】
圆的周长公式为$C=2π r$，变形可得半径计算公式$r=C÷π÷2$，计算时$π$取3.14。
1. 计算内圆半径：
$r_{内}=31.4÷3.14÷2=5\mathrm{（cm）}$
2. 计算外圆半径：
$r_{外}=62.8÷3.14÷2=10\mathrm{（cm）}$
3. 计算环宽：
环宽 = 外圆半径 - 内圆半径 = $10-5=5\mathrm{（cm）}$
【答案】
5
【知识点】
圆的周长计算、圆环的特征
【点评】
本题核心考察圆周长公式的灵活运用，解题的关键是明确环宽的定义为内外圆的半径差，只要熟练掌握周长公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
（1）下列说法中，正确的是（
A.半圆的周长等于圆周长的一半
B.一个圆的半径缩小到原来的$\frac{1}{3}$，周长就缩小到原来的$\frac{1}{6}$
C.半径是2cm的圆，它的周长和面积无法比较大小
C
）。A.半圆的周长等于圆周长的一半
B.一个圆的半径缩小到原来的$\frac{1}{3}$，周长就缩小到原来的$\frac{1}{6}$
C.半径是2cm的圆，它的周长和面积无法比较大小
答案
2.(1)C
解析
【分析】
解题时需逐个辨析每个选项，结合圆的相关概念、公式判断对错：首先回忆半圆周长的构成、圆周长与半径的关系、周长和面积的定义三类知识点；先判断A选项要区分半圆周长和圆周长一半的差异，再判断B选项要结合周长公式推导半径变化对周长的影响，最后判断C选项要明确不同单位的量无法比较大小。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析A选项：半圆的周长是圆周长的一半加上直径的长度，并不等于圆周长的一半，因此A说法错误。
2. 分析B选项：圆的周长公式为$C=2π r$，若半径缩小到原来的$\frac{1}{3}$，则新周长$C'=2π × (\frac{1}{3}r)=\frac{1}{3}× 2π r=\frac{1}{3}C$，即周长缩小到原来的$\frac{1}{3}$，不是$\frac{1}{6}$，因此B说法错误。
3. 分析C选项：圆的周长是长度，单位是长度单位，圆的面积是所占平面的大小，单位是面积单位，二者表示的意义完全不同，无法比较大小，因此C说法正确。
【答案】
C
【知识点】
半圆的周长计算、圆周长与半径的关系、周长与面积的概念
【点评】
这道题属于圆相关的易混概念题，容易因概念记忆模糊出错，做题时要注意区分半圆周长和圆周长一半的区别，理解周长和半径的正比例关系，同时牢记单位类型不同的量没有可比性，避免概念混淆。
【难度系数】
0.6
解题时需逐个辨析每个选项，结合圆的相关概念、公式判断对错：首先回忆半圆周长的构成、圆周长与半径的关系、周长和面积的定义三类知识点；先判断A选项要区分半圆周长和圆周长一半的差异，再判断B选项要结合周长公式推导半径变化对周长的影响，最后判断C选项要明确不同单位的量无法比较大小。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析A选项：半圆的周长是圆周长的一半加上直径的长度，并不等于圆周长的一半，因此A说法错误。
2. 分析B选项：圆的周长公式为$C=2π r$，若半径缩小到原来的$\frac{1}{3}$，则新周长$C'=2π × (\frac{1}{3}r)=\frac{1}{3}× 2π r=\frac{1}{3}C$，即周长缩小到原来的$\frac{1}{3}$，不是$\frac{1}{6}$，因此B说法错误。
3. 分析C选项：圆的周长是长度，单位是长度单位，圆的面积是所占平面的大小，单位是面积单位，二者表示的意义完全不同，无法比较大小，因此C说法正确。
【答案】
C
【知识点】
半圆的周长计算、圆周长与半径的关系、周长与面积的概念
【点评】
这道题属于圆相关的易混概念题，容易因概念记忆模糊出错，做题时要注意区分半圆周长和圆周长一半的区别，理解周长和半径的正比例关系，同时牢记单位类型不同的量没有可比性，避免概念混淆。
【难度系数】
0.6
（2）扇形的半径不变，圆心角从$60°$扩大到$120°$，扇形的面积（$\quad\quad$）。
A.不变
B.扩大到原来的2倍
C.扩大到原来的4倍
A.不变
B.扩大到原来的2倍
C.扩大到原来的4倍
答案
2.(2)B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆扇形的面积计算公式，明确扇形面积的影响因素。扇形面积由半径和圆心角共同决定，题目已经说明半径不变，因此只需分析圆心角的变化对面积的影响即可。半径不变的前提下，扇形面积和圆心角大小成正比，我们既可以先计算圆心角扩大的倍数推导面积的变化倍数，也可以分别代入公式计算变化前后的面积再比较，两种方法都能得出结果。
【解析】
扇形的面积公式为$ S=\frac{nπ r^2}{360} $（其中$ n $为圆心角度数，$ r $为半径）。
设扇形半径为$ r $：
1. 圆心角为$ 60° $时，原扇形面积$ S_{原}=\frac{60×π× r^2}{360}=\frac{π r^2}{6} $
2. 圆心角扩大到$ 120° $后，现扇形面积$ S_{现}=\frac{120×π× r^2}{360}=\frac{π r^2}{3} $
3. 计算倍数：$ S_{现}÷ S_{原}=\frac{π r^2}{3}÷\frac{π r^2}{6}=2 $
因此扇形面积扩大到原来的2倍，选B。
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算；积的变化规律
【点评】
本题考查扇形面积随圆心角的变化规律，解题时抓住半径不变的前提，通过比例关系或公式代入都能快速得出结果，熟练掌握扇形面积公式是解题的核心。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆扇形的面积计算公式，明确扇形面积的影响因素。扇形面积由半径和圆心角共同决定，题目已经说明半径不变，因此只需分析圆心角的变化对面积的影响即可。半径不变的前提下，扇形面积和圆心角大小成正比，我们既可以先计算圆心角扩大的倍数推导面积的变化倍数，也可以分别代入公式计算变化前后的面积再比较，两种方法都能得出结果。
【解析】
扇形的面积公式为$ S=\frac{nπ r^2}{360} $（其中$ n $为圆心角度数，$ r $为半径）。
设扇形半径为$ r $：
1. 圆心角为$ 60° $时，原扇形面积$ S_{原}=\frac{60×π× r^2}{360}=\frac{π r^2}{6} $
2. 圆心角扩大到$ 120° $后，现扇形面积$ S_{现}=\frac{120×π× r^2}{360}=\frac{π r^2}{3} $
3. 计算倍数：$ S_{现}÷ S_{原}=\frac{π r^2}{3}÷\frac{π r^2}{6}=2 $
因此扇形面积扩大到原来的2倍，选B。
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算；积的变化规律
【点评】
本题考查扇形面积随圆心角的变化规律，解题时抓住半径不变的前提，通过比例关系或公式代入都能快速得出结果，熟练掌握扇形面积公式是解题的核心。
【难度系数】
0.8
3.康康和欣欣分别在大小相同的圆中画了两个小圆(如下图，单位：cm)。小红说：“康康画的小圆的面积之和小于欣欣画的小圆的面积之和。”
你同意小红的说法吗？请写出理由。
你同意小红的说法吗？请写出理由。
答案
3. 同意。康康画的小圆的面积之和：$3.14×(8÷2)^2×2=100.48(\mathrm{cm}^2)$
欣欣画的小圆的面积之和：$3.14×(6÷2)^2+3.14×(10÷2)^2=106.76(\mathrm{cm}^2)$
$100.48 ＜ 106.76$，小红说得对。
欣欣画的小圆的面积之和：$3.14×(6÷2)^2+3.14×(10÷2)^2=106.76(\mathrm{cm}^2)$
$100.48 ＜ 106.76$，小红说得对。
解析
【分析】
要判断小红的说法是否正确，核心是分别计算康康、欣欣所画的两个小圆的面积之和，再比较两个和的大小即可。计算时首先根据“半径=直径÷2”求出每个小圆的半径，再用圆的面积公式$S=π r^2$计算每个小圆的面积，最后分别求和比较大小就能得出结论。
【解析】
1. 计算康康画的小圆面积之和：
康康画的两个小圆直径均为8cm，小圆半径为$8÷2=4\mathrm{cm}$，
单个小圆面积为$3.14×4^2=3.14×16=50.24\mathrm{cm}^2$，
两个小圆面积和为$50.24×2=100.48\mathrm{cm}^2$。
2. 计算欣欣画的小圆面积之和：
欣欣画的两个小圆直径分别为6cm、10cm，对应半径分别为$6÷2=3\mathrm{cm}$、$10÷2=5\mathrm{cm}$，
两个小圆面积和为$3.14×3^2+3.14×5^2=3.14×9+3.14×25=28.26+78.5=106.76\mathrm{cm}^2$。
3. 比较大小：$100.48＜106.76$，说明康康画的小圆面积之和更小，小红的说法正确。
【答案】
同意。康康画的小圆的面积之和：$3.14×(8÷2)^2×2=100.48(\mathrm{cm}^2)$
欣欣画的小圆的面积之和：$3.14×(6÷2)^2+3.14×(10÷2)^2=106.76(\mathrm{cm}^2)$
$100.48 ＜ 106.76$，小红说得对。
【知识点】
1. 圆的面积计算
2. 数的大小比较
【点评】
本题侧重考查圆的面积公式的运用，解题关键是准确提取小圆的直径求出对应半径，不要误把直径直接代入面积公式计算，同时要保证四则运算的准确性。
【难度系数】
0.7
要判断小红的说法是否正确，核心是分别计算康康、欣欣所画的两个小圆的面积之和，再比较两个和的大小即可。计算时首先根据“半径=直径÷2”求出每个小圆的半径，再用圆的面积公式$S=π r^2$计算每个小圆的面积，最后分别求和比较大小就能得出结论。
【解析】
1. 计算康康画的小圆面积之和：
康康画的两个小圆直径均为8cm，小圆半径为$8÷2=4\mathrm{cm}$，
单个小圆面积为$3.14×4^2=3.14×16=50.24\mathrm{cm}^2$，
两个小圆面积和为$50.24×2=100.48\mathrm{cm}^2$。
2. 计算欣欣画的小圆面积之和：
欣欣画的两个小圆直径分别为6cm、10cm，对应半径分别为$6÷2=3\mathrm{cm}$、$10÷2=5\mathrm{cm}$，
两个小圆面积和为$3.14×3^2+3.14×5^2=3.14×9+3.14×25=28.26+78.5=106.76\mathrm{cm}^2$。
3. 比较大小：$100.48＜106.76$，说明康康画的小圆面积之和更小，小红的说法正确。
【答案】
同意。康康画的小圆的面积之和：$3.14×(8÷2)^2×2=100.48(\mathrm{cm}^2)$
欣欣画的小圆的面积之和：$3.14×(6÷2)^2+3.14×(10÷2)^2=106.76(\mathrm{cm}^2)$
$100.48 ＜ 106.76$，小红说得对。
【知识点】
1. 圆的面积计算
2. 数的大小比较
【点评】
本题侧重考查圆的面积公式的运用，解题关键是准确提取小圆的直径求出对应半径，不要误把直径直接代入面积公式计算，同时要保证四则运算的准确性。
【难度系数】
0.7
4.张爷爷家有一个用62.8m长的篱笆靠墙围成的半圆形羊圈，现在需要将羊圈的直径增加3m，需要增加多长的篱笆？（扩建后的羊圈一面仍靠墙）
答案
4. $3.14×3÷2=4.71(\mathrm{m})$
解析
【分析】
首先明确靠墙围成的半圆形羊圈，篱笆的长度就是这个半圆的弧长，半圆弧长公式为：半圆弧长=π×直径÷2。当直径增加3m时，增加的篱笆长度就是直径增加后新的半圆弧长减去原来的半圆弧长，无需先求出原来的直径，直接推导增量的计算方式即可简化计算。
【解析】
已知半圆弧长公式：$\mathrm{半圆弧长} = π × \mathrm{直径} ÷ 2$
设原来羊圈的直径为$d$，则原来的弧长为$π d ÷ 2$
直径增加3m后，新直径为$d+3$，新的弧长为$π × (d+3) ÷ 2$
增加的篱笆长度 = 新弧长 - 原弧长
$\begin{aligned}&=π×(d+3)÷2 - π d÷2\\&=(π d +3π - π d)÷2\\&=3π÷2\end{aligned}$
代入$π=3.14$计算：
$3.14×3÷2=4.71(\mathrm{m})$
【答案】
$4.71\mathrm{m}$
【知识点】
1. 圆的周长计算
2. 半圆弧长实际应用
【点评】
本题是半圆弧长在生活中的应用类题目，解题核心是明确靠墙半圆形羊圈的篱笆长度等于对应半圆的弧长，无需计算原有直径，直接通过直径增量就可以求出弧长增量，能有效简化计算步骤。
【难度系数】
0.7
首先明确靠墙围成的半圆形羊圈，篱笆的长度就是这个半圆的弧长，半圆弧长公式为：半圆弧长=π×直径÷2。当直径增加3m时，增加的篱笆长度就是直径增加后新的半圆弧长减去原来的半圆弧长，无需先求出原来的直径，直接推导增量的计算方式即可简化计算。
【解析】
已知半圆弧长公式：$\mathrm{半圆弧长} = π × \mathrm{直径} ÷ 2$
设原来羊圈的直径为$d$，则原来的弧长为$π d ÷ 2$
直径增加3m后，新直径为$d+3$，新的弧长为$π × (d+3) ÷ 2$
增加的篱笆长度 = 新弧长 - 原弧长
$\begin{aligned}&=π×(d+3)÷2 - π d÷2\\&=(π d +3π - π d)÷2\\&=3π÷2\end{aligned}$
代入$π=3.14$计算：
$3.14×3÷2=4.71(\mathrm{m})$
【答案】
$4.71\mathrm{m}$
【知识点】
1. 圆的周长计算
2. 半圆弧长实际应用
【点评】
本题是半圆弧长在生活中的应用类题目，解题核心是明确靠墙半圆形羊圈的篱笆长度等于对应半圆的弧长，无需计算原有直径，直接通过直径增量就可以求出弧长增量，能有效简化计算步骤。
【难度系数】
0.7
5.将一个圆剪成4个相同的扇形，扇形的周长和比圆的周长多32cm。每个扇形的面积是多少平方厘米？
答案
5. $32÷4÷2=4(\mathrm{cm})$ $3.14×4^2÷4=12.56(\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
解题时首先要明确周长增加的部分：将圆沿着两条互相垂直的直径剪成4个相同扇形时，原本在圆内部、不算周长的直径，剪开后两侧都成为了扇形周长的组成部分，总周长比原来圆的周长多了4条直径的总长度。接下来先用增加的总长度求出直径，再计算半径，最后因为4个扇形完全相同，每个扇形的面积是整圆面积的四分之一，结合圆的面积公式计算即可。
【解析】
1. 求圆的半径：
增加的32cm对应4条直径的总长度，因此圆的直径为$32÷4=8(\mathrm{cm})$，半径为$8÷2=4(\mathrm{cm})$，合并计算为$32÷4÷2=4(\mathrm{cm})$。
2. 求每个扇形的面积：
4个扇形完全相同，每个扇形面积为整圆面积的$\frac{1}{4}$，整圆面积为$3.14×4^2$，因此每个扇形面积为$3.14×4^2÷4=12.56(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$12.56\mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆的周长、圆的面积、扇形面积
【点评】
本题的解题核心是准确判断圆分割为扇形后增加的周长对应的线段构成，避免误算增加的长度，理清这一关系后结合圆的面积公式即可求解，属于容易混淆周长构成的典型题型。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确周长增加的部分：将圆沿着两条互相垂直的直径剪成4个相同扇形时，原本在圆内部、不算周长的直径，剪开后两侧都成为了扇形周长的组成部分，总周长比原来圆的周长多了4条直径的总长度。接下来先用增加的总长度求出直径，再计算半径，最后因为4个扇形完全相同，每个扇形的面积是整圆面积的四分之一，结合圆的面积公式计算即可。
【解析】
1. 求圆的半径：
增加的32cm对应4条直径的总长度，因此圆的直径为$32÷4=8(\mathrm{cm})$，半径为$8÷2=4(\mathrm{cm})$，合并计算为$32÷4÷2=4(\mathrm{cm})$。
2. 求每个扇形的面积：
4个扇形完全相同，每个扇形面积为整圆面积的$\frac{1}{4}$，整圆面积为$3.14×4^2$，因此每个扇形面积为$3.14×4^2÷4=12.56(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$12.56\mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆的周长、圆的面积、扇形面积
【点评】
本题的解题核心是准确判断圆分割为扇形后增加的周长对应的线段构成，避免误算增加的长度，理清这一关系后结合圆的面积公式即可求解，属于容易混淆周长构成的典型题型。
【难度系数】
0.6
