7.[教材P97练习第1题改编]如图，点E在AB上，点F在AC上，且$AE=AF$，$AB=AC$。若$BF=5$，$DE=1$，则$DC$的长为（）

A.1
B.4
C.5
D.6

7.B

【分析】
解题时首先观察图形和已知条件：已知AB=AC，AF=AE，且△ABF和△ACE共享公共角∠A，满足两边及其夹角相等的全等判定条件，可先证明两个三角形全等，得到对应边CE的长度，再结合DE的长度，通过线段和差关系计算DC的长度。
【解析】
在$△ ABF$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}AB = AC (\mathrm{已知}) \\∠ A = ∠ A (\mathrm{公共角}) \\AF = AE (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ ACE (\mathrm{SAS})$
根据全等三角形对应边相等，可得$CE = BF = 5$。
已知$DE = 1$，由线段和差关系得：
$DC = CE - DE = 5 - 1 = 4$。
【答案】
B
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的基础应用题，解题核心是准确识别图形中的公共角，利用SAS判定定理证明三角形全等，再结合线段和差计算所求线段长度，是全等三角形章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8

8. 如图所示为6个边长相等的正方形的组合图形，则$∠1+∠2+∠3=$（）

A.$90°$
B.$120°$
C.$135°$
D.$150°$

8.C

【分析】
解题时可分三步思考：首先观察∠2的位置，它是正方形对角线与边的夹角，可直接得出∠2的度数；其次观察∠1和∠3所在的直角三角形，结合所有正方形边长相等的条件，可通过SAS判定这两个直角三角形全等；最后根据全等三角形对应角相等、直角三角形两锐角互余的性质，推出∠1与∠3的和，再加上∠2的度数即可得到最终结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 求∠2的度数：∠2是正方形对角线分割直角得到的角，等腰直角三角形的锐角为45°，因此$∠ 2=45°$。
2. 证明∠1和∠3所在的直角三角形全等：
包含∠1的直角三角形两直角边长度为1和3，包含∠3的直角三角形两直角边长度也为1和3，且两边的夹角均为直角$90°$，根据SAS判定定理，两个直角三角形全等。
3. 推导∠1+∠3的度数：由全等三角形对应角相等可知，∠1等于∠3所在直角三角形的另一个锐角，结合直角三角形两锐角互余，可得$∠ 1 + ∠ 3 = 90°$。
4. 计算三个角的和：$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 90° + 45° = 135°$。
【答案】
C
【知识点】
SAS判定三角形全等，正方形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是典型的网格中角度求和问题，解题的关键是观察图形特征构造全等三角形，将分散的角度关系建立联系，同时要熟练掌握正方形、直角三角形的基本性质。
【难度系数】
0.6

9. 如图，已知$OA=OC$，$OB=OD$，且$OA⊥ OB$，$OC⊥ OD$. 给出下列结论：①$△ AOD ≌ △ COB$；②$CD=AB$；③$∠ CDA=∠ ABC$，其中正确的是.（填序号）

9.①②③

【分析】
解题时先结合已知的边相等、垂直条件推导相等的夹角，再利用SAS判定定理证明三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等、对应角相等的性质逐一验证三个结论：
1. 证△AOD和△COB的夹角相等，结合已知边相等判断是否满足SAS全等条件；
2. 证△AOB和△COD全等，推导CD和AB的数量关系；
3. 利用前两步得到的全等三角形对应角相等，通过角的和差运算判断∠CDA和∠ABC是否相等。
【解析】
解：
∵OA⊥OB，OC⊥OD，
∴∠AOB=∠COD=90°。
1. 验证结论①：
∠AOB + ∠AOC = ∠COD + ∠AOC，即∠COB=∠AOD。
在△AOD和△COB中：
$\{\begin{array}{l} OA=OC(已知)\\ ∠ AOD=∠ COB(已证)\\ OD=OB(已知)\end{array} $
∴△AOD≌△COB（SAS），故①正确。
2. 验证结论②：
在△AOB和△COD中：
$\{\begin{array}{l} OA=OC(已知)\\ ∠ AOB=∠ COD=90°(已知)\\ OB=OD(已知)\end{array} $
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴CD=AB（全等三角形对应边相等），故②正确。
3. 验证结论③：
由△AOD≌△COB，得∠ADO=∠CBO（全等三角形对应角相等）；
由△AOB≌△COD，得∠CDO=∠ABO（全等三角形对应角相等）。
∴∠CDO - ∠ADO = ∠ABO - ∠CBO，即∠CDA=∠ABC，故③正确。
综上，①②③均正确。
【答案】
①②③
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础综合题，解题核心是利用垂直关系得到相等的夹角，结合已知的等边条件证明三角形全等，再通过全等性质推导边、角的等量关系，掌握SAS判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7

10. 如图，公园里有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB//CD，在AB，BC，CD三段路旁各有一个小石凳E，M，F，且BE＝CF，M是BC的中点，则石凳E，M，F在同一条直线上吗？为什么？

10.石凳E,M,F在同一条直线上.理由略.

【分析】
要判断E、M、F是否在同一条直线上，核心思路是证明∠EMF为平角。首先连接EM、FM，结合已知AB//CD可得到一组内错角相等，再利用M是BC中点得到边相等的条件，配合已知的BE=CF，即可用SAS判定△BEM和△CFM全等，得到对应角相等后，结合平角的定义就能推导得出∠EMF是180°，进而证明三点共线。
【解析】
石凳E，M，F在同一条直线上，理由如下：
连接EM、FM。
∵AB//CD，
∴∠B = ∠C（两直线平行，内错角相等）。
∵M是BC的中点，
∴BM = CM。
在△BEM和△CFM中：
$\{\begin{array}{l}BE=CF(\mathrm{已知})\\ ∠ B=∠ C(\mathrm{已证})\\ BM=CM(\mathrm{已证})\end{array} $
∴△BEM ≌ △CFM（SAS）。
∴∠BME = ∠CMF（全等三角形的对应角相等）。
又
∵∠BME + ∠EMC = 180°（平角的定义），
∴∠CMF + ∠EMC = 180°（等量代换），即∠EMF = 180°，
∴E、M、F在同一条直线上。
【答案】
石凳E，M，F在同一条直线上。
【知识点】
平行线的性质；SAS判定全等；平角的定义
【点评】
本题结合生活场景考查三点共线的证明，解题关键是通过全等三角形得到等角，再利用平角的性质完成推导，是全等三角形判定的基础应用类题目。
【难度系数】
0.7

11. [教材P117 A组复习题第11题改编]如图，$∠ BAC = ∠ DAE = 90°, AB = AC, AD = AE$，且$C,D,E$三点在同一条直线上，连接$BD$.
(1)求证:$BD=CE$；
(2)线段$BD,CE$存在什么位置关系？证明你的结论.

11.(1)证明略.
(2)$BD⊥CE$.证明略.

【分析】
(1) 要证BD=CE，可通过证明两线段所在的三角形全等实现。观察可知BD、CE分别在△BAD和△CAE中，已知AB=AC、AD=AE，只需证两边夹角相等：由∠BAC=∠DAE=90°，同时加公共角∠CAD可得∠BAD=∠CAE，满足SAS全等判定条件，证得△BAD≌△CAE后即可推出对应边相等。
(2) 猜想BD与CE的位置关系为垂直，需证∠BDC=90°。由(1)的全等可得∠ABD=∠ACE，结合等腰直角△ABC中∠ABC+∠ACB=90°，将∠ABD替换为∠ACE，可推导得∠DBC+∠BCD=90°，根据三角形内角和即可得∠BDC=90°，证得垂直关系。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠ BAC=∠ DAE=90°$
$\therefore ∠ BAC+∠ CAD=∠ DAE+∠ CAD$，即$∠ BAD=∠ CAE$
在$△ BAD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases}AB=AC(\mathrm{已知})\\∠ BAD=∠ CAE(\mathrm{已证})\\AD=AE(\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS})$
$\therefore BD=CE$（全等三角形对应边相等）
(2) $BD⊥ CE$，证明如下：
由(1)得$△ BAD≌△ CAE$，$\therefore ∠ ABD=∠ ACE$
$\because ∠ BAC=90°,AB=AC$
$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=90°$，即$∠ ABD+∠ DBC+∠ ACB=90°$
将$∠ ABD$替换为$∠ ACE$，得$∠ ACE+∠ DBC+∠ ACB=90°$，即$∠ DBC+∠ BCD=90°$
在$△ BDC$中，$∠ BDC=180°-(∠ DBC+∠ BCD)=180°-90°=90°$
$\therefore BD⊥ CE$
【答案】
(1) $BD=CE$，证明成立；
(2) $BD⊥ CE$，证明成立。
【知识点】
SAS全等判定、全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于“手拉手”全等模型的基础应用题，解题核心是通过角度的和差关系推导全等所需的等角，再利用全等的性质转化边角关系，掌握全等三角形的判定定理和性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7

12. [2024·安庆期末]如图,在$△ ABC$中,$AB=BC$,D是边AC上一点,E为$△ ABC$外的任意一点,连接BD,BE,DE,其中$BE=BC$,$∠ ABD=∠ EBD$.
(1)求证:$∠ A=∠ E$;
(2)若$BD=DE$,$BE=6$,$AC=10$,求$△ BDC$的周长.

12.(1)证明:$\because AB=BC,BE=BC,\therefore AB=BE$.
在$△ ABD$和$△ EBD$中,$\because \begin{cases} AB=EB,\\ ∠ ABD=∠ EBD,\\ BD=BD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ EBD(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ A=∠ E$.
(2)由(1)知$△ ABD≌△ EBD,\therefore DA=DE$.
$\because BD=DE,\therefore DA=BD$.
$\because AC=DA+DC=10,\therefore BD+DC=10$.
$\because BC=BE=6$,
$\therefore △ BDC$的周长为$BD+DC+BC=10+6=16$.

【分析】
(1) 要证明∠A=∠E，可通过证明两角所在的三角形全等实现：首先由已知AB=BC、BE=BC，可推出AB=BE，再结合已知∠ABD=∠EBD和公共边BD=BD，即可用SAS判定△ABD≌△EBD，根据全等三角形对应角相等即可得证。
(2) 求△BDC的周长，首先明确周长为BD+DC+BC：由(1)的全等结论可得AD=DE，结合BD=DE可推出AD=BD，因此BD+DC=AD+DC=AC，再结合BC=BE=6，代入即可求出周长。
【解析】
(1) 证明：$\because AB=BC,BE=BC,\therefore AB=BE$。
在$△ ABD$和$△ EBD$中，$\because \begin{cases} AB=EB,\\ ∠ ABD=∠ EBD,\\ BD=BD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ EBD(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ A=∠ E$。
(2) 解：由(1)知$△ ABD≌△ EBD,\therefore DA=DE$。
$\because BD=DE,\therefore DA=BD$。
$\because AC=DA+DC=10,\therefore BD+DC=10$。
$\because BC=BE=6$,
$\therefore △ BDC$的周长为$BD+DC+BC=10+6=16$。
【答案】
(1) $∠ A=∠ E$得证；(2) $\boxed{16}$
【知识点】
SAS全等判定，全等三角形的性质，三角形周长计算
【点评】
本题是全等三角形应用的典型基础题，解题核心是结合已知条件找到全等三角形的判定依据，再通过等量代换将待求线段转化为已知长度的线段，同时考查了周长的计算方法，整体逻辑清晰，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7