知识梳理
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于。

相似比

【分析】
这道题考查相似三角形的基础性质，解题时首先回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的所有对应线段的比值都与相似比相等。题目中提到的对应高、对应角平分线、对应中线都属于相似三角形的对应线段，因此可直接对应性质得出结论，也可以通过证明这些线段所在的小三角形相似，推导得出它们的比值等于相似三角形的相似比。
【解析】
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。
也可以通过推导验证：设两个相似三角形的相似比为k，即对应边的比为k，若作一组对应高，可得到两个分别包含对应高的直角三角形，这两个直角三角形有一组锐角相等（原相似三角形的对应角），因此这两个直角三角形也相似，可得对应高的比为k，同理可证对应角平分线、对应中线的比均等于相似比k。
【答案】
相似比
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对相似三角形基础性质的掌握，牢记相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

1. 已知$△ ABC ∽ △ DEF$，且相似比为$\frac{3}{4}$，则下列说法错误的是()。

A.$∠ ABC = ∠ DEF$，$\frac{AB}{DE} = \frac{3}{4}$
B.对应角平分线的比为$\frac{3}{4}$
C.对应高的比为$\frac{9}{16}$
D.对应中线的比为$\frac{3}{4}$

1. C

【分析】
解题时首先回忆相似三角形的相关性质：相似三角形对应角相等，对应边的比等于相似比；对应高、对应中线、对应角平分线等对应线段的比都等于相似比，只有面积比是相似比的平方。接下来逐一对比四个选项和上述性质，找出表述错误的选项即可。
【解析】
已知$△ ABC ∽ △ DEF$，相似比为$\frac{3}{4}$，根据相似三角形的性质逐一判断：
1. 对选项A：相似三角形对应角相等，对应边比等于相似比，因此$∠ ABC = ∠ DEF$，$\frac{AB}{DE} = \frac{3}{4}$，表述正确，不符合题意；
2. 对选项B：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，即比为$\frac{3}{4}$，表述正确，不符合题意；
3. 对选项C：相似三角形对应高的比等于相似比，应为$\frac{3}{4}$，$\frac{9}{16}$是相似三角形的面积比，表述错误，符合题意；
4. 对选项D：相似三角形对应中线的比等于相似比，即比为$\frac{3}{4}$，表述正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质；相似比；对应线段比例关系
【点评】
本题是相似三角形性质的基础考查题，易错点是混淆相似三角形对应线段的比与面积比和相似比的关系，牢记对应线段的比等于相似比、面积比等于相似比的平方即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2. 如图，$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，$AD$，$BE$分别是$△ ABC$的高和中线，$A'D'$，$B'E'$分别是$△ A'B'C'$的高和中线，且$AD=4$，$A'D'=3$，$BE=6$，则$B'E'$的长为（）。

A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{5}{2}$
C.$\frac{7}{2}$
D.$\frac{9}{2}$

2. D

【分析】
本题可利用相似三角形的性质求解。首先明确相似三角形的对应高之比、对应中线之比都等于相似比，先由已知的对应高AD和A'D'求出两个三角形的相似比，再根据对应中线的比等于相似比列出比例式，即可求出B'E'的长度。
【解析】
解：
∵△ABC∽△A'B'C'，AD、A'D'分别是两个三角形的对应高，BE、B'E'分别是两个三角形的对应中线，
∴相似比$k=\frac{AD}{A'D'}=\frac{BE}{B'E'}$。
将AD=4，A'D'=3，BE=6代入得：
$\frac{4}{3}=\frac{6}{B'E'}$，
交叉相乘得：$4B'E'=6×3=18$，
解得：$B'E'=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质；比例的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查相似三角形对应线段（高、中线等）的比等于相似比的性质，只要能准确识别对应线段，正确列出比例式计算即可得出答案，是对相似三角形基础性质的直接应用。
【难度系数】
0.8

3. 如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$分别在$AB$，$AC$上，$AF$平分$∠ BAC$交$DE$于点$G$。若$AE=6$，$EC=2$，$AD=4$，$BD=8$，则$AG:AF$的值为()。

A.$1:2$
B.$1:3$
C.$1:4$
D.$2:3$

3. A

【分析】
要求$AG:AF$的比值，可先判断包含这两条线段的三角形是否相似。首先先计算$△ ABC$的边$AB$、$AC$的长度，再验证$△ ADE$和$△ ACB$的两组对应边的比值是否相等，结合公共角即可证明两三角形相似，再利用相似三角形对应角平分线的比等于相似比，就能求出所求比值。
【解析】
首先计算边长：
$AB = AD + BD = 4 + 8 = 12$，$AC = AE + EC = 6 + 2 = 8$
可得：$\frac{AD}{AC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{AE}{AB}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
又$\because ∠ DAE = ∠ CAB$（公共角）
$\therefore △ ADE ∽ △ ACB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
$\because AF$平分$∠ BAC$，$\therefore AG$是$△ ADE$的角平分线，$AF$是$△ ACB$的角平分线
根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比，可得：
$\frac{AG}{AF}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$
即$AG:AF=1:2$
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是基础类几何题，核心考查相似三角形的判定与性质的应用，解题的突破口是通过计算边长比例结合公共角证明三角形相似，再利用相似三角形对应线段的比等于相似比求解，是相似三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7

4. 如图,在△ABC中,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,DE//BC,CF,EG分别是△ABC与△ADE的中线。已知AD:DB =4:3,EG =4 cm,求CF的长。

$\because AD: DB = 4: 3, \therefore AD: AB = 4: 7$。$\because DE // BC$，$\therefore △ ABC ∽ △ ADE$。$\because CF,EG$分别是$△ ABC, △ ADE$的中线，$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{EG}{CF},\therefore \frac{4}{7}=\frac{4}{CF}$。$\therefore CF = 7\ \mathrm{cm}$

【分析】
解题时先从已知条件$DE// BC$入手，可判定$△ ADE$与$△ ABC$相似；再结合$AD:DB=4:3$，先求出两个相似三角形的相似比即$AD:AB$的值；接下来根据相似三角形的性质：相似三角形对应中线的比等于相似比，已知$EG$是$△ ADE$的中线，$CF$是$△ ABC$的中线，即可建立关于$CF$的比例式，代入数值计算就能得到$CF$的长度。
【解析】
解：$\because AD:DB = 4: 3$，
$\therefore AD:AB = AD:(AD+DB) = 4:(4+3)=4:7$。
$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
又$\because CF,EG$分别是$△ ABC$与$△ ADE$的中线，相似三角形对应中线的比等于相似比，
$\therefore \frac{EG}{CF}=\frac{AD}{AB}$。
将$EG=4\ \mathrm{cm}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{4}{7}$代入得：$\frac{4}{CF}=\frac{4}{7}$，
解得$CF=7\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boxed{7\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例运算
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是利用平行条件判定三角形相似，再结合相似三角形对应中线的性质建立比例关系求解，熟练掌握相似三角形的各类性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8