举一反三 如图，从学校A到书店B有两条路线，①号路线是A→B，②号路线是A→C→B。小明认为学校到书店最近的路线是①号路线，得出这个结论依据的数学原理是。

举一反三 两点之间，线段最短

典例3 如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线$AM$；②在射线$AM$上顺次截取$AC=CD=a$；③在射线$DM$上截取$DE=b$；④在线段$EA$上截取$EB=c$，发现点$B$在线段$CD$上. 由操作可知，线段$AB=(\quad)$.


A.$a+b-c$
B.$a+b+c$
C.$2a+b+c$
D.$2a+b-c$

举一反三 如图,点 C 为线段 AB 上的一点,若$AB=7$,$BC=3$,则$AC=(\quad)$。


A.10
B.7
C.5
D.4

举一反三 D

典例4 如图，M，P，N三点在直线l上.

(1)尺规作图:在线段PN的延长线上作NB=NP,在线段NP的延长线上作PA=2PN；
(2)若AM=PM+8,PA=20,求MN的长.

解：
(1) 按尺规作图要求，以N为圆心、NP长为半径画弧，交PN的延长线于点B；以P为圆心、PN长为半径画弧，在NP的延长线上连续截取两段长度等于PN的线段，得到点A，保留作图痕迹即可。
(2) 由点M在线段AP上，可得 $AP = AM + PM$。
将 $AM = PM + 8$，$PA=20$ 代入得：
$20 = PM + 8 + PM$
$2PM = 12$
解得 $PM = 6$。
由 $PA = 2PN$，$PA=20$，得 $2PN=20$，解得 $PN=10$。
由线段和的定义可知 $MN = PM + PN$，代入数值计算：
$MN = 6 + 10 = 16$。
答：MN的长为16。

举一反三 在一条笔直的路上有A，B，C，D四个公交站台，请根据图中的数据解答下列问题。

(1)求A，D两个站台之间的距离；
(2)若B站台位于A，C两个站台的中间，求C，D两个站台之间的距离。

(1) 由题图可知，$AB = m + n$，$BD = 3m + 2n$，$AD = AB + BD$，所以A，D两个站台之间的距离为$AB + BD = m + n + 3m + 2n = 4m + 3n$。
(2) 因为B站台位于A，C两个站台的中间，所以$AB = BC = m + n$，所以C，D两个站台之间的距离为$CD = BD - BC = 3m + 2n - (m + n) = 2m + n$。