5. 已知$∠ ABC=50°$,射线$BD$在射线$BA$的上方,$BE$平分$∠ CBD$.

(1)如图1,当射线$BE$在射线$BA$的下方,且$∠ ABD=30°$时,求$∠ ABE$的度数.请补全下面的解答过程;
解:因为$∠ ABC=50°,∠ ABD=30°$,
所以$∠ CBD=∠$$+∠ ABD=$$°$.
因为$BE$平分$∠ CBD$,所以$∠ DBE=$$∠ CBD=$$°$,
所以$∠ ABE=∠ DBE-∠$$=$$°$.

(2)如图2,当射线$BE$在射线$BA$的上方,且$∠ ABE=15°$时,求$∠ ABD$的度数.

5. (1) ABC 80 $\frac{1}{2}$ 40 ABD 10
(2) 解 因为∠ABE=15°，∠ABC=50°，
所以∠CBE=∠ABC+∠ABE=65°.
因为BE平分∠CBD，
所以∠CBD=2∠CBE=130°.
所以∠ABD=∠CBD−∠ABC=80°.

【分析】
（1）解决第一问时，先结合角的位置关系判断∠CBD是∠ABC与∠ABD的和，先计算∠CBD的度数；再利用角平分线的定义，得出∠DBE等于∠CBD的一半，求出∠DBE的度数；最后根据∠ABE是∠DBE与∠ABD的差，计算出最终结果。
（2）解决第二问时，首先根据射线BE的位置，判断∠CBE是∠ABC与∠ABE的和，先求出∠CBE的度数；再结合角平分线的定义，得到∠CBD是∠CBE的2倍，算出∠CBD的度数；最后用∠CBD减去∠ABC，即可得到∠ABD的度数。
【解析】
（1）补全解答过程如下：
因为$∠ ABC=50°,∠ ABD=30°$,
所以$∠ CBD=∠\mathrm{ABC} +∠ ABD=80°$.
因为$BE$平分$∠ CBD$,所以$∠ DBE=\frac{1}{2}∠ CBD=40°$,
所以$∠ ABE=∠ DBE-∠\mathrm{ABD}=10°$.
（2）解：因为$∠ABE=15°$，$∠ABC=50°$，
所以$∠CBE=∠ABC+∠ABE=50°+15°=65°$.
因为$BE$平分$∠CBD$，
所以$∠CBD=2∠CBE=2×65°=130°$.
所以$∠ABD=∠CBD−∠ABC=130°-50°=80°$.
【答案】
(1) $\mathrm{ABC}$，$80$，$\frac{1}{2}$，$40$，$\mathrm{ABD}$，$10$
(2) $80°$
【知识点】
角的和差运算，角平分线的定义
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题的关键是结合图形准确判断各角之间的数量关系，审题时要注意区分射线的位置，避免因判断错角的和差关系失分。
【难度系数】
0.8

1. 余角和补角
典例1 已知锐角∠AOB.
(1)若∠AOB=65°,则∠AOB的余角的度数为.
(2)若∠AOB=53°17′,则∠AOB的补角的度数为.
举一反三 (1)若∠MON=32°,则它的余角的度数为.
(2)若∠MOP=45°4′,则它的补角的度数为.

1. (1) 25° 解析 ∠ AOB的余角的度数为90°−∠ AOB = 90°−65° = 25°
(2) 126°43' 解析 ∠ AOB的补角的度数为180°−∠ AOB = 180°−53°17' = 126°43'
举一反三 (1) 58°
(2) 134°56′

【分析】
解题时首先明确两个核心定义：①若两个角的和为90°，则这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角；②若两个角的和为180°，则这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角。求已知角的余角用90°减去该角，求补角用180°减去该角即可；涉及度分秒计算时，要遵循度分秒60进制的规则，不够减时借1°当作60′再计算。
【解析】
典例1
(1) 根据余角的定义，∠AOB的余角 = 90° - ∠AOB
代入∠AOB=65°，得：90° - 65° = 25°
(2) 根据补角的定义，∠AOB的补角 = 180° - ∠AOB
将180°换算为179°60′，代入∠AOB=53°17′，得：179°60′ - 53°17′ = 126°43′
举一反三
(1) 根据余角的定义，∠MON的余角 = 90° - ∠MON = 90° - 32° = 58°
(2) 根据补角的定义，∠MOP的补角 = 180° - ∠MOP
将180°换算为179°60′，代入∠MOP=45°4′，得：179°60′ - 45°4′ = 134°56′
【答案】
典例1 (1) 25°；(2) 126°43′
举一反三 (1) 58°；(2) 134°56′
【知识点】
余角的定义；补角的定义；度分秒运算
【点评】
本题是余角、补角相关的基础题型，核心是牢记余角和补角的定义，同时注意度分秒计算时的60进制换算规则，熟练掌握后即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2. 余角和补角的性质
典例2 O是直线AB上一点，在同一平面内，直线AB的同侧有$∠ AOD = ∠ DOB = ∠ COE = 90°$.
(1)请根据题意画出图形，并分别写出$∠ COD$的余角，$∠ AOC$的补角；
(2)写出图中相等的锐角，并说明理由.

解：
(1) 图形绘制：先画直线AB，点O在直线AB上，在AB的同侧作射线OD，使OD⊥AB，满足∠AOD=∠DOB=90°，再作射线OC、OE，使OC在∠AOD内部，OE在∠DOB内部，且∠COE=90°。
∠COD的余角为∠AOC、∠DOE；
∠AOC的补角为∠BOC。
(2) 图中相等的锐角为∠AOC=∠DOE，∠COD=∠EOB。
理由：
∵ ∠AOD=90°，
∴ ∠AOC + ∠COD = 90°，
∵ ∠COE=90°，
∴ ∠DOE + ∠COD = 90°，
根据同角的余角相等，可得∠AOC=∠DOE。
∵ ∠DOB=90°，
∴ ∠EOB + ∠DOE = 90°，
又∵ ∠COD + ∠DOE = 90°，
根据同角的余角相等，可得∠COD=∠EOB。

【分析】
解题时先处理第(1)问：①画图：先确定直线AB及直线上的点O，根据∠AOD=∠DOB=90°可知OD⊥AB，在AB同侧画出垂直于AB的射线OD，再在∠AOD内部画射线OC、∠DOB内部画射线OE，满足∠COE=90°即可；②找∠COD的余角：紧扣余角定义（和为90°的两个角互为余角），找与∠COD相加等于90°的角；找∠AOC的补角：紧扣补角定义（和为180°的两个角互为补角），找与∠AOC相加等于180°的角。处理第(2)问时，利用“同角的余角相等”的性质，找到两组分别和同一个角互余的角，即可得到相等的锐角。
【解析】
(1) 图形绘制：先画直线AB，点O在直线AB上，在AB的同侧作射线OD，使OD⊥AB，满足∠AOD=∠DOB=90°，再作射线OC、OE，使OC在∠AOD内部，OE在∠DOB内部，且∠COE=90°。
根据余角定义：和为90°的两个角互为余角，
∵ ∠AOD=90°，
∴ ∠AOC + ∠COD = 90°，
∵ ∠COE=90°，
∴ ∠DOE + ∠COD = 90°，
∴ ∠COD的余角为∠AOC、∠DOE；
根据补角定义：和为180°的两个角互为补角，
∵ O是直线AB上一点，∠AOC + ∠BOC = 180°，
∴ ∠AOC的补角为∠BOC。
(2) 相等的锐角为∠AOC=∠DOE，∠COD=∠EOB，理由如下：
∵ ∠AOD=90°，
∴ ∠AOC + ∠COD = 90°，
∵ ∠COE=90°，
∴ ∠DOE + ∠COD = 90°，
根据同角的余角相等，可得∠AOC=∠DOE。
∵ ∠DOB=90°，
∴ ∠EOB + ∠DOE = 90°，
又
∵ ∠COE=90°，即∠COD + ∠DOE = 90°，
根据同角的余角相等，可得∠COD=∠EOB。
【答案】
(1) 画图见解析；∠COD的余角为∠AOC、∠DOE；∠AOC的补角为∠BOC；
(2) 相等的锐角为$\boldsymbol{∠AOC=∠DOE}$，$\boldsymbol{∠COD=∠EOB}$，理由见解析。
【知识点】
余角的定义；补角的定义；同角的余角相等
【点评】
本题是余角、补角性质的基础应用题型，解题核心是准确识别图形中角的和差关系，熟练掌握余角、补角的定义及相关性质，画图时需注意各射线的位置要求，避免因图形绘制错误导致找角失误。
【难度系数】
0.8

举一反三 若∠1和∠2互余，∠2与∠3互余，∠1=40°，则∠3等于（）。

A.40°
B.130°
C.50°
D.140°

A

【分析】
解题时首先明确互余的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角。已知∠1和∠2互余、∠2和∠3互余，说明∠1和∠3都是∠2的余角，可直接利用“同角的余角相等”的性质得出∠3和∠1相等，快速得到结果；也可以先通过∠1的度数计算出∠2的度数，再结合∠2和∠3互余的条件算出∠3的度数，两种思路均可解题。
【解析】
方法一：利用余角定义分步计算
∵∠1和∠2互余，
∴∠1+∠2=90°，
已知∠1=40°，
∴∠2=90°-∠1=90°-40°=50°，
又
∵∠2和∠3互余，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠3=90°-∠2=90°-50°=40°。
方法二：利用余角性质直接求解
∵∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，
∴∠1和∠3都是∠2的余角，根据“同角的余角相等”，可得∠3=∠1=40°。
综上答案选A。
【答案】
A
【知识点】
余角的定义；余角的性质
【点评】
本题属于余角相关的基础计算题，既可以通过余角的定义逐步推导角度，也可以直接利用余角的性质快速得到答案，解题时可灵活选择方法。
【难度系数】
0.9