21. (本小题满分12分)
某材料厂为节约资源、变废为宝，计划将一批三角形废料截成不同大小的正方形铁片加以利用. 如图，在三角形废料ABC中，已知AC=40 cm，BC=30 cm，∠C=90°.
(1)如图①，若截取△ABC的内接正方形DEFG，求此正方形的边长.
(2)如图②，若在△ABC内并排截取两个相同的正方形(它们组成的矩形内接于△ABC)，求此时正方形的边长.
(3)如图③，若在△ABC内并排截取三个相同的正方形(它们组成的矩形内接于△ABC)，求此时正方形的边长.
(4)如图④，若在△ABC内并排截取n个相同的正方形(它们组成的矩形内接于△ABC)，求此时正方形的边长.

21. 解：(1)如图①，作$△ABC$的高$CN$，交$GF$于点$M$，交$AB$于点$N$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，
$\because AC=40\ \mathrm{cm}$，$BC=30\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB=50\ \mathrm{cm}$，$CN=\frac{AC· BC}{AB}=24(\mathrm{cm})$。
由$GF//AB$，得$△CGF∽△CAB$，
$\therefore \frac{CM}{CN}=\frac{GF}{AB}$。
设正方形$DEFG$的边长为$x\ \mathrm{cm}$，则
$\frac{24-x}{24}=\frac{x}{50}$。
解得$x=\frac{600}{37}$。
即正方形的边长为$\frac{600}{37}\ \mathrm{cm}$。
(2)如图②，
同理，有$\frac{CM}{CN}=\frac{GF}{AB}$。
设每个正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，
则$\frac{24-x}{24}=\frac{2x}{50}$。
解得$x=\frac{600}{49}$。
即此时正方形的边长为$\frac{600}{49}\ \mathrm{cm}$。
(3)如图③，同理，有$\frac{CM}{CN}=\frac{GF}{AB}$。
设每个正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，则$\frac{24-x}{24}=\frac{3x}{50}$。解得$x=\frac{600}{61}$。
即此时正方形的边长为$\frac{600}{61}\ \mathrm{cm}$。
(4)如图④，设每个正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，同理，得$\frac{24-x}{24}=\frac{nx}{50}$。
解得$x=\frac{600}{12n+25}$。
即此时小正方形的边长为$\frac{600}{12n+25}\ \mathrm{cm}$。