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1. 点A,B,C为$\odot O$上的三点，$∠ AOB=70°$，求$∠ ACB$的度数.
答案
1. 如图①,当点 C 在优弧 AB 上时,根据圆周角定理,可得∠ACB=$\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×70°=35°$.
如图②,当点 C 在劣弧 AB 上时,根据圆周角定理,可得∠ACB=$\frac{1}{2}(360°-∠AOB)=\frac{1}{2}×290°=145°$.
综上，∠ACB的度数为35°或145°。
解析
【分析】
题目未明确点C在弧AB的具体位置，因此需要分两种情况讨论求解。首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半。①当点C在优弧AB上时，∠ACB对应劣弧AB，直接用圆心角∠AOB结合定理计算即可；②当点C在劣弧AB上时，∠ACB对应优弧AB，先求出优弧AB对应的圆心角，再用圆周角定理计算，最后汇总两种情况的结果。
【解析】
解：需分两种情况讨论：
1. 当点C在优弧AB上时，如图①，根据圆周角定理可得：
$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×70°=35°$
2. 当点C在劣弧AB上时，如图②，优弧AB对应的圆心角为$360°-∠ AOB=360°-70°=290°$，根据圆周角定理可得：
$∠ ACB=\frac{1}{2}×290°=145°$
综上，$∠ ACB$的度数为$35°$或$145°$。
【答案】
如图①,当点 C 在优弧 AB 上时,根据圆周角定理,可得∠ACB=$\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×70°=35°$.
如图②,当点 C 在劣弧 AB 上时,根据圆周角定理,可得∠ACB=$\frac{1}{2}(360°-∠AOB)=\frac{1}{2}×290°=145°$.
综上，∠ACB的度数为35°或145°。
【知识点】
圆周角定理；优弧与劣弧；分类讨论思想
【点评】
本题属于圆的基础分类讨论题型，易错点是忽略点C的位置有两种可能性，仅求出35°这一个结果。解题时要注意若题目未明确点在圆上的位置，需考虑所有符合条件的情况，结合对应定理分别计算。
【难度系数】
0.6
题目未明确点C在弧AB的具体位置，因此需要分两种情况讨论求解。首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半。①当点C在优弧AB上时，∠ACB对应劣弧AB，直接用圆心角∠AOB结合定理计算即可；②当点C在劣弧AB上时，∠ACB对应优弧AB，先求出优弧AB对应的圆心角，再用圆周角定理计算，最后汇总两种情况的结果。
【解析】
解：需分两种情况讨论：
1. 当点C在优弧AB上时，如图①，根据圆周角定理可得：
$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×70°=35°$
2. 当点C在劣弧AB上时，如图②，优弧AB对应的圆心角为$360°-∠ AOB=360°-70°=290°$，根据圆周角定理可得：
$∠ ACB=\frac{1}{2}×290°=145°$
综上，$∠ ACB$的度数为$35°$或$145°$。
【答案】
如图①,当点 C 在优弧 AB 上时,根据圆周角定理,可得∠ACB=$\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×70°=35°$.
如图②,当点 C 在劣弧 AB 上时,根据圆周角定理,可得∠ACB=$\frac{1}{2}(360°-∠AOB)=\frac{1}{2}×290°=145°$.
综上，∠ACB的度数为35°或145°。
【知识点】
圆周角定理；优弧与劣弧；分类讨论思想
【点评】
本题属于圆的基础分类讨论题型，易错点是忽略点C的位置有两种可能性，仅求出35°这一个结果。解题时要注意若题目未明确点在圆上的位置，需考虑所有符合条件的情况，结合对应定理分别计算。
【难度系数】
0.6
2. ★★★ 已知AB是圆O的一条弦，且AB=OA，求弦AB所对的圆周角。
答案
2. 如图,
∵ AB=OA,OA=OB,
∴ △AOB 是等边三角形,
∴ ∠AOB=60°,
∴ ∠APB=$\frac{1}{2}×60°=30°$,
∴ ∠M=180°-30°=150°,
∴ 弦 AB 所对的圆周角是 30°或 150°.
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件AB=OA，以及圆的半径相等的性质，可判断△AOB的形状，求出弦AB对应的圆心角的度数；再明确一条弦对应两段弧（优弧和劣弧），因此弦所对的圆周角有两种情况，分别位于弦的两侧，结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补的性质分别计算即可，注意不要漏解。
【解析】
∵ AB=OA，OA=OB（圆的半径相等），
∴ △AOB 是等边三角形，
∴ ∠AOB=60°，
当圆周角顶点在优弧AB上时，根据圆周角定理可得∠APB=$\frac{1}{2}×60°=30°$，
当圆周角顶点在劣弧AB上时，根据圆内接四边形对角互补可得∠M=180°-30°=150°。
【答案】
弦AB所对的圆周角是30°或150°。
【知识点】
等边三角形的判定与性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题的易错点是忽略弦所对的圆周角有两种情况，二者互补，解题时要建立分类讨论的意识，避免只求出优弧对应的圆周角造成漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合已知条件AB=OA，以及圆的半径相等的性质，可判断△AOB的形状，求出弦AB对应的圆心角的度数；再明确一条弦对应两段弧（优弧和劣弧），因此弦所对的圆周角有两种情况，分别位于弦的两侧，结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补的性质分别计算即可，注意不要漏解。
【解析】
∵ AB=OA，OA=OB（圆的半径相等），
∴ △AOB 是等边三角形，
∴ ∠AOB=60°，
当圆周角顶点在优弧AB上时，根据圆周角定理可得∠APB=$\frac{1}{2}×60°=30°$，
当圆周角顶点在劣弧AB上时，根据圆内接四边形对角互补可得∠M=180°-30°=150°。
【答案】
弦AB所对的圆周角是30°或150°。
【知识点】
等边三角形的判定与性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题的易错点是忽略弦所对的圆周角有两种情况，二者互补，解题时要建立分类讨论的意识，避免只求出优弧对应的圆周角造成漏解。
【难度系数】
0.6
3. 在$\odot O$中，$AB$为直径，$AB=10$，点$M$，$N$均在$\odot O$上，$MN⊥ AB$，将点$B$沿直线$MN$翻折，翻折后点$B$的对应点为点$D$，若$AD=2$，求$MD$的长。
答案
3. 设 MN 与 AB 交于点 P.连结 OM,
∵ 将点 B 沿直线 MN 翻折,MN⊥AB,
∴ PD=PB=$\frac{1}{2}BD$,∠MPA=90°,点 D 在直线 AB 上.
∵ AB 为直径,AB = 10,
∴ OA = OB = OM = 5,当点 D 在线段 AB 上时,如图①,
∵ AB = 10,AD = 2,
∴ DB = AB - AD = 8,DO = OA - AD = 3,
∴ PD = PB = $\frac{1}{2}BD=4$,
∴ OP = DP - OD = 1,
∴ 在Rt△POM 中,$PM^2 = OM^2 - OP^2 = 5^2 - 1^2 = 24$,
∴ 在 Rt△DPM 中,MD = $\sqrt{PD^2+PM^2}=\sqrt{4^2+24}=2\sqrt{10}$.
当点 D 在线段 AB 外时,如图②,
∵ AB = 10,AD = 2,
∴ DB = AB + AD = 12,DO = OA + AD = 7,
∴ PD = PB = $\frac{1}{2}BD=6$,
∴ OP = OD - DP = 1,
∴ 在Rt△POM 中,$PM^2=OM^2-OP^2=5^2-1^2=24$,
∴ 在 Rt△DPM 中,MD = $\sqrt{PD^2+PM^2}=\sqrt{6^2+24}=2\sqrt{15}$.综上所述,MD 的长为 $2\sqrt{10}$或$2\sqrt{15}$.
解析
【分析】
解题时首先利用翻折的性质确定点D在直线AB上，且PD=PB；再结合圆的直径求出半径长度，由于点D的位置存在两种情况：在线段AB上、在线段AB外，因此需要分类讨论。每种情况先根据已知AD、AB的长度计算BD、OD的长度，再求出OP的长度，接着在Rt△POM中用勾股定理求出PM²，最后在Rt△DPM中用勾股定理计算MD的长度即可。
【解析】
设MN与AB交于点P，连结OM。
∵ 将点B沿直线MN翻折，MN⊥AB，
∴ PD=PB=$\frac{1}{2}BD$，∠MPA=90°，点D在直线AB上。
∵ AB为直径，AB = 10，
∴ OA = OB = OM = 5。
分两种情况讨论：
①当点D在线段AB上时：
∵ AB = 10，AD = 2，
∴ DB = AB - AD = 8，DO = OA - AD = 3，
∴ PD = PB = $\frac{1}{2}BD=4$，
∴ OP = DP - OD = 1，
在Rt△POM中，由勾股定理得：$PM^2 = OM^2 - OP^2 = 5^2 - 1^2 = 24$，
在Rt△DPM中，由勾股定理得：$MD = \sqrt{PD^2+PM^2}=\sqrt{4^2+24}=2\sqrt{10}$。
②当点D在线段AB外时：
∵ AB = 10，AD = 2，
∴ DB = AB + AD = 12，DO = OA + AD = 7，
∴ PD = PB = $\frac{1}{2}BD=6$，
∴ OP = OD - DP = 1，
在Rt△POM中，由勾股定理得：$PM^2=OM^2-OP^2=5^2-1^2=24$，
在Rt△DPM中，由勾股定理得：$MD = \sqrt{PD^2+PM^2}=\sqrt{6^2+24}=2\sqrt{15}$。
【答案】
MD的长为$2\sqrt{10}$或$2\sqrt{15}$。
【知识点】
圆的基本性质，翻折的性质，勾股定理
【点评】
本题解题的关键是明确翻折后点D的位置存在两种情况，避免漏解，解题过程中结合圆的半径相等、翻折前后对应线段相等的性质，两次运用勾股定理即可求出结果，渗透了分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用翻折的性质确定点D在直线AB上，且PD=PB；再结合圆的直径求出半径长度，由于点D的位置存在两种情况：在线段AB上、在线段AB外，因此需要分类讨论。每种情况先根据已知AD、AB的长度计算BD、OD的长度，再求出OP的长度，接着在Rt△POM中用勾股定理求出PM²，最后在Rt△DPM中用勾股定理计算MD的长度即可。
【解析】
设MN与AB交于点P，连结OM。
∵ 将点B沿直线MN翻折，MN⊥AB，
∴ PD=PB=$\frac{1}{2}BD$，∠MPA=90°，点D在直线AB上。
∵ AB为直径，AB = 10，
∴ OA = OB = OM = 5。
分两种情况讨论：
①当点D在线段AB上时：
∵ AB = 10，AD = 2，
∴ DB = AB - AD = 8，DO = OA - AD = 3，
∴ PD = PB = $\frac{1}{2}BD=4$，
∴ OP = DP - OD = 1，
在Rt△POM中，由勾股定理得：$PM^2 = OM^2 - OP^2 = 5^2 - 1^2 = 24$，
在Rt△DPM中，由勾股定理得：$MD = \sqrt{PD^2+PM^2}=\sqrt{4^2+24}=2\sqrt{10}$。
②当点D在线段AB外时：
∵ AB = 10，AD = 2，
∴ DB = AB + AD = 12，DO = OA + AD = 7，
∴ PD = PB = $\frac{1}{2}BD=6$，
∴ OP = OD - DP = 1，
在Rt△POM中，由勾股定理得：$PM^2=OM^2-OP^2=5^2-1^2=24$，
在Rt△DPM中，由勾股定理得：$MD = \sqrt{PD^2+PM^2}=\sqrt{6^2+24}=2\sqrt{15}$。
【答案】
MD的长为$2\sqrt{10}$或$2\sqrt{15}$。
【知识点】
圆的基本性质，翻折的性质，勾股定理
【点评】
本题解题的关键是明确翻折后点D的位置存在两种情况，避免漏解，解题过程中结合圆的半径相等、翻折前后对应线段相等的性质，两次运用勾股定理即可求出结果，渗透了分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.6
4. 如图，原点右边7个单位有一点P，数轴上半径为1的$\odot O$从原点O开始以每秒2个单位的速度向右运动，经过
3或4
秒，点P在$\odot O$上。答案
4. 3或4
解析
【分析】
要判断点P在⊙O上，需满足点P到圆心O的距离等于圆的半径1。解题时要分类讨论两种情况：①圆心运动到点P左侧，点P刚接触圆时，圆心到P的距离为1；②圆心运动到点P右侧，点P即将离开圆时，圆心到P的距离也为1。先表示出t秒后圆心的位置，再结合数轴上两点距离公式列方程求解即可。
【解析】
设经过$ t $秒时，点$ P $在$\odot O$上。
已知$\odot O$的运动速度为每秒2个单位向右，因此$ t $秒后圆心$ O $对应的数轴数值为$ 2t $，$\odot O$半径$ r=1 $，点$ P $对应的数值为7。
当点$ P $在$\odot O$上时，圆心到点$ P $的距离等于半径，可列方程：
$|7 - 2t| = 1$
分两种情况解方程：
1. 当$ 7 - 2t = 1 $时，解得$ 2t=6 $，即$ t=3 $；
2. 当$ 7 - 2t = -1 $时，解得$ 2t=8 $，即$ t=4 $。
【答案】
3或4
【知识点】
点和圆的位置关系，数轴两点距离，分类讨论
【点评】
本题解题核心是掌握点在圆上的判定条件：点到圆心的距离等于半径，做题时要注意分点在圆心左侧、右侧两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要判断点P在⊙O上，需满足点P到圆心O的距离等于圆的半径1。解题时要分类讨论两种情况：①圆心运动到点P左侧，点P刚接触圆时，圆心到P的距离为1；②圆心运动到点P右侧，点P即将离开圆时，圆心到P的距离也为1。先表示出t秒后圆心的位置，再结合数轴上两点距离公式列方程求解即可。
【解析】
设经过$ t $秒时，点$ P $在$\odot O$上。
已知$\odot O$的运动速度为每秒2个单位向右，因此$ t $秒后圆心$ O $对应的数轴数值为$ 2t $，$\odot O$半径$ r=1 $，点$ P $对应的数值为7。
当点$ P $在$\odot O$上时，圆心到点$ P $的距离等于半径，可列方程：
$|7 - 2t| = 1$
分两种情况解方程：
1. 当$ 7 - 2t = 1 $时，解得$ 2t=6 $，即$ t=3 $；
2. 当$ 7 - 2t = -1 $时，解得$ 2t=8 $，即$ t=4 $。
【答案】
3或4
【知识点】
点和圆的位置关系，数轴两点距离，分类讨论
【点评】
本题解题核心是掌握点在圆上的判定条件：点到圆心的距离等于半径，做题时要注意分点在圆心左侧、右侧两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
5. ★★★ (2025·大庆期末)一个点到圆上的最小距离为4 cm,最大距离为9 cm,求圆的半径.
答案
5. 分为两种情况:①当点在圆内时,如图①.
∵ 点到圆上的最小距离 MB=4 cm,最大距离 MA=9 cm,
∴ 直径 AB=4+9=13(cm),
∴ 半径为6.5 cm;②当点在圆外时,如图②.
∵ 点到圆上的最小距离 MB=4 cm,最大距离 MA=9 cm,
∴ 直径 AB=9-4=5(cm),
∴ 半径为2.5 cm.综上所述,圆的半径为 6.5 cm 或2.5 cm.
解析
【分析】
解决本题首先要明确点与圆共有3种位置关系，由于点到圆上存在不为0的最小距离和最大距离，可排除点在圆上的情况，因此只需分点在圆内、点在圆外两种情况讨论。无论是哪种情况，点到圆上的最小、最大距离对应的点都在过该点与圆心的直线上，因此直径长度为两个距离的和（点在圆内时）或差（点在圆外时），再除以2即可得到圆的半径。
【解析】
分两种情况计算：
① 当点$M$在圆内时，对应图①：
已知点到圆上的最小距离$MB=4\ \mathrm{cm}$，最大距离$MA=9\ \mathrm{cm}$，
此时圆的直径$AB = MA + MB = 4 + 9 = 13\ \mathrm{cm}$，
因此圆的半径为$13÷2=6.5\ \mathrm{cm}$；
② 当点$M$在圆外时，对应图②：
已知点到圆上的最小距离$MB=4\ \mathrm{cm}$，最大距离$MA=9\ \mathrm{cm}$，
此时圆的直径$AB = MA - MB = 9 - 4 = 5\ \mathrm{cm}$，
因此圆的半径为$5÷2=2.5\ \mathrm{cm}$。
综上，圆的半径为$6.5\ \mathrm{cm}$或$2.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
分为两种情况:①当点在圆内时,如图①.
∵ 点到圆上的最小距离 MB=4 cm,最大距离 MA=9 cm,
∴ 直径 AB=4+9=13(cm),
∴ 半径为6.5 cm;②当点在圆外时,如图②.
∵ 点到圆上的最小距离 MB=4 cm,最大距离 MA=9 cm,
∴ 直径 AB=9-4=5(cm),
∴ 半径为2.5 cm.综上所述,圆的半径为 6.5 cm 或2.5 cm.
【知识点】
点与圆的位置关系，分类讨论思想，圆的基本性质
【点评】
本题是圆相关的典型易错题，解题关键是明确不同位置关系下，点到圆的最大、最小距离与直径的数量关系，避免因漏考虑点的位置情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确点与圆共有3种位置关系，由于点到圆上存在不为0的最小距离和最大距离，可排除点在圆上的情况，因此只需分点在圆内、点在圆外两种情况讨论。无论是哪种情况，点到圆上的最小、最大距离对应的点都在过该点与圆心的直线上，因此直径长度为两个距离的和（点在圆内时）或差（点在圆外时），再除以2即可得到圆的半径。
【解析】
分两种情况计算：
① 当点$M$在圆内时，对应图①：
已知点到圆上的最小距离$MB=4\ \mathrm{cm}$，最大距离$MA=9\ \mathrm{cm}$，
此时圆的直径$AB = MA + MB = 4 + 9 = 13\ \mathrm{cm}$，
因此圆的半径为$13÷2=6.5\ \mathrm{cm}$；
② 当点$M$在圆外时，对应图②：
已知点到圆上的最小距离$MB=4\ \mathrm{cm}$，最大距离$MA=9\ \mathrm{cm}$，
此时圆的直径$AB = MA - MB = 9 - 4 = 5\ \mathrm{cm}$，
因此圆的半径为$5÷2=2.5\ \mathrm{cm}$。
综上，圆的半径为$6.5\ \mathrm{cm}$或$2.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
分为两种情况:①当点在圆内时,如图①.
∵ 点到圆上的最小距离 MB=4 cm,最大距离 MA=9 cm,
∴ 直径 AB=4+9=13(cm),
∴ 半径为6.5 cm;②当点在圆外时,如图②.
∵ 点到圆上的最小距离 MB=4 cm,最大距离 MA=9 cm,
∴ 直径 AB=9-4=5(cm),
∴ 半径为2.5 cm.综上所述,圆的半径为 6.5 cm 或2.5 cm.
【知识点】
点与圆的位置关系，分类讨论思想，圆的基本性质
【点评】
本题是圆相关的典型易错题，解题关键是明确不同位置关系下，点到圆的最大、最小距离与直径的数量关系，避免因漏考虑点的位置情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
