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1. 如图，已知四边形ABDC内接于$\odot O$，连结OB，OC，$∠ BDC=120°$。
（1）求$∠ BOC$的度数；
（2）若$\overset{\frown}{BD}$与$\overset{\frown}{CD}$相等，求证：四边形OBDC是菱形。
（1）求$∠ BOC$的度数；
（2）若$\overset{\frown}{BD}$与$\overset{\frown}{CD}$相等，求证：四边形OBDC是菱形。
答案
(1)
∵ 四边形ABDC内接于$\odot O, ∠BDC=120°,∴ ∠BAC=180°-120°=60°,∴ ∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°.$
(2)如图，连结OD，
∵ $\overset{\frown}{BD}$与$\overset{\frown}{CD}$相等，
∴ $BD=CD$.
∵ $∠BOC=120°,∴ ∠BOD=\frac{1}{2}∠BOC=60°.$
∵ $BO=OD,∴ △BOD$为等边三角形，
∴ $BD=BO=OC=DC,∴$ 四边形OBDC是菱形.
解析
【分析】
（1）求$∠ BOC$的度数时，首先利用圆内接四边形的对角互补性质，求出同弧$BC$所对的圆周角$∠ BAC$的度数，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可计算出$∠ BOC$的度数。
（2）要证明四边形$OBDC$是菱形，先根据等弧对等弦得到$BD=CD$；连接辅助线$OD$后，由等弧所对的圆心角相等推出$∠ BOD=60°$，结合半径相等可证$△ BOD$是等边三角形，进而得到四边形$OBDC$的四条边相等，即可判定其为菱形。
【解析】
（1）$\because$ 四边形$ABDC$内接于$\odot O$，$∠ BDC=120°$，
$\therefore ∠ BAC=180°-∠ BDC=180°-120°=60°$，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
$\therefore ∠ BOC=2∠ BAC=2×60°=120°$。
（2）证明：连接$OD$，
$\because \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore BD=CD$，$∠ BOD=∠ COD=\frac{1}{2}∠ BOC$，
$\because ∠ BOC=120°$，
$\therefore ∠ BOD=∠ COD=60°$，
又$\because OB=OD=OC$（均为$\odot O$的半径），
$\therefore △ BOD$和$△ COD$均为等边三角形，
$\therefore OB=BD=DC=OC$，
$\therefore$ 四边形$OBDC$是菱形。
【答案】
(1)
∵ 四边形ABDC内接于$\odot O, ∠BDC=120°,∴ ∠BAC=180°-120°=60°,∴ ∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°.$
(2)如图，连结OD，
∵ $\overset{\frown}{BD}$与$\overset{\frown}{CD}$相等，
∴ $BD=CD$.
∵ $∠BOC=120°,∴ ∠BOD=\frac{1}{2}∠BOC=60°.$
∵ $BO=OD,∴ △BOD$为等边三角形，
∴ $BD=BO=OC=DC,∴$ 四边形OBDC是菱形.
【知识点】
圆内接四边形性质、圆周角定理、菱形判定
【点评】
本题属于圆与特殊四边形的基础综合题，解题关键是熟练运用圆的相关性质，第二问中辅助线$OD$的构造是解题的突破口，整体逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
（1）求$∠ BOC$的度数时，首先利用圆内接四边形的对角互补性质，求出同弧$BC$所对的圆周角$∠ BAC$的度数，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可计算出$∠ BOC$的度数。
（2）要证明四边形$OBDC$是菱形，先根据等弧对等弦得到$BD=CD$；连接辅助线$OD$后，由等弧所对的圆心角相等推出$∠ BOD=60°$，结合半径相等可证$△ BOD$是等边三角形，进而得到四边形$OBDC$的四条边相等，即可判定其为菱形。
【解析】
（1）$\because$ 四边形$ABDC$内接于$\odot O$，$∠ BDC=120°$，
$\therefore ∠ BAC=180°-∠ BDC=180°-120°=60°$，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
$\therefore ∠ BOC=2∠ BAC=2×60°=120°$。
（2）证明：连接$OD$，
$\because \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore BD=CD$，$∠ BOD=∠ COD=\frac{1}{2}∠ BOC$，
$\because ∠ BOC=120°$，
$\therefore ∠ BOD=∠ COD=60°$，
又$\because OB=OD=OC$（均为$\odot O$的半径），
$\therefore △ BOD$和$△ COD$均为等边三角形，
$\therefore OB=BD=DC=OC$，
$\therefore$ 四边形$OBDC$是菱形。
【答案】
(1)
∵ 四边形ABDC内接于$\odot O, ∠BDC=120°,∴ ∠BAC=180°-120°=60°,∴ ∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°.$
(2)如图，连结OD，
∵ $\overset{\frown}{BD}$与$\overset{\frown}{CD}$相等，
∴ $BD=CD$.
∵ $∠BOC=120°,∴ ∠BOD=\frac{1}{2}∠BOC=60°.$
∵ $BO=OD,∴ △BOD$为等边三角形，
∴ $BD=BO=OC=DC,∴$ 四边形OBDC是菱形.
【知识点】
圆内接四边形性质、圆周角定理、菱形判定
【点评】
本题属于圆与特殊四边形的基础综合题，解题关键是熟练运用圆的相关性质，第二问中辅助线$OD$的构造是解题的突破口，整体逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
2. ★★★（黄石中考）如图，点A,B,C在$\odot O$上，$CD ⊥ OA$，$CE ⊥ OB$，垂足分别为D,E，若$∠ DCE=40°$，则$∠ ACB$的度数为（
A.$140°$
B.$70°$
C.$110°$
D.$80°$
C
）A.$140°$
B.$70°$
C.$110°$
D.$80°$
答案
C
解析
【分析】
解题思路可分三步展开：第一步，先看包含已知角∠DCE的四边形ODCE，已知CD、CE分别垂直OA、OB，可得两个内角为90°，结合四边形内角和为360°，就能求出圆心角∠AOB的度数；第二步，圆心角的度数等于它所对劣弧的度数，由此可算出对应优弧AB的度数；第三步，∠ACB是圆周角，明确它所对的弧是优弧AB，根据圆周角定理即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：
∵ $CD ⊥ OA$，$CE ⊥ OB$，
∴ $∠ CDO=∠ CEO=90°$。
在四边形$ODCE$中，内角和为$360°$，已知$∠ DCE=40°$，
∴ $∠ AOB=∠ DOE=360° - ∠ CDO - ∠ CEO - ∠ DCE=360° -90° -90° -40°=140°$。
∴ 劣弧$AB$的度数为$140°$，则优弧$AB$的度数为$360° -140°=220°$。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，$∠ ACB$是优弧$AB$所对的圆周角，
∴ $∠ ACB=\frac{1}{2} × 220°=110°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
四边形内角和、圆周角定理
【点评】
本题属于基础综合题，核心是理清圆心角和圆周角的对应关系，易错点是容易混淆$∠ ACB$所对的弧，误将劣弧$AB$作为对应弧算出错误结果。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步展开：第一步，先看包含已知角∠DCE的四边形ODCE，已知CD、CE分别垂直OA、OB，可得两个内角为90°，结合四边形内角和为360°，就能求出圆心角∠AOB的度数；第二步，圆心角的度数等于它所对劣弧的度数，由此可算出对应优弧AB的度数；第三步，∠ACB是圆周角，明确它所对的弧是优弧AB，根据圆周角定理即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：
∵ $CD ⊥ OA$，$CE ⊥ OB$，
∴ $∠ CDO=∠ CEO=90°$。
在四边形$ODCE$中，内角和为$360°$，已知$∠ DCE=40°$，
∴ $∠ AOB=∠ DOE=360° - ∠ CDO - ∠ CEO - ∠ DCE=360° -90° -90° -40°=140°$。
∴ 劣弧$AB$的度数为$140°$，则优弧$AB$的度数为$360° -140°=220°$。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，$∠ ACB$是优弧$AB$所对的圆周角，
∴ $∠ ACB=\frac{1}{2} × 220°=110°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
四边形内角和、圆周角定理
【点评】
本题属于基础综合题，核心是理清圆心角和圆周角的对应关系，易错点是容易混淆$∠ ACB$所对的弧，误将劣弧$AB$作为对应弧算出错误结果。
【难度系数】
0.7
3. ★★★ 如图，直线$l$与$\odot O$交于$A,B$两点，$E$是$\odot O$上的一点，$EG ⊥ l$于点$G$，交$\odot O$于另一点$F$，连结$AF,BF,OF$.求证：$∠ AFG=∠ OFB$.
答案
如图，延长FO交$\odot O$于点M，连结BM，则$∠FBM=90°,∴ ∠M+∠OFB=90°.∵ ∠M+∠FAB=∠FAG+∠FAB=180°,∴ ∠M=∠FAG.$
∵ $FG⊥l,∴ ∠AFG+∠FAG=90°=∠M+∠OFB,∴ ∠AFG=∠OFB.$
解析
【分析】
要证明∠AFG=∠OFB，首先分析两个角的数量关系：∠AFG在Rt△AFG中，与∠FAG互余，因此可以构造直角使∠OFB也和某角互余，再证明这两个与它们互余的角相等即可。圆中构造直角常利用“直径所对的圆周角是直角”，因此延长FO得到直径FM，连接BM可得∠FBM=90°，即∠OFB与∠M互余。接下来证明∠M=∠FAG：根据圆内接四边形对角互补，∠M与∠FAB互补；又∠FAG与∠FAB是邻补角，也互补，由同角的补角相等可得∠M=∠FAG，最后由同角的余角相等即可推出待证结论。
【解析】
证明：如图，延长FO交$\odot O$于点M，连结BM。
∵ FM是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，得$∠ FBM=90°$，
∴ $∠ M+∠ OFB=90°$。
∵ 四边形FABM是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，得$∠ M+∠ FAB=180°$，
又$∠ FAG+∠ FAB=180°$（平角的定义），
∴ $∠ M=∠ FAG$（同角的补角相等）。
∵ $EG⊥ l$，
∴ $∠ AGF=90°$，
∴ $∠ AFG+∠ FAG=90°$，
结合$∠ M+∠ OFB=90°$，$∠ M=∠ FAG$，可得：
$∠ AFG=∠ OFB$（同角的余角相等）。
【答案】
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质；余角的性质
【点评】
本题考查圆相关性质的综合应用，解题的关键是通过构造直径得到直角三角形，将待证的等角关系转化为同角的余角相等，需要熟练掌握圆的常见辅助线构造方法，灵活运用补角、余角的性质推导角的等量关系。
【难度系数】
0.6
要证明∠AFG=∠OFB，首先分析两个角的数量关系：∠AFG在Rt△AFG中，与∠FAG互余，因此可以构造直角使∠OFB也和某角互余，再证明这两个与它们互余的角相等即可。圆中构造直角常利用“直径所对的圆周角是直角”，因此延长FO得到直径FM，连接BM可得∠FBM=90°，即∠OFB与∠M互余。接下来证明∠M=∠FAG：根据圆内接四边形对角互补，∠M与∠FAB互补；又∠FAG与∠FAB是邻补角，也互补，由同角的补角相等可得∠M=∠FAG，最后由同角的余角相等即可推出待证结论。
【解析】
证明：如图，延长FO交$\odot O$于点M，连结BM。
∵ FM是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，得$∠ FBM=90°$，
∴ $∠ M+∠ OFB=90°$。
∵ 四边形FABM是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，得$∠ M+∠ FAB=180°$，
又$∠ FAG+∠ FAB=180°$（平角的定义），
∴ $∠ M=∠ FAG$（同角的补角相等）。
∵ $EG⊥ l$，
∴ $∠ AGF=90°$，
∴ $∠ AFG+∠ FAG=90°$，
结合$∠ M+∠ OFB=90°$，$∠ M=∠ FAG$，可得：
$∠ AFG=∠ OFB$（同角的余角相等）。
【答案】
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质；余角的性质
【点评】
本题考查圆相关性质的综合应用，解题的关键是通过构造直径得到直角三角形，将待证的等角关系转化为同角的余角相等，需要熟练掌握圆的常见辅助线构造方法，灵活运用补角、余角的性质推导角的等量关系。
【难度系数】
0.6
4. 如图,已知PA,PB是⊙O的弦,且PA＞PB,弦CD⊥PA于点E.若点C是劣弧AB的中点,PE=2.4,PB=2.6,求AE的长. 
答案
如图，连结DB并延长，与AP的延长线相交于点F，连结AD，
∵ C是劣弧AB的中点，
∴ $∠ADC=∠BDC.∵ CD ⊥ AP,∴ ∠AED=∠FED=90°.∵ DE=DE,∴ △DAE≌△DFE(ASA),∴ AE=EF,AD=DF,∠F=∠PAD.∵ A,D,B,P四点共圆，∴ ∠PBF=180°-∠PBD=∠PAD,∴ ∠PBF=∠F,∴ BP=PF.∵ PE=2.4,PB=2.6,∴ AE=EF=EP+PF=EP+BP=2.4+2.6=5.$
解析
【分析】
解题时先结合已知条件梳理思路：已知C是劣弧AB的中点，根据圆周角定理可得CD平分∠ADB，又CD垂直于AP，可通过构造全等三角形转化线段关系：延长DB交AP的延长线于点F，先证明△DAE和△DFE全等，得到AE=EF；再利用圆内接四边形的外角等于内对角的性质，推导得出∠PBF=∠F，进而得到PB=PF，最后通过线段和的关系即可求出AE的长度。
【解析】
如图，连结DB并延长，与AP的延长线相交于点F，连结AD，
∵ C是劣弧AB的中点，
∴ $∠ ADC=∠ BDC$，
∵ $CD ⊥ AP$，
∴ $∠ AED=∠ FED=90°$，
在$△ DAE$和$△ DFE$中：
$\begin{cases}∠ ADE=∠ FDE \\DE=DE \\∠ AED=∠ FED\end{cases}$
∴ $△ DAE ≌ △ DFE(\mathrm{ASA})$，
∴ $AE=EF$，$∠ F=∠ PAD$，
∵ 四边形ADBP是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ PBF=∠ PAD$（圆内接四边形的外角等于它的内对角），
∴ $∠ PBF=∠ F$，
∴ $BP=PF$，
已知$PE=2.4$，$PB=2.6$，
∴ $AE=EF=EP+PF=EP+BP=2.4+2.6=5$。
【答案】
5
【知识点】
圆周角定理，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合题型，解题核心是合理构造辅助线，借助全等三角形完成线段的等量转换，再结合圆内接四边形的性质得到等腰三角形，从而打通已知线段和所求线段的联系，对学生的辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先结合已知条件梳理思路：已知C是劣弧AB的中点，根据圆周角定理可得CD平分∠ADB，又CD垂直于AP，可通过构造全等三角形转化线段关系：延长DB交AP的延长线于点F，先证明△DAE和△DFE全等，得到AE=EF；再利用圆内接四边形的外角等于内对角的性质，推导得出∠PBF=∠F，进而得到PB=PF，最后通过线段和的关系即可求出AE的长度。
【解析】
如图，连结DB并延长，与AP的延长线相交于点F，连结AD，
∵ C是劣弧AB的中点，
∴ $∠ ADC=∠ BDC$，
∵ $CD ⊥ AP$，
∴ $∠ AED=∠ FED=90°$，
在$△ DAE$和$△ DFE$中：
$\begin{cases}∠ ADE=∠ FDE \\DE=DE \\∠ AED=∠ FED\end{cases}$
∴ $△ DAE ≌ △ DFE(\mathrm{ASA})$，
∴ $AE=EF$，$∠ F=∠ PAD$，
∵ 四边形ADBP是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ PBF=∠ PAD$（圆内接四边形的外角等于它的内对角），
∴ $∠ PBF=∠ F$，
∴ $BP=PF$，
已知$PE=2.4$，$PB=2.6$，
∴ $AE=EF=EP+PF=EP+BP=2.4+2.6=5$。
【答案】
5
【知识点】
圆周角定理，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合题型，解题核心是合理构造辅助线，借助全等三角形完成线段的等量转换，再结合圆内接四边形的性质得到等腰三角形，从而打通已知线段和所求线段的联系，对学生的辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
