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11. 如图28－13，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝40°，将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当AD所在直线与BC垂直时，求∠BAE的度数。
图28－13
图28－13
答案
11.解:分以下两种情况:如答图28－2①，当$AD⊥BC$时，延长AD交BC于点J，
$\because AB=AC,∠BAC=∠DAE=40°$，
$\therefore ∠BAJ=∠CAJ=20°$，
$\therefore ∠BAE=20°+40°=60°$；
如答图28－2②，当$AD⊥BC$时，延长DA交BC于点K，
$\because AB=AC,∠BAC=∠DAE=40°$，
$\therefore ∠BAK=∠CAK=20°$，
$\therefore ∠BAE=180°-20°-40°=120°$。
综上所述，$∠BAE$的度数是$60°$或$120°$。
解析
【分析】
本题是等腰三角形与旋转结合的角度计算问题，解题时需注意AD所在直线垂直BC存在两种位置情况，避免漏解：①先利用等腰三角形“三线合一”的性质，确定AD所在直线垂直BC时与AB的夹角度数；②结合已知∠DAE=40°，分两种情况计算∠BAE的度数即可。
【解析】
分以下两种情况讨论：
1. 如答图28-2①，当AD在∠BAC内部方向且AD⊥BC时，延长AD交BC于点J。
$\because AB=AC,∠ BAC=∠ DAE=40°$，AJ⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，
$\therefore ∠ BAJ=∠ CAJ=\frac{1}{2}∠ BAC=20°$，
$\therefore ∠ BAE=∠ BAJ+∠ DAE=20°+40°=60°$。
2. 如答图28-2②，当AD在∠BAC外侧方向且AD⊥BC时，延长DA交BC于点K。
$\because AB=AC,∠ BAC=∠ DAE=40°$，AK⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，
$\therefore ∠ BAK=∠ CAK=\frac{1}{2}∠ BAC=20°$，
$\because$ 点D、A、K共线，$∠ DAK=180°$，
$\therefore ∠ BAE=180°-∠ BAK-∠ DAE=180°-20°-40°=120°$。
综上所述，$∠ BAE$的度数为$60°$或$120°$。
【答案】
$∠ BAE$的度数是$60°$或$120°$。
【知识点】
等腰三角形三线合一，旋转的性质，分类讨论思想
【点评】
本题考查等腰三角形性质与旋转的综合应用，解题的关键是准确判断AD垂直BC的两种不同位置，避免漏解，同时需熟练运用等腰三角形三线合一的性质快速计算对应夹角的度数。
【难度系数】
0.6
本题是等腰三角形与旋转结合的角度计算问题，解题时需注意AD所在直线垂直BC存在两种位置情况，避免漏解：①先利用等腰三角形“三线合一”的性质，确定AD所在直线垂直BC时与AB的夹角度数；②结合已知∠DAE=40°，分两种情况计算∠BAE的度数即可。
【解析】
分以下两种情况讨论：
1. 如答图28-2①，当AD在∠BAC内部方向且AD⊥BC时，延长AD交BC于点J。
$\because AB=AC,∠ BAC=∠ DAE=40°$，AJ⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，
$\therefore ∠ BAJ=∠ CAJ=\frac{1}{2}∠ BAC=20°$，
$\therefore ∠ BAE=∠ BAJ+∠ DAE=20°+40°=60°$。
2. 如答图28-2②，当AD在∠BAC外侧方向且AD⊥BC时，延长DA交BC于点K。
$\because AB=AC,∠ BAC=∠ DAE=40°$，AK⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，
$\therefore ∠ BAK=∠ CAK=\frac{1}{2}∠ BAC=20°$，
$\because$ 点D、A、K共线，$∠ DAK=180°$，
$\therefore ∠ BAE=180°-∠ BAK-∠ DAE=180°-20°-40°=120°$。
综上所述，$∠ BAE$的度数为$60°$或$120°$。
【答案】
$∠ BAE$的度数是$60°$或$120°$。
【知识点】
等腰三角形三线合一，旋转的性质，分类讨论思想
【点评】
本题考查等腰三角形性质与旋转的综合应用，解题的关键是准确判断AD垂直BC的两种不同位置，避免漏解，同时需熟练运用等腰三角形三线合一的性质快速计算对应夹角的度数。
【难度系数】
0.6
12.如图28－14，正方形ECFD各顶点在Rt△ABC的边上，观察图形，并回答下列问题.
(1)请说明由△ADE变换到△A'DF的过程；
(2)若AD＝3，△AED与△BDF的面积和为9，求线段BD的长.
图28－14
(1)请说明由△ADE变换到△A'DF的过程；
(2)若AD＝3，△AED与△BDF的面积和为9，求线段BD的长.
图28－14
答案
12.解:(1)$△ADE$绕点D逆时针旋转$90°$得到$△A'DF$。
(2)$\because$四边形ECFD是正方形，
$\therefore ∠EDF=90°$。
$\therefore ∠ADE+∠FDB=90°$。
由(1)可知$△ADE≌△A'DF$，
$\therefore S_{△AED}=S_{△A'FD},∠ADE=∠A'DF$，$A'D=AD=3$。
$\therefore ∠A'DF+∠FDB=90°$，
即$∠A'DB=90°$。
易知$∠AED=∠A'FD=∠DFB=90°$，
$\therefore ∠DFB+∠A'FD=180°$。
$\therefore A',F,B$三点共线。
$\therefore S_{△A'DB}=S_{△A'FD}+S_{△BDF}=S_{△AED}+S_{△BDF}=9$。
$\therefore \frac{1}{2}A'D·BD=9$。$\therefore BD=6$。
(2)$\because$四边形ECFD是正方形，
$\therefore ∠EDF=90°$。
$\therefore ∠ADE+∠FDB=90°$。
由(1)可知$△ADE≌△A'DF$，
$\therefore S_{△AED}=S_{△A'FD},∠ADE=∠A'DF$，$A'D=AD=3$。
$\therefore ∠A'DF+∠FDB=90°$，
即$∠A'DB=90°$。
易知$∠AED=∠A'FD=∠DFB=90°$，
$\therefore ∠DFB+∠A'FD=180°$。
$\therefore A',F,B$三点共线。
$\therefore S_{△A'DB}=S_{△A'FD}+S_{△BDF}=S_{△AED}+S_{△BDF}=9$。
$\therefore \frac{1}{2}A'D·BD=9$。$\therefore BD=6$。
解析
【分析】
(1) 观察两个三角形的位置，公共顶点为D，正方形ECFD中ED=DF、∠EDF=90°，结合旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）即可判定变换过程；
(2) 先利用旋转的性质得△ADE与△A'DF全等，推导对应边、对应角相等，证明∠A'DB为直角且A'、F、B三点共线，将两个分散的三角形面积和转化为Rt△A'DB的面积，最后代入直角三角形面积公式即可求出BD的长度。
【解析】
(1) 因为四边形ECFD是正方形，所以DE=DF，∠EDF=90°，因此△ADE绕点D逆时针旋转90°可得到△A'DF。
(2)
∵四边形ECFD是正方形，
∴$∠ EDF=90°$，
∴$∠ ADE+∠ FDB=180°-∠ EDF=90°$。
由旋转的性质可知$△ ADE≌△ A'DF$，
∴$S_{△ AED}=S_{△ A'FD}$，$∠ ADE=∠ A'DF$，$A'D=AD=3$，
∴$∠ A'DF+∠ FDB=∠ ADE+∠ FDB=90°$，即$∠ A'DB=90°$。
又
∵$∠ A'FD=∠ AED=90°$，$∠ DFB=90°$，
∴$∠ A'FD+∠ DFB=180°$，即$A'、F、B$三点共线，
∴$S_{△ A'DB}=S_{△ A'FD}+S_{△ BDF}=S_{△ AED}+S_{△ BDF}=9$。
在$Rt△ A'DB$中，$S_{△ A'DB}=\frac{1}{2}A'D·BD$，
代入数值可得：$\frac{1}{2}×3× BD=9$，解得$BD=6$。
【答案】
(1) $△ ADE$绕点$D$逆时针旋转$90°$得到$△ A'DF$；
(2) $BD=6$
【知识点】
旋转的性质，正方形的性质，直角三角形面积计算
【点评】
本题重点考查旋转变换的判定与性质应用，通过旋转将分散的图形面积整合是解题的核心，这种转化思想是几何问题中常用的解题技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
(1) 观察两个三角形的位置，公共顶点为D，正方形ECFD中ED=DF、∠EDF=90°，结合旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）即可判定变换过程；
(2) 先利用旋转的性质得△ADE与△A'DF全等，推导对应边、对应角相等，证明∠A'DB为直角且A'、F、B三点共线，将两个分散的三角形面积和转化为Rt△A'DB的面积，最后代入直角三角形面积公式即可求出BD的长度。
【解析】
(1) 因为四边形ECFD是正方形，所以DE=DF，∠EDF=90°，因此△ADE绕点D逆时针旋转90°可得到△A'DF。
(2)
∵四边形ECFD是正方形，
∴$∠ EDF=90°$，
∴$∠ ADE+∠ FDB=180°-∠ EDF=90°$。
由旋转的性质可知$△ ADE≌△ A'DF$，
∴$S_{△ AED}=S_{△ A'FD}$，$∠ ADE=∠ A'DF$，$A'D=AD=3$，
∴$∠ A'DF+∠ FDB=∠ ADE+∠ FDB=90°$，即$∠ A'DB=90°$。
又
∵$∠ A'FD=∠ AED=90°$，$∠ DFB=90°$，
∴$∠ A'FD+∠ DFB=180°$，即$A'、F、B$三点共线，
∴$S_{△ A'DB}=S_{△ A'FD}+S_{△ BDF}=S_{△ AED}+S_{△ BDF}=9$。
在$Rt△ A'DB$中，$S_{△ A'DB}=\frac{1}{2}A'D·BD$，
代入数值可得：$\frac{1}{2}×3× BD=9$，解得$BD=6$。
【答案】
(1) $△ ADE$绕点$D$逆时针旋转$90°$得到$△ A'DF$；
(2) $BD=6$
【知识点】
旋转的性质，正方形的性质，直角三角形面积计算
【点评】
本题重点考查旋转变换的判定与性质应用，通过旋转将分散的图形面积整合是解题的核心，这种转化思想是几何问题中常用的解题技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
1.(山东)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( 
)
)答案
1.B
解析
【分析】
要判断一个图形是否既是轴对称图形又是中心对称图形，需分别依据两个概念的判定方法逐一验证选项：①轴对称图形：沿某条直线折叠，直线两侧的部分能完全重合；②中心对称图形：绕图形中心旋转180°后，旋转得到的图形与原图形完全重合。先判断每个选项是否满足轴对称，再判断是否满足中心对称，两者都满足即为正确答案。
【解析】
首先明确判定规则：
轴对称图形：沿一条直线对折，直线两旁的部分可完全重合；
中心对称图形：绕某一点旋转180°后，旋转后的图形与原图形完全重合。
对各选项逐一分析：
选项A：是轴对称图形，绕中心旋转180°后无法与原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求；
选项B：沿对边中点连线或对角线对折均可重合，属于轴对称图形；绕中心旋转180°后与原图形完全重合，属于中心对称图形，符合要求；
选项C：是轴对称图形，绕中心旋转180°后与原图形不重合，不是中心对称图形，不符合要求；
选项D：不存在直线使其对折后两边完全重合，不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形识别；中心对称图形识别
【点评】
本题考查两类对称图形的判别，解题核心是准确掌握两种对称的判定特征，区分二者的差异，是对称相关知识的基础考查题型。
【难度系数】
0.8
要判断一个图形是否既是轴对称图形又是中心对称图形，需分别依据两个概念的判定方法逐一验证选项：①轴对称图形：沿某条直线折叠，直线两侧的部分能完全重合；②中心对称图形：绕图形中心旋转180°后，旋转得到的图形与原图形完全重合。先判断每个选项是否满足轴对称，再判断是否满足中心对称，两者都满足即为正确答案。
【解析】
首先明确判定规则：
轴对称图形：沿一条直线对折，直线两旁的部分可完全重合；
中心对称图形：绕某一点旋转180°后，旋转后的图形与原图形完全重合。
对各选项逐一分析：
选项A：是轴对称图形，绕中心旋转180°后无法与原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求；
选项B：沿对边中点连线或对角线对折均可重合，属于轴对称图形；绕中心旋转180°后与原图形完全重合，属于中心对称图形，符合要求；
选项C：是轴对称图形，绕中心旋转180°后与原图形不重合，不是中心对称图形，不符合要求；
选项D：不存在直线使其对折后两边完全重合，不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形识别；中心对称图形识别
【点评】
本题考查两类对称图形的判别，解题核心是准确掌握两种对称的判定特征，区分二者的差异，是对称相关知识的基础考查题型。
【难度系数】
0.8
2.(江苏扬州)窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美.下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是(
C
)答案
2.C 点拨:选项A,B的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A,B不符合题意.选项C的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C符合题意.选项D的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故D不符合题意.故选C.
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确两类对称图形的判定标准：①轴对称图形：沿某一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合；②中心对称图形：绕图形的中心旋转180°后，旋转后的图形能和原图形完全重合。解题时依次对四个选项分别验证这两个性质，筛选出满足“是轴对称图形但不是中心对称图形”的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：沿过圆心的竖直线对折后两侧完全重合，是轴对称图形；绕圆心旋转180°后与原图完全重合，也是中心对称图形，不符合要求，排除。
2. 选项B：沿过中心的竖直线对折后两侧完全重合，是轴对称图形；绕中心旋转180°后与原图完全重合，也是中心对称图形，不符合要求，排除。
3. 选项C：沿过中心的竖直线对折后两侧完全重合，是轴对称图形；绕中心旋转180°后扇面倒转，无法与原图重合，不是中心对称图形，符合要求。
4. 选项D：沿任意直线对折后两侧都不能重合，不是轴对称图形；绕中心旋转180°后与原图完全重合，是中心对称图形，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形；中心对称图形
【点评】
本题结合传统窗棂图案考查对称图形的区分，将传统文化与数学知识结合，难度较低，只要熟练掌握两类对称图形的判定方法，逐一验证即可得到正确答案。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确两类对称图形的判定标准：①轴对称图形：沿某一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合；②中心对称图形：绕图形的中心旋转180°后，旋转后的图形能和原图形完全重合。解题时依次对四个选项分别验证这两个性质，筛选出满足“是轴对称图形但不是中心对称图形”的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：沿过圆心的竖直线对折后两侧完全重合，是轴对称图形；绕圆心旋转180°后与原图完全重合，也是中心对称图形，不符合要求，排除。
2. 选项B：沿过中心的竖直线对折后两侧完全重合，是轴对称图形；绕中心旋转180°后与原图完全重合，也是中心对称图形，不符合要求，排除。
3. 选项C：沿过中心的竖直线对折后两侧完全重合，是轴对称图形；绕中心旋转180°后扇面倒转，无法与原图重合，不是中心对称图形，符合要求。
4. 选项D：沿任意直线对折后两侧都不能重合，不是轴对称图形；绕中心旋转180°后与原图完全重合，是中心对称图形，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形；中心对称图形
【点评】
本题结合传统窗棂图案考查对称图形的区分，将传统文化与数学知识结合，难度较低，只要熟练掌握两类对称图形的判定方法，逐一验证即可得到正确答案。
【难度系数】
0.8
