例1 计算$-2x^2y,\frac{1}{2}x^2y,-3x^2y$的和.
【思路导析】把每个单项式用括号括起来，再用“＋”号连接，再去括号，合并同类项.
【请你解答】

解：
根据题意列算式：
$(-2x^2y)+\frac{1}{2}x^2y+(-3x^2y)$
去括号，得：
$-2x^2y+\frac{1}{2}x^2y-3x^2y$
合并同类项：
$\begin{aligned}&=(-2+\frac{1}{2}-3)x^2y\\&=-\frac{9}{2}x^2y\end{aligned}$

【分析】
要求几个单项式的和，首先需要将每个单项式用加号连接列出算式，注意带负号的单项式要加上括号避免符号出错；观察三个单项式可知都含有$x^2y$，属于同类项，接下来先去括号，再按照合并同类项的法则，将各同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，最后计算系数的和即可得到结果。
【解析】
根据题意列算式：
$(-2x^2y)+\frac{1}{2}x^2y+(-3x^2y)$
去括号，得：
$-2x^2y+\frac{1}{2}x^2y-3x^2y$
合并同类项：
$\begin{aligned}&=(-2+\frac{1}{2}-3)x^2y\\&=-\frac{9}{2}x^2y\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{9}{2}x^2y$
【知识点】
合并同类项；整式的加法运算；去括号法则
【点评】
本题是整式加法的基础题型，解题关键是正确列出运算算式，熟练掌握合并同类项的方法，计算时要注意负号的处理，避免系数求和时出现符号错误。
【难度系数】
0.8

例2 求$2a$与$-a^2 + 2a -1$的差。
【请你解答】

解：
根据题意列式：
$2a - (-a^2 + 2a -1)$
$=2a + a^2 - 2a +1$
$=a^2 +1$

【分析】
要求两个整式的差，首先要明确被减数和减数：被减数是2a，减数是$-a^2 + 2a -1$，据此列出减法算式；接下来按照去括号法则去掉括号，注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号；最后合并同类项就能得到结果。
【解析】
根据题意列式：
$2a - (-a^2 + 2a -1)$
去括号，括号前是负号，括号内各项变号得：
$=2a + a^2 - 2a +1$
合并同类项，2a与-2a相互抵消，得：
$=a^2 +1$
【答案】
$a^2 +1$
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式减法的基础题型，易错点为去括号时，括号前是负号却未将括号内所有项改变符号，熟练掌握去括号和合并同类项的运算规则即可正确解题。
【难度系数】
0.8

例3 求$2(a^2 - 3)$与$-2(a - 1)$的和.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧

解：
依题意列式：
$2(a^2 - 3) + [-2(a - 1)]$
去括号得：
$=2a^2 - 6 - 2a + 2$
合并同类项得：
$=2a^2 - 2a - 4$
所以$2(a^2 - 3)$与$-2(a - 1)$的和为$2a^2 - 2a - 4$。

【分析】
本题是求两个整式的和，解题思路分为三步：第一步，根据“求和”的要求，将两个整式用加号连接列出运算式，注意两个整式要作为整体加上括号；第二步，按照去括号法则去掉括号，若括号前是负号，括号内的每一项都要改变符号；第三步，找到同类项并合并，将结果化为最简形式即可。
【解析】
依题意列式：
$2(a^2 - 3) + [-2(a - 1)]$
去括号得：
$=2a^2 - 6 - 2a + 2$
合并同类项得：
$=2a^2 - 2a - 4$
【答案】
$2a^2 - 2a - 4$
【知识点】
1.整式的加减运算 2.去括号法则 3.合并同类项
【点评】
本题属于整式加减的基础常规题型，核心考查去括号的符号处理规则以及合并同类项的运算能力，计算时要格外注意括号前为负号时的符号变化，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8

例4 已知含字母$a,b$的整式是$4[a^2+2(b^2+ab-2)]-4(a^2+2b^2)-2(ab-a-1)$.
(1)化简整式；
(2)小刚取一对互为倒数的$a,b$的值代入化简后的整式中,恰好计算得到整式的值等于0,那么小刚所取的字母$b$的值等于多少?
(3)聪明的小敏由(1)中化简的结果发现,只要字母$b$取一个固定的数,无论字母$a$取何数,整式的值恒为一个不变的数.你知道小敏所说的字母$b$的值是多少吗?
【规范解答】(1)$4[a^2+2(b^2+ab-2)]-4(a^2+2b^2)-2(ab-a-1)=4(a^2+2b^2+2ab-4)-4a^2-8b^2-2ab+2a+2=4a^2+8b^2+8ab-16-4a^2-8b^2-2ab+2a+2=6ab+2a-14$.
(2)由题意可知$ab=1$, $\therefore 6ab+2a-14=6+2a-14=0$, $\therefore a=4$, $b=\frac{1}{4}$.
(3)$\because 6ab+2a-14=(6b+2)a-14$恒为一个常数, $\therefore 6b+2=0$, $\therefore b=-\frac{1}{3}$.
变式探究

解：
(1) 化简整式：
原式$=4(a^2+2b^2+2ab-4)-4a^2-8b^2-2ab+2a+2$
$=4a^2+8b^2+8ab-16-4a^2-8b^2-2ab+2a+2$
$=6ab+2a-14$
(2) 由题意可知$a,b$互为倒数，因此$ab=1$。
将$ab=1$代入化简后的整式得：
$6×1 + 2a -14 = 0$
即$2a-8=0$，解得$a=4$
所以$b=\frac{1}{a}=\frac{1}{4}$
(3) 整理化简后的整式得：$6ab+2a-14=(6b+2)a-14$
因为无论$a$取何值，整式的值恒为常数，说明含字母$a$的项的系数为0，即：
$6b+2=0$
解得$b=-\frac{1}{3}$

【分析】
(1) 化简整式需遵循整式加减的运算顺序：先利用乘法分配律去括号，去括号时注意括号前的符号，若为负号括号内各项要变号，同时不要漏乘括号内的项；再将同类项的系数相加减，合并同类项即可得到化简结果。
(2) 首先回忆倒数的性质：互为倒数的两个数乘积为1，即$ab=1$，将其代入第一问化简后的整式，得到只含字母a的一元一次方程，解方程求出a的值，再求a的倒数即可得到b的值。
(3) 若整式的值与a的取值无关，说明整式中所有含字母a的项的系数之和为0，因此先将化简后的整式整理为“含a的项+常数项”的形式，令a的系数等于0，解关于b的一元一次方程即可得到b的值。
【解析】
(1) 化简整式：
原式$=4(a^2+2b^2+2ab-4)-4a^2-8b^2-2ab+2a+2$
$=4a^2+8b^2+8ab-16-4a^2-8b^2-2ab+2a+2$
$=(4a^2-4a^2)+(8b^2-8b^2)+(8ab-2ab)+2a+(-16+2)$
$=6ab+2a-14$
(2) 由题意可知a、b互为倒数，因此$ab=1$。
将$ab=1$代入化简后的整式得：
$6×1 + 2a -14 = 0$
即$2a-8=0$，解得$a=4$
因为a、b互为倒数，所以$b=\frac{1}{a}=\frac{1}{4}$
(3) 整理化简后的整式得：$6ab+2a-14=(6b+2)a-14$
因为无论a取何值，整式的值恒为常数，说明含字母a的项的系数为0，即：
$6b+2=0$
解得$b=-\frac{1}{3}$
【答案】
(1) $6ab+2a-14$；(2) $\frac{1}{4}$；(3) $-\frac{1}{3}$
【知识点】
整式的加减运算，倒数的性质，代数式值与字母无关的条件
【点评】
本题是整式加减的综合应用题，解题的核心是先正确完成整式化简，再结合题目给出的条件逐步求解。解题过程中需注意去括号时的符号变化和乘法分配律的正确应用，理解“代数式值与某字母无关即对应项系数为0”的结论是解决第三问的关键。
【难度系数】
0.7

下面是小芳做的一道多项式的加减运算题,但她不小心把一滴墨水滴在了上面:
$(-x^2 + 3xy - \frac{1}{2}y^2) - (-\frac{1}{2}x^2 + 4xy - \frac{3}{2}y^2) = -\frac{1}{2}x^2 + y^2.$
阴影部分即为被墨迹弄污的部分,那么被墨迹遮住的一项是什么?

解：
对等式左边的整式去括号，得
$-x^2 + 3xy - \frac{1}{2}y^2 + \frac{1}{2}x^2 - 4xy + \frac{3}{2}y^2$
合并同类项：
$= (-x^2 + \frac{1}{2}x^2) + (3xy - 4xy) + (-\frac{1}{2}y^2 + \frac{3}{2}y^2)$
$= -\frac{1}{2}x^2 - xy + y^2$
将化简结果与等式右侧已知的$-\frac{1}{2}x^2 + y^2$对比，可得被墨迹遮住的一项是$-xy$。

【分析】
要确定被墨迹遮住的项，我们可以先对等式左边的整式按整式加减的规则计算：先去括号，再合并同类项，得到左边化简后的完整结果，再将其与等式右侧给出的部分结果对比，两者相差的部分就是被墨迹遮住的项。
【解析】
首先对等式左边的整式去括号，括号前为负号，去括号后括号内各项需变号：
$-x^2 + 3xy - \frac{1}{2}y^2 + \frac{1}{2}x^2 - 4xy + \frac{3}{2}y^2$
接下来合并同类项，将同类项的系数相加：
$= (-x^2 + \frac{1}{2}x^2) + (3xy - 4xy) + (-\frac{1}{2}y^2 + \frac{3}{2}y^2)$
分别计算每一组同类项的结果：
$= -\frac{1}{2}x^2 - xy + y^2$
将上述化简结果与等式右侧已知的$-\frac{1}{2}x^2 + y^2$对比，即可得到被墨迹遮住的项。
【答案】
$-xy$
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式的加减运算
【点评】
本题是整式加减的典型基础题，解题核心是熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则，通过化简整式后与已知结果对比就能得到未知项。
【难度系数】
0.8