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1.“一个数比a小4，它的3倍是多少”用代数式表示是。
答案
$\boldsymbol{3(a-4)}$
解析
【分析】
解题时需分两步梳理思路：第一步先根据“一个数比a小4”的表述，求出这个数的代数式表示，“比某数小几就用某数减几”，因此这个数是a与4的差；第二步求这个数的3倍，由于a-4是一个整体，作为乘法的因数时要给整体加括号，保证运算顺序正确。
【解析】
1. 先表示出比a小4的数：比a小4，即该数为$ a-4 $；
2. 再求该数的3倍：将$ a-4 $看作整体乘3，按照代数式书写规范，数字与括号相乘时乘号可省略，得到$ 3(a-4) $。
【答案】
$ 3(a-4) $
【知识点】
1. 列代数式 2. 代数式书写规范
【点评】
本题是列代数式的基础题，主要考查对文字描述中数量关系的理解，解题时要注意运算顺序，先算减法再算乘法时，减法部分需要加括号，避免漏写括号出现运算顺序错误。
【难度系数】
0.8
解题时需分两步梳理思路：第一步先根据“一个数比a小4”的表述，求出这个数的代数式表示，“比某数小几就用某数减几”，因此这个数是a与4的差；第二步求这个数的3倍，由于a-4是一个整体，作为乘法的因数时要给整体加括号，保证运算顺序正确。
【解析】
1. 先表示出比a小4的数：比a小4，即该数为$ a-4 $；
2. 再求该数的3倍：将$ a-4 $看作整体乘3，按照代数式书写规范，数字与括号相乘时乘号可省略，得到$ 3(a-4) $。
【答案】
$ 3(a-4) $
【知识点】
1. 列代数式 2. 代数式书写规范
【点评】
本题是列代数式的基础题，主要考查对文字描述中数量关系的理解，解题时要注意运算顺序，先算减法再算乘法时，减法部分需要加括号，避免漏写括号出现运算顺序错误。
【难度系数】
0.8
2.若$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$，则$\frac{a+b}{b-a}=$。
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
已知a与b的比值，求含a、b的分式的值，可采用设参数的常用思路求解：根据给出的比例关系，把a、b用含同一个参数的式子表示，再代入待求的分式中，化简后参数会被消去，就能算出结果，该方法计算清晰不易出错，适合解决比例类求值问题。
【解析】
解：
∵$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$
∴可设$a=3k$，$b=5k$（$k≠0$，保证分母$b$不为0）
将$a=3k$、$b=5k$代入$\frac{a+b}{b-a}$得：
$\frac{a+b}{b-a}=\frac{3k+5k}{5k-3k}=\frac{8k}{2k}=4$
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
比例的性质，分式化简求值
【点评】
本题是比例求值的基础题型，掌握设参数法解决这类问题的效率很高，该方法也是后续解决比例相关综合题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
已知a与b的比值，求含a、b的分式的值，可采用设参数的常用思路求解：根据给出的比例关系，把a、b用含同一个参数的式子表示，再代入待求的分式中，化简后参数会被消去，就能算出结果，该方法计算清晰不易出错，适合解决比例类求值问题。
【解析】
解：
∵$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$
∴可设$a=3k$，$b=5k$（$k≠0$，保证分母$b$不为0）
将$a=3k$、$b=5k$代入$\frac{a+b}{b-a}$得：
$\frac{a+b}{b-a}=\frac{3k+5k}{5k-3k}=\frac{8k}{2k}=4$
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
比例的性质，分式化简求值
【点评】
本题是比例求值的基础题型，掌握设参数法解决这类问题的效率很高，该方法也是后续解决比例相关综合题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
3.下面各题中的两个量成反比例关系的是（填序号）.
①圆锥的体积一定,它的底面积和高；
②加工零件的总时间一定,加工一个零件的时间和零件的总个数；③圆的周长一定,圆周率和这个圆的直径；
④总价一定,物品的单价与数量.
①圆锥的体积一定,它的底面积和高；
②加工零件的总时间一定,加工一个零件的时间和零件的总个数；③圆的周长一定,圆周率和这个圆的直径；
④总价一定,物品的单价与数量.
答案
解：
① 圆锥的体积公式为$V=\frac{1}{3}Sh$，变形得$S· h=3V$，当体积$V$一定时，$3V$是定值，底面积和高的乘积为定值，二者成反比例关系；
② 加工一个零件的时间 × 零件的总个数 = 加工零件的总时间，总时间一定，两个量的乘积为定值，二者成反比例关系；
③ 圆周率是固定不变的常数，不会随直径的变化而变化，因此圆周率和圆的直径不成比例关系；
④ 物品的单价 × 数量 = 总价，总价一定，两个量的乘积为定值，二者成反比例关系。
综上，成反比例关系的是$\boldsymbol{①②④}$。
① 圆锥的体积公式为$V=\frac{1}{3}Sh$，变形得$S· h=3V$，当体积$V$一定时，$3V$是定值，底面积和高的乘积为定值，二者成反比例关系；
② 加工一个零件的时间 × 零件的总个数 = 加工零件的总时间，总时间一定，两个量的乘积为定值，二者成反比例关系；
③ 圆周率是固定不变的常数，不会随直径的变化而变化，因此圆周率和圆的直径不成比例关系；
④ 物品的单价 × 数量 = 总价，总价一定，两个量的乘积为定值，二者成反比例关系。
综上，成反比例关系的是$\boldsymbol{①②④}$。
解析
【分析】
解题时首先要明确反比例关系的判定标准：一是两个量是相关联的变量，一个量变化另一个量也随之变化；二是两个量的乘积为固定定值。接下来只需逐个分析4个情况中的两个量是否同时满足以上两个条件，筛选出符合要求的序号即可。
【解析】
①根据圆锥的体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$，变形可得$S· h=3V$，当体积$V$一定时，$3V$是固定定值，即底面积和高的乘积为定值，二者成反比例关系；
②加工一个零件的时间×零件的总个数=加工零件的总时间，已知总时间一定，即两个量的乘积为定值，二者成反比例关系；
③圆周率是固定不变的常量，不会随着圆的直径的变化而变化，不符合相关联变量的要求，因此圆周率和圆的直径不成比例关系；
④物品的单价×数量=总价，已知总价一定，即两个量的乘积为定值，二者成反比例关系。
综上，成反比例关系的是①②④。
【答案】
$\boldsymbol{①②④}$
【知识点】
反比例关系判定、常见数量关系、常量的概念
【点评】
本题考查反比例关系的判断，易错点是容易忽略③中圆周率是固定不变的常量，不属于可变化的相关联量，因此不成比例。解答此类问题时先判断两个量是否为相关联的变量，再验证二者乘积是否为定值，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确反比例关系的判定标准：一是两个量是相关联的变量，一个量变化另一个量也随之变化；二是两个量的乘积为固定定值。接下来只需逐个分析4个情况中的两个量是否同时满足以上两个条件，筛选出符合要求的序号即可。
【解析】
①根据圆锥的体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$，变形可得$S· h=3V$，当体积$V$一定时，$3V$是固定定值，即底面积和高的乘积为定值，二者成反比例关系；
②加工一个零件的时间×零件的总个数=加工零件的总时间，已知总时间一定，即两个量的乘积为定值，二者成反比例关系；
③圆周率是固定不变的常量，不会随着圆的直径的变化而变化，不符合相关联变量的要求，因此圆周率和圆的直径不成比例关系；
④物品的单价×数量=总价，已知总价一定，即两个量的乘积为定值，二者成反比例关系。
综上，成反比例关系的是①②④。
【答案】
$\boldsymbol{①②④}$
【知识点】
反比例关系判定、常见数量关系、常量的概念
【点评】
本题考查反比例关系的判断，易错点是容易忽略③中圆周率是固定不变的常量，不属于可变化的相关联量，因此不成比例。解答此类问题时先判断两个量是否为相关联的变量，再验证二者乘积是否为定值，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
4.某地区海拔每增加 500 m,气温就降低大约 3 ℃.设地面气温是$a$ ℃,则$x$ m高空气温约为℃（用含$a,x$的代数式表示）.
答案
$\boldsymbol{a - \dfrac{3x}{500}}$
解析
【分析】
解题时先明确题目中的数量关系：海拔每升高500m，气温下降3℃，要求x m高空的气温，需要先计算x m的海拔高度一共会使气温下降多少度，再用地面气温减去下降的温度，就能得到高空气温。第一步先求x m里包含多少个500m，第二步计算对应的降温总量，第三步结合地面温度列出最终代数式。
【解析】
1. 先计算x m海拔中包含的500m的个数：共有$\dfrac{x}{500}$个；
2. 已知每500m气温降低3℃，则x m高空气温相比地面总共降低的温度为：$3×\dfrac{x}{500}=\dfrac{3x}{500}$（℃）；
3. 地面气温是$a$ ℃，用地面气温减去降低的温度，即可得到x m高空气温：$a - \dfrac{3x}{500}$（℃）。
【答案】
$\boldsymbol{a - \dfrac{3x}{500}}$
【知识点】
列代数式；实际问题数量关系
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是理清海拔升高与气温下降的对应关系，计算降温总量时不要搞错运算逻辑，即可顺利列出正确的代数式。
【难度系数】
0.8
解题时先明确题目中的数量关系：海拔每升高500m，气温下降3℃，要求x m高空的气温，需要先计算x m的海拔高度一共会使气温下降多少度，再用地面气温减去下降的温度，就能得到高空气温。第一步先求x m里包含多少个500m，第二步计算对应的降温总量，第三步结合地面温度列出最终代数式。
【解析】
1. 先计算x m海拔中包含的500m的个数：共有$\dfrac{x}{500}$个；
2. 已知每500m气温降低3℃，则x m高空气温相比地面总共降低的温度为：$3×\dfrac{x}{500}=\dfrac{3x}{500}$（℃）；
3. 地面气温是$a$ ℃，用地面气温减去降低的温度，即可得到x m高空气温：$a - \dfrac{3x}{500}$（℃）。
【答案】
$\boldsymbol{a - \dfrac{3x}{500}}$
【知识点】
列代数式；实际问题数量关系
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是理清海拔升高与气温下降的对应关系，计算降温总量时不要搞错运算逻辑，即可顺利列出正确的代数式。
【难度系数】
0.8
5.某广场上要设计一排灯笼，有一种设计由下图所示的图案逐步演变而成，其中圆圈代表灯笼，n代表第n次演变过程，s代表第n次演变后的灯笼的个数.当n=6时，s=.
答案
$\boldsymbol{94}$
解析
【分析】
要解决该问题，可先观察已知的n与对应s的数值，寻找相邻s的变化规律：已知n=1时s=1，n=2时s=4，n=3时s=10，n=4时s=22，先计算相邻两个s的差值，会发现差值依次为3、6、12，后一个差值是前一个差值的2倍，按照该规律依次计算n=5、n=6对应的s值即可。
【解析】
首先整理已知数据：
n=1时，$s_1=1$；
n=2时，$s_2=4$，较前一次增加：$4-1=3$；
n=3时，$s_3=10$，较前一次增加：$10-4=6=3×2$；
n=4时，$s_4=22$，较前一次增加：$22-10=12=6×2$；
可得规律：每次演变新增的灯笼数是上一次新增数的2倍。
则n=5时，新增灯笼数为$12×2=24$，$s_5=22+24=46$；
n=6时，新增灯笼数为$24×2=48$，$s_6=46+48=94$。
【答案】
$\boldsymbol{94}$
【知识点】
图形规律探究、有理数加减运算
【点评】
本题属于规律探究类题目，需要通过观察已知数据的变化特征归纳出递推规律，再结合规律计算求解，侧重考查观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，可先观察已知的n与对应s的数值，寻找相邻s的变化规律：已知n=1时s=1，n=2时s=4，n=3时s=10，n=4时s=22，先计算相邻两个s的差值，会发现差值依次为3、6、12，后一个差值是前一个差值的2倍，按照该规律依次计算n=5、n=6对应的s值即可。
【解析】
首先整理已知数据：
n=1时，$s_1=1$；
n=2时，$s_2=4$，较前一次增加：$4-1=3$；
n=3时，$s_3=10$，较前一次增加：$10-4=6=3×2$；
n=4时，$s_4=22$，较前一次增加：$22-10=12=6×2$；
可得规律：每次演变新增的灯笼数是上一次新增数的2倍。
则n=5时，新增灯笼数为$12×2=24$，$s_5=22+24=46$；
n=6时，新增灯笼数为$24×2=48$，$s_6=46+48=94$。
【答案】
$\boldsymbol{94}$
【知识点】
图形规律探究、有理数加减运算
【点评】
本题属于规律探究类题目，需要通过观察已知数据的变化特征归纳出递推规律，再结合规律计算求解，侧重考查观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
6.根据下列$a,b$的值,分别求代数式$a^2 + b^2$与$(a+b)^2$的值.
(1)$a=-2, b=-1$;
(2)$a=2, b=-\dfrac{1}{2}$.
(1)$a=-2, b=-1$;
(2)$a=2, b=-\dfrac{1}{2}$.
答案
解：
(1) 当$a=-2$，$b=-1$时：
$a^2 + b^2 = (-2)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$
$(a+b)^2 = (-2 + (-1))^2 = (-3)^2 = 9$
(2) 当$a=2$，$b=-\dfrac{1}{2}$时：
$a^2 + b^2 = 2^2 + (-\dfrac{1}{2})^2 = 4 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{17}{4}$
$(a+b)^2 = (2 + (-\dfrac{1}{2}))^2 = (\dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{9}{4}$
(1) 当$a=-2$，$b=-1$时：
$a^2 + b^2 = (-2)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$
$(a+b)^2 = (-2 + (-1))^2 = (-3)^2 = 9$
(2) 当$a=2$，$b=-\dfrac{1}{2}$时：
$a^2 + b^2 = 2^2 + (-\dfrac{1}{2})^2 = 4 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{17}{4}$
$(a+b)^2 = (2 + (-\dfrac{1}{2}))^2 = (\dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{9}{4}$
解析
【分析】
本题属于代数式求值的基础题型，解题思路清晰：针对每一组给定的a、b取值，分别将数值代入$a^2 + b^2$和$(a+b)^2$两个代数式中，按照有理数运算顺序计算即可：有括号先算括号内的内容，再计算乘方，最后计算加减，计算负数乘方时要注意符号的处理。
【解析】
(1) 当$a=-2$，$b=-1$时：
$a^2 + b^2 = (-2)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$
$(a+b)^2 = (-2 + (-1))^2 = (-3)^2 = 9$
(2) 当$a=2$，$b=-\dfrac{1}{2}$时：
$a^2 + b^2 = 2^2 + (-\dfrac{1}{2})^2 = 4 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{17}{4}$
$(a+b)^2 = (2 + (-\dfrac{1}{2}))^2 = (\dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{9}{4}$
【答案】
(1) $a^2+b^2=5$，$(a+b)^2=9$；
(2) $a^2+b^2=\dfrac{17}{4}$，$(a+b)^2=\dfrac{9}{4}$
【知识点】
代数式求值、有理数混合运算、乘方运算
【点评】
本题考查代数式的代入求值能力，属于基础运算类题目，计算时重点注意负数乘方的符号、括号内运算的优先级，细心计算即可避免错误。
【难度系数】
0.9
本题属于代数式求值的基础题型，解题思路清晰：针对每一组给定的a、b取值，分别将数值代入$a^2 + b^2$和$(a+b)^2$两个代数式中，按照有理数运算顺序计算即可：有括号先算括号内的内容，再计算乘方，最后计算加减，计算负数乘方时要注意符号的处理。
【解析】
(1) 当$a=-2$，$b=-1$时：
$a^2 + b^2 = (-2)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$
$(a+b)^2 = (-2 + (-1))^2 = (-3)^2 = 9$
(2) 当$a=2$，$b=-\dfrac{1}{2}$时：
$a^2 + b^2 = 2^2 + (-\dfrac{1}{2})^2 = 4 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{17}{4}$
$(a+b)^2 = (2 + (-\dfrac{1}{2}))^2 = (\dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{9}{4}$
【答案】
(1) $a^2+b^2=5$，$(a+b)^2=9$；
(2) $a^2+b^2=\dfrac{17}{4}$，$(a+b)^2=\dfrac{9}{4}$
【知识点】
代数式求值、有理数混合运算、乘方运算
【点评】
本题考查代数式的代入求值能力，属于基础运算类题目，计算时重点注意负数乘方的符号、括号内运算的优先级，细心计算即可避免错误。
【难度系数】
0.9
7. 提升题 某仓库现有一种海产品若干千克，每天销售的质量与销售的天数的关系如下表所示：
| 每天销售的质量/kg | 400 | 300 | 240 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 销售的天数/天 |
| 40 | 50 | … |
(1)这批海产品共有多少千克？
(2)销售的天数是怎样随着每天销售的质量的变化而变化的？
(3)用x表示每天销售的千克数，y表示销售的天数，用式子表示y与x的关系，它们成什么比例关系？
(4)若每天销售该海产品200 kg，销售40天后，仓库需要紧急腾空，剩余的这些海产品必须在不超过5天内全部售出，则此时每天至少销售多少千克才能完成销售任务？
| 每天销售的质量/kg | 400 | 300 | 240 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 销售的天数/天 |
| 40 | 50 | … |(1)这批海产品共有多少千克？
(2)销售的天数是怎样随着每天销售的质量的变化而变化的？
(3)用x表示每天销售的千克数，y表示销售的天数，用式子表示y与x的关系，它们成什么比例关系？
(4)若每天销售该海产品200 kg，销售40天后，仓库需要紧急腾空，剩余的这些海产品必须在不超过5天内全部售出，则此时每天至少销售多少千克才能完成销售任务？
答案
解：
(1) 计算总质量：$400×30=12000(\mathrm{kg})$
答：这批海产品共有12000千克。
(2) 销售的天数随着每天销售的质量的增大而减小，且每天销售的质量与对应销售天数的乘积始终等于这批海产品的总质量，保持不变。
(3) 由总质量为12000kg，可得$xy=12000$，即$y=\frac{12000}{x}$，两个量的乘积为定值，它们成反比例关系。
(4) 设此时每天至少销售$z$千克才能完成销售任务。
根据题意列方程：
$5z=12000-200×40$
化简得：$5z=4000$
解得：$z=800$
答：此时每天至少销售800千克才能完成销售任务。
(1) 计算总质量：$400×30=12000(\mathrm{kg})$
答：这批海产品共有12000千克。
(2) 销售的天数随着每天销售的质量的增大而减小，且每天销售的质量与对应销售天数的乘积始终等于这批海产品的总质量，保持不变。
(3) 由总质量为12000kg，可得$xy=12000$，即$y=\frac{12000}{x}$，两个量的乘积为定值，它们成反比例关系。
(4) 设此时每天至少销售$z$千克才能完成销售任务。
根据题意列方程：
$5z=12000-200×40$
化简得：$5z=4000$
解得：$z=800$
答：此时每天至少销售800千克才能完成销售任务。
解析
【分析】
本题核心是海产品总质量为固定不变量，解题围绕该不变量逐步推导即可：
1. 求总质量时，选取表格中任意一组对应的每天销售质量和销售天数，二者乘积即为总质量，可通过多组数据验证总质量一致。
2. 分析变量变化关系时，观察表格数据可知：每天销售的质量越大，对应的销售天数越少，且二者乘积始终等于总质量，保持定值。
3. 推导x与y的关系式时，根据“每天销售质量×销售天数=总质量”代入总质量数值即可得到表达式，再根据反比例的定义判断比例关系。
4. 解决第四问时，先计算前40天的销售量，用总质量减去已销售量得到剩余量，再结合5天的销售时限计算每天最低销售量，也可通过列方程求解。
【解析】
(1) 总质量等于每天销售质量乘以对应销售天数，选取表格第一组数据计算：
$400×30=12000(\mathrm{kg})$
答：这批海产品共有12000千克。
(2) 观察表格数据可得：销售的天数随着每天销售的质量的增大而减小，且每天销售的质量与对应销售天数的乘积始终等于这批海产品的总质量，保持不变。
(3) 根据“每天销售质量×销售天数=总质量”，代入总质量12000kg可得：
$xy=12000$，变形得$y=\frac{12000}{x}$
因为x和y的乘积为定值，所以二者成反比例关系。
(4) 设此时每天至少销售$z$千克才能完成销售任务。
根据总质量减去已销售质量等于剩余待销售质量，剩余质量需5天售完，列方程：
$5z=12000-200×40$
化简得：$5z=4000$
解得：$z=800$
答：此时每天至少销售800千克才能完成销售任务。
【答案】
(1) 12000千克；
(2) 销售的天数随每天销售的质量的增大而减小，二者乘积为定值；
(3) $y=\frac{12000}{x}$（或$xy=12000$），成反比例关系；
(4) 800千克。
【知识点】
反比例关系，总量计算，一元一次方程应用
【点评】
本题结合实际销售场景出题，解题关键是抓住“总质量不变”这一核心不变量，依次完成变量分析、比例关系推导、实际问题求解，既考察了反比例的基础概念，也锻炼了用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题核心是海产品总质量为固定不变量，解题围绕该不变量逐步推导即可：
1. 求总质量时，选取表格中任意一组对应的每天销售质量和销售天数，二者乘积即为总质量，可通过多组数据验证总质量一致。
2. 分析变量变化关系时，观察表格数据可知：每天销售的质量越大，对应的销售天数越少，且二者乘积始终等于总质量，保持定值。
3. 推导x与y的关系式时，根据“每天销售质量×销售天数=总质量”代入总质量数值即可得到表达式，再根据反比例的定义判断比例关系。
4. 解决第四问时，先计算前40天的销售量，用总质量减去已销售量得到剩余量，再结合5天的销售时限计算每天最低销售量，也可通过列方程求解。
【解析】
(1) 总质量等于每天销售质量乘以对应销售天数，选取表格第一组数据计算：
$400×30=12000(\mathrm{kg})$
答：这批海产品共有12000千克。
(2) 观察表格数据可得：销售的天数随着每天销售的质量的增大而减小，且每天销售的质量与对应销售天数的乘积始终等于这批海产品的总质量，保持不变。
(3) 根据“每天销售质量×销售天数=总质量”，代入总质量12000kg可得：
$xy=12000$，变形得$y=\frac{12000}{x}$
因为x和y的乘积为定值，所以二者成反比例关系。
(4) 设此时每天至少销售$z$千克才能完成销售任务。
根据总质量减去已销售质量等于剩余待销售质量，剩余质量需5天售完，列方程：
$5z=12000-200×40$
化简得：$5z=4000$
解得：$z=800$
答：此时每天至少销售800千克才能完成销售任务。
【答案】
(1) 12000千克；
(2) 销售的天数随每天销售的质量的增大而减小，二者乘积为定值；
(3) $y=\frac{12000}{x}$（或$xy=12000$），成反比例关系；
(4) 800千克。
【知识点】
反比例关系，总量计算，一元一次方程应用
【点评】
本题结合实际销售场景出题，解题关键是抓住“总质量不变”这一核心不变量，依次完成变量分析、比例关系推导、实际问题求解，既考察了反比例的基础概念，也锻炼了用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
