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1.已知多项式$(m - 3)x^{|m| - 2}y^3 + x^2y - 2xy^2$是关于$x,y$的四次三项式.
(1)求$m$的值.
(2)当$x=\frac{3}{2},y=-1$时,求此多项式的值.
(1)求$m$的值.
(2)当$x=\frac{3}{2},y=-1$时,求此多项式的值.
答案
解：
(1) 由多项式是关于$x,y$的四次三项式，可得：
最高次项的次数为4，且最高次项的系数不为0，
即 $\begin{cases}|m|-2+3=4 \\ m-3≠0\end{cases}$
由$|m|+1=4$，得$|m|=3$，即$m=3$或$m=-3$，
结合$m-3≠0$，得$m≠3$，
所以$m=-3$。
(2) 将$m=-3$代入原多项式，得该多项式为：
$-6xy^3 + x^2y - 2xy^2$
当$x=\frac{3}{2},y=-1$时：
$\begin{aligned}原式&=-6×\frac{3}{2}×(-1)^3 + (\frac{3}{2})^2×(-1) - 2×\frac{3}{2}×(-1)^2\\&=-6×\frac{3}{2}×(-1) + \frac{9}{4}×(-1) - 2×\frac{3}{2}×1\\&=9 - \frac{9}{4} - 3\\&=\frac{15}{4}\end{aligned}$
(1) 由多项式是关于$x,y$的四次三项式，可得：
最高次项的次数为4，且最高次项的系数不为0，
即 $\begin{cases}|m|-2+3=4 \\ m-3≠0\end{cases}$
由$|m|+1=4$，得$|m|=3$，即$m=3$或$m=-3$，
结合$m-3≠0$，得$m≠3$，
所以$m=-3$。
(2) 将$m=-3$代入原多项式，得该多项式为：
$-6xy^3 + x^2y - 2xy^2$
当$x=\frac{3}{2},y=-1$时：
$\begin{aligned}原式&=-6×\frac{3}{2}×(-1)^3 + (\frac{3}{2})^2×(-1) - 2×\frac{3}{2}×(-1)^2\\&=-6×\frac{3}{2}×(-1) + \frac{9}{4}×(-1) - 2×\frac{3}{2}×1\\&=9 - \frac{9}{4} - 3\\&=\frac{15}{4}\end{aligned}$
解析
【分析】
(1) 解决第一问首先要明确四次三项式的定义：多项式的次数是指多项式里次数最高项的次数，三项式说明多项式共有3个项。本题最高次项为$(m - 3)x^{|m| - 2}y^3$，首先它的次数等于x的次数加y的次数，这个值要等于4；其次如果它的系数$m-3=0$，这一项就会消失，多项式变为二项式，不符合要求，因此系数不能为0，联立方程和不等式即可求出m的值。
(2) 第二问先把求得的m代入原多项式得到确定的代数式，再将x、y的数值代入，按照有理数的运算规则计算即可，计算时注意负数的乘方符号不要出错。
【解析】
(1)
∵ 多项式$(m - 3)x^{|m| - 2}y^3 + x^2y - 2xy^2$是关于$x,y$的四次三项式
∴ 最高次项的次数为4，且最高次项的系数不为0，可列关系式：
$\begin{cases}|m|-2+3=4 \\ m-3≠0\end{cases}$
解第一个方程：$|m|+1=4$，即$|m|=3$，解得$m=3$或$m=-3$
结合第二个不等式$m-3≠0$，得$m≠3$
∴ $m=-3$
(2) 将$m=-3$代入原多项式，得化简后的多项式为：
$-6xy^3 + x^2y - 2xy^2$
当$x=\frac{3}{2},y=-1$时，代入多项式计算：
$\begin{aligned}原式&=-6×\frac{3}{2}×(-1)^3 + (\frac{3}{2})^2×(-1) - 2×\frac{3}{2}×(-1)^2\\&=-6×\frac{3}{2}×(-1) + \frac{9}{4}×(-1) - 3×1\\&=9 - \frac{9}{4} - 3\\&=\frac{15}{4}\end{aligned}$
【答案】
(1) $m=-3$；(2) $\frac{15}{4}$
【知识点】
多项式的项与次数，代数式求值，绝对值的性质
【点评】
本题重点考查多项式的基本概念，解题时容易忽略最高次项系数不为0的隐含条件，出现多解错误；代入求值时要注意负数乘方的符号运算，按照运算顺序逐步计算即可。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问首先要明确四次三项式的定义：多项式的次数是指多项式里次数最高项的次数，三项式说明多项式共有3个项。本题最高次项为$(m - 3)x^{|m| - 2}y^3$，首先它的次数等于x的次数加y的次数，这个值要等于4；其次如果它的系数$m-3=0$，这一项就会消失，多项式变为二项式，不符合要求，因此系数不能为0，联立方程和不等式即可求出m的值。
(2) 第二问先把求得的m代入原多项式得到确定的代数式，再将x、y的数值代入，按照有理数的运算规则计算即可，计算时注意负数的乘方符号不要出错。
【解析】
(1)
∵ 多项式$(m - 3)x^{|m| - 2}y^3 + x^2y - 2xy^2$是关于$x,y$的四次三项式
∴ 最高次项的次数为4，且最高次项的系数不为0，可列关系式：
$\begin{cases}|m|-2+3=4 \\ m-3≠0\end{cases}$
解第一个方程：$|m|+1=4$，即$|m|=3$，解得$m=3$或$m=-3$
结合第二个不等式$m-3≠0$，得$m≠3$
∴ $m=-3$
(2) 将$m=-3$代入原多项式，得化简后的多项式为：
$-6xy^3 + x^2y - 2xy^2$
当$x=\frac{3}{2},y=-1$时，代入多项式计算：
$\begin{aligned}原式&=-6×\frac{3}{2}×(-1)^3 + (\frac{3}{2})^2×(-1) - 2×\frac{3}{2}×(-1)^2\\&=-6×\frac{3}{2}×(-1) + \frac{9}{4}×(-1) - 3×1\\&=9 - \frac{9}{4} - 3\\&=\frac{15}{4}\end{aligned}$
【答案】
(1) $m=-3$；(2) $\frac{15}{4}$
【知识点】
多项式的项与次数，代数式求值，绝对值的性质
【点评】
本题重点考查多项式的基本概念，解题时容易忽略最高次项系数不为0的隐含条件，出现多解错误；代入求值时要注意负数乘方的符号运算，按照运算顺序逐步计算即可。
【难度系数】
0.7
2.已知多项式$-8x^3y^m + xy^2 - 3x^3 + 6y$是六次四项式，单项式$\frac{3}{2}π x^2 y^{5-n}$的次数与这个多项式的次数相同。
(1)求$m$，$n$的值。
(2)求多项式各项的系数和。
(1)求$m$，$n$的值。
(2)求多项式各项的系数和。
答案
解：
(1) 因为多项式$-8x^3y^m + xy^2 - 3x^3 + 6y$是六次四项式，
所以最高次项$-8x^3y^m$的次数为6，即$3+m=6$，
解得$m=3$。
又因为单项式$\frac{3}{2}π x^2 y^{5-n}$的次数与该多项式的次数相同，
所以该单项式的次数为6，即$2+(5-n)=6$，
解得$n=1$。
(2) 多项式各项的系数分别为$-8$，$1$，$-3$，$6$，
各项系数和为：$-8 + 1 - 3 + 6 = -4$。
(1) 因为多项式$-8x^3y^m + xy^2 - 3x^3 + 6y$是六次四项式，
所以最高次项$-8x^3y^m$的次数为6，即$3+m=6$，
解得$m=3$。
又因为单项式$\frac{3}{2}π x^2 y^{5-n}$的次数与该多项式的次数相同，
所以该单项式的次数为6，即$2+(5-n)=6$，
解得$n=1$。
(2) 多项式各项的系数分别为$-8$，$1$，$-3$，$6$，
各项系数和为：$-8 + 1 - 3 + 6 = -4$。
解析
【分析】
(1) 先根据多项式次数的定义思考：多项式的次数是其最高次项的次数，已知该多项式是六次四项式，说明最高次项的次数为6。先判断多项式各项的次数：$xy^2$次数为3、$-3x^3$次数为3、$6y$次数为1，因此最高次项为$-8x^3y^m$，根据项的次数为所有字母指数和，列等式$3+m=6$即可求出$m$的值；再根据单项式次数的定义：单项式的次数为所有字母的指数和（$π$是常数，不算入次数），已知单项式次数和多项式次数相同为6，列等式$2+(5-n)=6$即可求出$n$的值。
(2) 求各项系数和时，先找出每一项的数字系数（注意保留项的符号，省略系数1的项不要遗漏），再将所有系数相加即可得到结果。
【解析】
(1) 因为多项式$-8x^3y^m + xy^2 - 3x^3 + 6y$是六次四项式，所以最高次项$-8x^3y^m$的次数为6，即$3+m=6$，解得$m=3$。
又因为单项式$\frac{3}{2}π x^2 y^{5-n}$的次数与该多项式的次数相同，所以该单项式的次数为6，即$2+(5-n)=6$，解得$n=1$。
(2) 多项式各项的系数分别为$-8$，$1$，$-3$，$6$，各项系数和为：$-8 + 1 - 3 + 6 = -4$。
【答案】
(1) $m=3$，$n=1$；(2) $-4$
【知识点】
多项式的次数、单项式的次数、系数求和
【点评】
本题侧重考查整式的基础概念，解题核心是准确把握多项式和单项式次数的定义，尤其要注意$π$属于常数，不参与次数计算，求解系数和时不要忽略系数为1的项和各项的符号，属于概念考查类的基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 先根据多项式次数的定义思考：多项式的次数是其最高次项的次数，已知该多项式是六次四项式，说明最高次项的次数为6。先判断多项式各项的次数：$xy^2$次数为3、$-3x^3$次数为3、$6y$次数为1，因此最高次项为$-8x^3y^m$，根据项的次数为所有字母指数和，列等式$3+m=6$即可求出$m$的值；再根据单项式次数的定义：单项式的次数为所有字母的指数和（$π$是常数，不算入次数），已知单项式次数和多项式次数相同为6，列等式$2+(5-n)=6$即可求出$n$的值。
(2) 求各项系数和时，先找出每一项的数字系数（注意保留项的符号，省略系数1的项不要遗漏），再将所有系数相加即可得到结果。
【解析】
(1) 因为多项式$-8x^3y^m + xy^2 - 3x^3 + 6y$是六次四项式，所以最高次项$-8x^3y^m$的次数为6，即$3+m=6$，解得$m=3$。
又因为单项式$\frac{3}{2}π x^2 y^{5-n}$的次数与该多项式的次数相同，所以该单项式的次数为6，即$2+(5-n)=6$，解得$n=1$。
(2) 多项式各项的系数分别为$-8$，$1$，$-3$，$6$，各项系数和为：$-8 + 1 - 3 + 6 = -4$。
【答案】
(1) $m=3$，$n=1$；(2) $-4$
【知识点】
多项式的次数、单项式的次数、系数求和
【点评】
本题侧重考查整式的基础概念，解题核心是准确把握多项式和单项式次数的定义，尤其要注意$π$属于常数，不参与次数计算，求解系数和时不要忽略系数为1的项和各项的符号，属于概念考查类的基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 提升题 已知多项式$(a+2)x^3 +8x^2 -5x +3$是关于$x$的二次多项式，且二次项系数为$b$. 如图所示，数轴上$A,B$两点对应的数分别为$a,b$.
(1)$a=$,$b=$,线段$AB$的长为.
(2)动点$P$从点$A$出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,设运动时间为$t\ \mathrm{s}$,$C$是线段$PB$的中点.当$t=2$时,求线段$BC$的长.
(3)$D$是线段$AB$的中点,若在数轴上存在一点$M$,使得$AM=\frac{3}{2}BM$,求线段$MD$的长.
(1)$a=$,$b=$,线段$AB$的长为.
(2)动点$P$从点$A$出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,设运动时间为$t\ \mathrm{s}$,$C$是线段$PB$的中点.当$t=2$时,求线段$BC$的长.
(3)$D$是线段$AB$的中点,若在数轴上存在一点$M$,使得$AM=\frac{3}{2}BM$,求线段$MD$的长.
答案
解：
(1) 由多项式是关于$x$的二次多项式，得三次项系数为0：
$a+2=0$，解得$a=-2$。
由二次项系数为$b$，得$b=8$。
线段$AB$的长为$8 - (-2)=10$。
故答案依次为：$\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{8}$，$\boldsymbol{10}$。
(2) 当$t=2$时，点P对应的数为：
$-2 + 2×2=2$
此时$PB=8-2=6$
因为C是线段$PB$的中点，所以：
$BC=\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}×6=3$
(3) 因为D是线段$AB$的中点，所以点D对应的数为：
$\frac{-2+8}{2}=3$
设点M对应的数为$x$，则$AM=|x+2|$，$BM=|x-8|$。
由$AM=\frac{3}{2}BM$得：$|x+2|=\frac{3}{2}|x-8|$
分两种情况：
① 当点M在线段$AB$上时：
$x+2=\frac{3}{2}(8-x)$
解得$x=4$
此时$MD=|4-3|=1$
② 当点M在点B右侧时：
$x+2=\frac{3}{2}(x-8)$
解得$x=28$
此时$MD=|28-3|=25$
综上，线段$MD$的长为1或25。
(1) 由多项式是关于$x$的二次多项式，得三次项系数为0：
$a+2=0$，解得$a=-2$。
由二次项系数为$b$，得$b=8$。
线段$AB$的长为$8 - (-2)=10$。
故答案依次为：$\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{8}$，$\boldsymbol{10}$。
(2) 当$t=2$时，点P对应的数为：
$-2 + 2×2=2$
此时$PB=8-2=6$
因为C是线段$PB$的中点，所以：
$BC=\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}×6=3$
(3) 因为D是线段$AB$的中点，所以点D对应的数为：
$\frac{-2+8}{2}=3$
设点M对应的数为$x$，则$AM=|x+2|$，$BM=|x-8|$。
由$AM=\frac{3}{2}BM$得：$|x+2|=\frac{3}{2}|x-8|$
分两种情况：
① 当点M在线段$AB$上时：
$x+2=\frac{3}{2}(8-x)$
解得$x=4$
此时$MD=|4-3|=1$
② 当点M在点B右侧时：
$x+2=\frac{3}{2}(x-8)$
解得$x=28$
此时$MD=|28-3|=25$
综上，线段$MD$的长为1或25。
解析
【分析】
(1) 要确定a、b的值，首先依据二次多项式的定义：多项式中最高次项次数为2，因此三次项系数必须为0，即可求出a；二次项的系数就是b的值；数轴上两点间的距离为右侧点对应数减去左侧点对应数，即可求出AB的长度。
(2) 先根据动点的运动速度和时间，求出t=2时点P对应的数，再计算线段PB的长度，结合中点的性质，BC等于PB的一半，即可求出BC的长。
(3) 先根据线段中点的计算方法求出点D对应的数；设点M对应的数为x，用绝对值表示AM和BM的长度，根据等量关系列绝对值方程，分点M在线段AB上、点M在点B右侧两种情况去绝对值求解，最后计算MD的长度即可。
【解析】
(1) 已知多项式是关于x的二次多项式，因此三次项系数为0：
$a+2=0$，解得$a=-2$。
二次项系数为b，因此$b=8$。
线段AB的长为$8 - (-2)=10$。
(2) 动点P从A出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，当$t=2$时，点P对应的数为：
$-2 + 2×2=2$
此时线段PB的长度为$8-2=6$
因为C是线段PB的中点，所以：
$BC=\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}×6=3$
(3) 因为D是线段AB的中点，所以点D对应的数为：
$\frac{-2+8}{2}=3$
设点M对应的数为$x$，则$AM=|x+2|$，$BM=|x-8|$。
由$AM=\frac{3}{2}BM$得：$|x+2|=\frac{3}{2}|x-8|$，分两种情况讨论：
① 当点M在线段AB上时，$x+2=\frac{3}{2}(8-x)$
解得$x=4$，此时$MD=|4-3|=1$
② 当点M在点B右侧时，$x+2=\frac{3}{2}(x-8)$
解得$x=28$，此时$MD=|28-3|=25$
综上，线段MD的长为1或25。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{8}$，$\boldsymbol{10}$；
(2) $\boldsymbol{3}$；
(3) $\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{25}$
【知识点】
多项式的定义，数轴动点问题，线段中点计算
【点评】
本题综合考查了多项式的相关概念、数轴上的距离计算、动点问题和分类讨论思想，解题时注意不要漏解点M在B右侧的情况，整体兼顾基础运算和逻辑思维的考查。
【难度系数】
0.6
(1) 要确定a、b的值，首先依据二次多项式的定义：多项式中最高次项次数为2，因此三次项系数必须为0，即可求出a；二次项的系数就是b的值；数轴上两点间的距离为右侧点对应数减去左侧点对应数，即可求出AB的长度。
(2) 先根据动点的运动速度和时间，求出t=2时点P对应的数，再计算线段PB的长度，结合中点的性质，BC等于PB的一半，即可求出BC的长。
(3) 先根据线段中点的计算方法求出点D对应的数；设点M对应的数为x，用绝对值表示AM和BM的长度，根据等量关系列绝对值方程，分点M在线段AB上、点M在点B右侧两种情况去绝对值求解，最后计算MD的长度即可。
【解析】
(1) 已知多项式是关于x的二次多项式，因此三次项系数为0：
$a+2=0$，解得$a=-2$。
二次项系数为b，因此$b=8$。
线段AB的长为$8 - (-2)=10$。
(2) 动点P从A出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，当$t=2$时，点P对应的数为：
$-2 + 2×2=2$
此时线段PB的长度为$8-2=6$
因为C是线段PB的中点，所以：
$BC=\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}×6=3$
(3) 因为D是线段AB的中点，所以点D对应的数为：
$\frac{-2+8}{2}=3$
设点M对应的数为$x$，则$AM=|x+2|$，$BM=|x-8|$。
由$AM=\frac{3}{2}BM$得：$|x+2|=\frac{3}{2}|x-8|$，分两种情况讨论：
① 当点M在线段AB上时，$x+2=\frac{3}{2}(8-x)$
解得$x=4$，此时$MD=|4-3|=1$
② 当点M在点B右侧时，$x+2=\frac{3}{2}(x-8)$
解得$x=28$，此时$MD=|28-3|=25$
综上，线段MD的长为1或25。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{8}$，$\boldsymbol{10}$；
(2) $\boldsymbol{3}$；
(3) $\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{25}$
【知识点】
多项式的定义，数轴动点问题，线段中点计算
【点评】
本题综合考查了多项式的相关概念、数轴上的距离计算、动点问题和分类讨论思想，解题时注意不要漏解点M在B右侧的情况，整体兼顾基础运算和逻辑思维的考查。
【难度系数】
0.6
