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1.下列式子$\frac{1}{3}ab$，$\frac{a+b}{2}$，$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$，$x^2+x-3$，$x^2-4-3xy^2$中，单项式有个，多项式有个，整式有个。
答案
解：
根据整式相关定义逐一判断各式子：
1. $\frac{1}{3}ab$是数与字母的积，属于单项式，也是整式；
2. $\frac{a+b}{2}$是两个单项式的和，属于多项式，也是整式；
3. $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$分母含有字母，既不是单项式也不是多项式，不属于整式；
4. $x^2+x-3$是几个单项式的和，属于多项式，也是整式；
5. $x^2-4-3xy^2$是几个单项式的和，属于多项式，也是整式。
因此单项式有$\boldsymbol{1}$个，多项式有$\boldsymbol{3}$个，整式有$\boldsymbol{4}$个。
根据整式相关定义逐一判断各式子：
1. $\frac{1}{3}ab$是数与字母的积，属于单项式，也是整式；
2. $\frac{a+b}{2}$是两个单项式的和，属于多项式，也是整式；
3. $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$分母含有字母，既不是单项式也不是多项式，不属于整式；
4. $x^2+x-3$是几个单项式的和，属于多项式，也是整式；
5. $x^2-4-3xy^2$是几个单项式的和，属于多项式，也是整式。
因此单项式有$\boldsymbol{1}$个，多项式有$\boldsymbol{3}$个，整式有$\boldsymbol{4}$个。
解析
【分析】
解题前先明确三个核心定义：①单项式：数与字母的乘积组成的代数式，单独的数或字母也属于单项式；②多项式：几个单项式的和；③整式是单项式和多项式的统称，且整式的分母不能含有字母。解题时逐个判断给出的5个式子，先排除分母含字母的非整式，再对剩余式子区分是单项式还是多项式，最后统计对应数量即可。
【解析】
我们结合定义逐一判断每个式子：
1. $\frac{1}{3}ab$是数$\frac{1}{3}$与字母a、b的乘积，符合单项式的定义，属于单项式，同时也是整式；
2. $\frac{a+b}{2}$可变形为$\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b$，是两个单项式的和，属于多项式，同时也是整式；
3. $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$的分母含有字母x、y，不属于整式，因此既不是单项式也不是多项式；
4. $x^2+x-3$是单项式$x^2$、$x$、$-3$的和，属于多项式，同时也是整式；
5. $x^2-4-3xy^2$是单项式$x^2$、$-4$、$-3xy^2$的和，属于多项式，同时也是整式。
统计可得：单项式有1个，多项式有3个，整式有$1+3=4$个。
【答案】
1；3；4
【知识点】
单项式的定义；多项式的定义；整式的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是准确区分单项式、多项式、整式的概念，易错点是容易误将分母含字母的代数式判定为整式，牢记整式的分母不能含有字母即可避免出错。
【难度系数】
0.8
解题前先明确三个核心定义：①单项式：数与字母的乘积组成的代数式，单独的数或字母也属于单项式；②多项式：几个单项式的和；③整式是单项式和多项式的统称，且整式的分母不能含有字母。解题时逐个判断给出的5个式子，先排除分母含字母的非整式，再对剩余式子区分是单项式还是多项式，最后统计对应数量即可。
【解析】
我们结合定义逐一判断每个式子：
1. $\frac{1}{3}ab$是数$\frac{1}{3}$与字母a、b的乘积，符合单项式的定义，属于单项式，同时也是整式；
2. $\frac{a+b}{2}$可变形为$\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b$，是两个单项式的和，属于多项式，同时也是整式；
3. $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$的分母含有字母x、y，不属于整式，因此既不是单项式也不是多项式；
4. $x^2+x-3$是单项式$x^2$、$x$、$-3$的和，属于多项式，同时也是整式；
5. $x^2-4-3xy^2$是单项式$x^2$、$-4$、$-3xy^2$的和，属于多项式，同时也是整式。
统计可得：单项式有1个，多项式有3个，整式有$1+3=4$个。
【答案】
1；3；4
【知识点】
单项式的定义；多项式的定义；整式的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是准确区分单项式、多项式、整式的概念，易错点是容易误将分母含字母的代数式判定为整式，牢记整式的分母不能含有字母即可避免出错。
【难度系数】
0.8
2. 一列式子:①$a^2b$;②$\frac{b}{a}$;③$\frac{x+y}{2}$;④$-5$.
其中是整式的有(填序号).
其中是整式的有(填序号).
答案
解：
单项式与多项式统称为整式。
①$a^2b$是单项式，属于整式；
②$\frac{b}{a}$的分母中含有字母，不属于整式；
③$\frac{x+y}{2}$是多项式，属于整式；
④$-5$是单独的常数，属于单项式，是整式。
其中是整式的有①③④。
单项式与多项式统称为整式。
①$a^2b$是单项式，属于整式；
②$\frac{b}{a}$的分母中含有字母，不属于整式；
③$\frac{x+y}{2}$是多项式，属于整式；
④$-5$是单独的常数，属于单项式，是整式。
其中是整式的有①③④。
解析
【分析】
解题时首先回忆整式的定义：单项式和多项式统称为整式，判定整式的核心要点是式子的分母中不能含有字母，单独的数或字母也属于整式。接下来我们逐个对给出的4个式子进行判断，就能筛选出所有整式。
【解析】
根据整式的定义（单项式与多项式统称为整式），逐一分析：
① $a^2b$ 是数与字母的乘积，属于单项式，因此是整式；
② $\frac{b}{a}$ 的分母中含有字母 $a$，属于分式，不属于整式；
③ $\frac{x+y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{y}{2}$，是两个单项式的和，属于多项式，因此是整式；
④ $-5$ 是单独的常数，属于单项式，因此是整式。
综上，属于整式的是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
整式的概念；单项式；多项式
【点评】
本题是整式判定的基础题，解题关键是牢记整式的定义，明确区分整式与分式的核心标准是分母中是否含有字母，同时注意单独的常数也属于单项式，是整式，避免漏判。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆整式的定义：单项式和多项式统称为整式，判定整式的核心要点是式子的分母中不能含有字母，单独的数或字母也属于整式。接下来我们逐个对给出的4个式子进行判断，就能筛选出所有整式。
【解析】
根据整式的定义（单项式与多项式统称为整式），逐一分析：
① $a^2b$ 是数与字母的乘积，属于单项式，因此是整式；
② $\frac{b}{a}$ 的分母中含有字母 $a$，属于分式，不属于整式；
③ $\frac{x+y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{y}{2}$，是两个单项式的和，属于多项式，因此是整式；
④ $-5$ 是单独的常数，属于单项式，因此是整式。
综上，属于整式的是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
整式的概念；单项式；多项式
【点评】
本题是整式判定的基础题，解题关键是牢记整式的定义，明确区分整式与分式的核心标准是分母中是否含有字母，同时注意单独的常数也属于单项式，是整式，避免漏判。
【难度系数】
0.8
3.若多项式$x^2 - 2kxy + y^2 + 6xy - 6$不含xy的项，则k=。
答案
解：先合并多项式中含xy的同类项：
原式 = x² + (-2k + 6)xy + y² - 6
因为多项式不含xy的项，所以xy项的系数为0，即：
-2k + 6 = 0
解得：k = 3
原式 = x² + (-2k + 6)xy + y² - 6
因为多项式不含xy的项，所以xy项的系数为0，即：
-2k + 6 = 0
解得：k = 3
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确“多项式不含xy项”的含义：即合并同类项后xy项的系数为0。解题时先找出多项式中所有含xy的项，合并为一项，再令其系数等于0，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
先合并多项式中含xy的同类项：
原式 = $x^2 + (-2k + 6)xy + y^2 - 6$
因为多项式不含xy的项，所以xy项的系数为0，即：
$-2k + 6 = 0$
移项得：$-2k = -6$
系数化为1得：$k = 3$
【答案】
3
【知识点】
合并同类项；多项式的项；解一元一次方程
【点评】
本题是整式部分的基础题型，解题核心是掌握“多项式不含某一项，则该项合并同类项后的系数为0”的规律，熟练运用合并同类项法则和一元一次方程解法即可作答。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需明确“多项式不含xy项”的含义：即合并同类项后xy项的系数为0。解题时先找出多项式中所有含xy的项，合并为一项，再令其系数等于0，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
先合并多项式中含xy的同类项：
原式 = $x^2 + (-2k + 6)xy + y^2 - 6$
因为多项式不含xy的项，所以xy项的系数为0，即：
$-2k + 6 = 0$
移项得：$-2k = -6$
系数化为1得：$k = 3$
【答案】
3
【知识点】
合并同类项；多项式的项；解一元一次方程
【点评】
本题是整式部分的基础题型，解题核心是掌握“多项式不含某一项，则该项合并同类项后的系数为0”的规律，熟练运用合并同类项法则和一元一次方程解法即可作答。
【难度系数】
0.8
4.若多项式$x^m+(m+n)x^2-3x+5$是关于$x$的三次四项式，且二次项系数是$-2$，则$n^m$的值为.
答案
$\boldsymbol{-125}$
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要结合多项式的相关定义逐步推导参数的值，再计算最终结果。第一步：明确三次四项式的含义，多项式的次数是指多项式里次数最高项的次数，题目中是三次多项式，所以最高次项$x^m$的次数为3，即可求出$m$的值；第二步：题目给出二次项系数是-2，找到二次项$(m+n)x^2$，令它的系数等于-2，把第一步求出的$m$代入就能算出$n$的值；第三步：将$m$、$n$的值代入$n^m$计算即可得到答案。
【解析】
因为多项式$x^m+(m+n)x^2-3x+5$是关于$x$的三次四项式，
所以最高次项的次数为3，即$m=3$。
又因为该多项式的二次项系数是$-2$，二次项为$(m+n)x^2$，所以系数满足$m+n=-2$。
把$m=3$代入$m+n=-2$，得$3+n=-2$，解得$n=-5$。
因此$n^m=(-5)^3=-125$。
【答案】
$\boldsymbol{-125}$
【知识点】
多项式的相关概念；有理数的乘方；代数式求值
【点评】
本题重点考查对多项式的次数、系数、项数等基本概念的理解，解题时需要紧扣定义提取条件列等式求解参数，再代入计算即可，整体考查方式比较直接。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要结合多项式的相关定义逐步推导参数的值，再计算最终结果。第一步：明确三次四项式的含义，多项式的次数是指多项式里次数最高项的次数，题目中是三次多项式，所以最高次项$x^m$的次数为3，即可求出$m$的值；第二步：题目给出二次项系数是-2，找到二次项$(m+n)x^2$，令它的系数等于-2，把第一步求出的$m$代入就能算出$n$的值；第三步：将$m$、$n$的值代入$n^m$计算即可得到答案。
【解析】
因为多项式$x^m+(m+n)x^2-3x+5$是关于$x$的三次四项式，
所以最高次项的次数为3，即$m=3$。
又因为该多项式的二次项系数是$-2$，二次项为$(m+n)x^2$，所以系数满足$m+n=-2$。
把$m=3$代入$m+n=-2$，得$3+n=-2$，解得$n=-5$。
因此$n^m=(-5)^3=-125$。
【答案】
$\boldsymbol{-125}$
【知识点】
多项式的相关概念；有理数的乘方；代数式求值
【点评】
本题重点考查对多项式的次数、系数、项数等基本概念的理解，解题时需要紧扣定义提取条件列等式求解参数，再代入计算即可，整体考查方式比较直接。
【难度系数】
0.8
5.若关于$x,y$的多项式$3x^m y^2 + (n+3)x^2 y + 2x + 1$是四次三项式，则$n=$，$m=$。
答案
$n=\boldsymbol{-3}$，$m=\boldsymbol{2}$。
解析
【分析】
解题时先抓住“四次三项式”这两个关键条件，结合多项式的相关定义逐步推导：① 首先回忆多项式次数的定义：多项式的次数是次数最高项的次数，要满足多项式是四次，就要先找到最高次项，计算它的次数等于4，即可求出m的值；② 再回忆多项式项数的定义：项数是多项式中系数不为0的单项式的个数，现在原式原本有4个单项式，要满足三项式，就必须有一个单项式的系数为0，观察各个项，只有第二项的系数含n，令第二项系数为0即可求出n的值，最后验证结果是否符合要求即可。
【解析】
首先根据多项式是四次的要求计算m：
多项式中各单项式的次数分别为：
$3x^m y^2$的次数为$m+2$；
$(n+3)x^2 y$的次数为$2+1=3$；
$2x$的次数为1；
常数项1的次数为0。
最高次项的次数必须为4，因此可得$m+2=4$，解得$m=2$。
再根据多项式是三项式的要求计算n：
若$(n+3) ≠ 0$，则多项式共有4个非零单项式，不符合三项式的要求，因此必须令第二项的系数为0，即$n+3=0$，解得$n=-3$。
验证：当$m=2$，$n=-3$时，多项式为$3x^2 y^2 + 2x +1$，确实是四次三项式，符合题意。
【答案】
$n=-3$，$m=2$
【知识点】
多项式的次数；多项式的项数；单项式的次数
【点评】
本题重点考查整式相关的基础概念，解题核心是准确理解“四次”“三项”的含义，注意系数为0的项不会计入多项式的项数，求出值后可以代入验证避免出错。
【难度系数】
0.8
解题时先抓住“四次三项式”这两个关键条件，结合多项式的相关定义逐步推导：① 首先回忆多项式次数的定义：多项式的次数是次数最高项的次数，要满足多项式是四次，就要先找到最高次项，计算它的次数等于4，即可求出m的值；② 再回忆多项式项数的定义：项数是多项式中系数不为0的单项式的个数，现在原式原本有4个单项式，要满足三项式，就必须有一个单项式的系数为0，观察各个项，只有第二项的系数含n，令第二项系数为0即可求出n的值，最后验证结果是否符合要求即可。
【解析】
首先根据多项式是四次的要求计算m：
多项式中各单项式的次数分别为：
$3x^m y^2$的次数为$m+2$；
$(n+3)x^2 y$的次数为$2+1=3$；
$2x$的次数为1；
常数项1的次数为0。
最高次项的次数必须为4，因此可得$m+2=4$，解得$m=2$。
再根据多项式是三项式的要求计算n：
若$(n+3) ≠ 0$，则多项式共有4个非零单项式，不符合三项式的要求，因此必须令第二项的系数为0，即$n+3=0$，解得$n=-3$。
验证：当$m=2$，$n=-3$时，多项式为$3x^2 y^2 + 2x +1$，确实是四次三项式，符合题意。
【答案】
$n=-3$，$m=2$
【知识点】
多项式的次数；多项式的项数；单项式的次数
【点评】
本题重点考查整式相关的基础概念，解题核心是准确理解“四次”“三项”的含义，注意系数为0的项不会计入多项式的项数，求出值后可以代入验证避免出错。
【难度系数】
0.8
6.火车站、机场、邮局等场所都有为旅客提供打包服务的项目.现有一个长、宽、高分别为$a$ cm,$b$ cm,$30$ cm的箱子(其中$a＞b$),准备采用图①、图②所示的两种打包方式,所用打包带的总长(不计接头处的长)分别记为$l_1$,$l_2$.
(1)求图①中打包带的总长$l_1$,图②中打包带的总长$l_2$分别是多少.(用含$a$,$b$的式子表示)
(2)当$a=60$,$b=40$时,计算两种打包方式各用多长的打包带,并判断哪一种打包方式所用打包带更节省.
(1)求图①中打包带的总长$l_1$,图②中打包带的总长$l_2$分别是多少.(用含$a$,$b$的式子表示)
(2)当$a=60$,$b=40$时,计算两种打包方式各用多长的打包带,并判断哪一种打包方式所用打包带更节省.
答案
解：
(1) 由打包带的组成可得：
图①中打包带的总长：
$ l_1 = 2a + 4b + 30×6 = 2a + 4b + 180 \, (\mathrm{cm}) $
图②中打包带的总长：
$ l_2 = 4a + 2b + 30×6 = 4a + 2b + 180 \, (\mathrm{cm}) $
(2) 当 $ a=60, b=40 $ 时：
$ l_1 = 2×60 + 4×40 + 180 = 460 \, (\mathrm{cm}) $
$ l_2 = 4×60 + 2×40 + 180 = 500 \, (\mathrm{cm}) $
因为 $ 460 ＜ 500 $，所以图①的打包方式所用打包带更节省。
答：当a=60，b=40时，图①打包方式所用打包带长460cm，图②打包方式所用打包带长500cm，图①的打包方式更节省打包带。
(1) 由打包带的组成可得：
图①中打包带的总长：
$ l_1 = 2a + 4b + 30×6 = 2a + 4b + 180 \, (\mathrm{cm}) $
图②中打包带的总长：
$ l_2 = 4a + 2b + 30×6 = 4a + 2b + 180 \, (\mathrm{cm}) $
(2) 当 $ a=60, b=40 $ 时：
$ l_1 = 2×60 + 4×40 + 180 = 460 \, (\mathrm{cm}) $
$ l_2 = 4×60 + 2×40 + 180 = 500 \, (\mathrm{cm}) $
因为 $ 460 ＜ 500 $，所以图①的打包方式所用打包带更节省。
答：当a=60，b=40时，图①打包方式所用打包带长460cm，图②打包方式所用打包带长500cm，图①的打包方式更节省打包带。
解析
【分析】
解决第(1)问时，我们先观察打包带的走向，按长（长度为a）、宽（长度为b）、高（长度为30cm）三个方向，分别统计每个方向打包带的段数，再将三个方向的总长度相加，就能得到打包带的总长表达式。解决第(2)问时，只需将a、b的取值分别代入第(1)问得到的两个表达式中，计算出两种打包方式的具体长度，再比较两个长度的大小，长度更小的打包方式更节省。
【解析】
(1) 统计图①各方向打包带段数：长a方向有2段，宽b方向有4段，高30cm方向有6段，因此总长：
$l_1 = 2a + 4b + 30×6 = 2a + 4b + 180 \, (\mathrm{cm})$
统计图②各方向打包带段数：长a方向有4段，宽b方向有2段，高30cm方向有6段，因此总长：
$l_2 = 4a + 2b + 30×6 = 4a + 2b + 180 \, (\mathrm{cm})$
(2) 当$a=60$，$b=40$时，分别代入表达式计算：
$l_1 = 2×60 + 4×40 + 180 = 120 + 160 + 180 = 460 \, (\mathrm{cm})$
$l_2 = 4×60 + 2×40 + 180 = 240 + 80 + 180 = 500 \, (\mathrm{cm})$
因为$460 ＜ 500$，所以图①的打包方式所用打包带更节省。
【答案】
(1) $l_1=(2a+4b+180)\mathrm{cm}$，$l_2=(4a+2b+180)\mathrm{cm}$；
(2) 当$a=60$，$b=40$时，图①打包带长460cm，图②打包带长500cm，图①的打包方式更节省。
【知识点】
列代数式；代数式求值；有理数大小比较
【点评】
本题结合生活中的打包场景命题，考查学生观察图形、提取数量关系的能力，解题的核心是准确数出不同方向打包带的段数，计算时需细心避免运算错误。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问时，我们先观察打包带的走向，按长（长度为a）、宽（长度为b）、高（长度为30cm）三个方向，分别统计每个方向打包带的段数，再将三个方向的总长度相加，就能得到打包带的总长表达式。解决第(2)问时，只需将a、b的取值分别代入第(1)问得到的两个表达式中，计算出两种打包方式的具体长度，再比较两个长度的大小，长度更小的打包方式更节省。
【解析】
(1) 统计图①各方向打包带段数：长a方向有2段，宽b方向有4段，高30cm方向有6段，因此总长：
$l_1 = 2a + 4b + 30×6 = 2a + 4b + 180 \, (\mathrm{cm})$
统计图②各方向打包带段数：长a方向有4段，宽b方向有2段，高30cm方向有6段，因此总长：
$l_2 = 4a + 2b + 30×6 = 4a + 2b + 180 \, (\mathrm{cm})$
(2) 当$a=60$，$b=40$时，分别代入表达式计算：
$l_1 = 2×60 + 4×40 + 180 = 120 + 160 + 180 = 460 \, (\mathrm{cm})$
$l_2 = 4×60 + 2×40 + 180 = 240 + 80 + 180 = 500 \, (\mathrm{cm})$
因为$460 ＜ 500$，所以图①的打包方式所用打包带更节省。
【答案】
(1) $l_1=(2a+4b+180)\mathrm{cm}$，$l_2=(4a+2b+180)\mathrm{cm}$；
(2) 当$a=60$，$b=40$时，图①打包带长460cm，图②打包带长500cm，图①的打包方式更节省。
【知识点】
列代数式；代数式求值；有理数大小比较
【点评】
本题结合生活中的打包场景命题，考查学生观察图形、提取数量关系的能力，解题的核心是准确数出不同方向打包带的段数，计算时需细心避免运算错误。
【难度系数】
0.8
7. 提升题▶观察以下一系列等式：
①$2^1 - 2^0 = 2 - 1 = 2^0$；
②$2^2 - 2^1 = 4 - 2 = 2^1$；
③$2^3 - 2^2 = 8 - 4 = 2^2$；
④______；
……
(1)请按这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式：______.
(2)若字母$n$代表第$n$个等式，请用字母$n$表示上面所发现的规律：______.
(3)请利用上述规律计算：$2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{2026}$.
①$2^1 - 2^0 = 2 - 1 = 2^0$；
②$2^2 - 2^1 = 4 - 2 = 2^1$；
③$2^3 - 2^2 = 8 - 4 = 2^2$；
④______；
……
(1)请按这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式：______.
(2)若字母$n$代表第$n$个等式，请用字母$n$表示上面所发现的规律：______.
(3)请利用上述规律计算：$2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{2026}$.
答案
解：
(1) $2^4 - 2^3 = 16 - 8 = 2^3$
(2) $2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}$（$n$为正整数）
(3) 由所得规律可知：
$2^0 = 2^1 - 2^0$，$2^1 = 2^2 - 2^1$，$2^2 = 2^3 - 2^2$，……，$2^{2026} = 2^{2027} - 2^{2026}$
将以上等式左右两边分别相加：
$\begin{aligned}2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{2026}&=(2^1 - 2^0) + (2^2 - 2^1) + (2^3 - 2^2) + \dots + (2^{2027} - 2^{2026})\\&=2^{2027} - 2^0\\&=2^{2027} - 1\end{aligned}$
(1) $2^4 - 2^3 = 16 - 8 = 2^3$
(2) $2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}$（$n$为正整数）
(3) 由所得规律可知：
$2^0 = 2^1 - 2^0$，$2^1 = 2^2 - 2^1$，$2^2 = 2^3 - 2^2$，……，$2^{2026} = 2^{2027} - 2^{2026}$
将以上等式左右两边分别相加：
$\begin{aligned}2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{2026}&=(2^1 - 2^0) + (2^2 - 2^1) + (2^3 - 2^2) + \dots + (2^{2027} - 2^{2026})\\&=2^{2027} - 2^0\\&=2^{2027} - 1\end{aligned}$
解析
【分析】
(1) 观察前3个等式可发现规律：第k个等式左边为$2^k - 2^{k-1}$，右边计算结果等于$2^{k-1}$，序号k与被减数的指数相同，据此直接写出第④个等式即可。
(2) 将序号替换为n，结合指数和序号的对应关系，即可写出用n表示的通用规律，注意标注n为正整数。
(3) 利用总结出的规律，把每个$2^m$拆成$2^{m+1}-2^m$的形式，再将所有拆分后的等式左右两边分别相加，中间的项会两两抵消，仅剩首尾两项，化简计算即可得到求和结果。
【解析】
(1) 根据前序等式的规律，第④个等式为：
$2^4 - 2^3 = 16 - 8 = 2^3$
(2) 第n个等式中，被减数指数为n，减数指数为n-1，结果等于$2^{n-1}$，即：
$2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}$（n为正整数）
(3) 由所得规律可知：
$2^0 = 2^1 - 2^0$，$2^1 = 2^2 - 2^1$，$2^2 = 2^3 - 2^2$，……，$2^{2026} = 2^{2027} - 2^{2026}$
将以上等式左右两边分别相加：
$\begin{aligned}2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{2026}&=(2^1 - 2^0) + (2^2 - 2^1) + (2^3 - 2^2) + \dots + (2^{2027} - 2^{2026})\\&=2^{2027} - 2^0\\&=2^{2027} - 1\end{aligned}$
【答案】
(1) $2^4 - 2^3 = 16 - 8 = 2^3$
(2) $2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}$（$n$为正整数）
(3) $2^{2027} - 1$
【知识点】
乘方运算，数字规律探究，裂项相消求和
【点评】
本题围绕乘方运算考查规律探究与简便计算，需要先从已知等式归纳出通用运算规律，再运用规律拆分求和项，核心是掌握裂项后抵消中间项的技巧，对逻辑归纳能力和运算能力都有较好的锻炼作用。
【难度系数】
0.6
(1) 观察前3个等式可发现规律：第k个等式左边为$2^k - 2^{k-1}$，右边计算结果等于$2^{k-1}$，序号k与被减数的指数相同，据此直接写出第④个等式即可。
(2) 将序号替换为n，结合指数和序号的对应关系，即可写出用n表示的通用规律，注意标注n为正整数。
(3) 利用总结出的规律，把每个$2^m$拆成$2^{m+1}-2^m$的形式，再将所有拆分后的等式左右两边分别相加，中间的项会两两抵消，仅剩首尾两项，化简计算即可得到求和结果。
【解析】
(1) 根据前序等式的规律，第④个等式为：
$2^4 - 2^3 = 16 - 8 = 2^3$
(2) 第n个等式中，被减数指数为n，减数指数为n-1，结果等于$2^{n-1}$，即：
$2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}$（n为正整数）
(3) 由所得规律可知：
$2^0 = 2^1 - 2^0$，$2^1 = 2^2 - 2^1$，$2^2 = 2^3 - 2^2$，……，$2^{2026} = 2^{2027} - 2^{2026}$
将以上等式左右两边分别相加：
$\begin{aligned}2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{2026}&=(2^1 - 2^0) + (2^2 - 2^1) + (2^3 - 2^2) + \dots + (2^{2027} - 2^{2026})\\&=2^{2027} - 2^0\\&=2^{2027} - 1\end{aligned}$
【答案】
(1) $2^4 - 2^3 = 16 - 8 = 2^3$
(2) $2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}$（$n$为正整数）
(3) $2^{2027} - 1$
【知识点】
乘方运算，数字规律探究，裂项相消求和
【点评】
本题围绕乘方运算考查规律探究与简便计算，需要先从已知等式归纳出通用运算规律，再运用规律拆分求和项，核心是掌握裂项后抵消中间项的技巧，对逻辑归纳能力和运算能力都有较好的锻炼作用。
【难度系数】
0.6
