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1.在同一平面直角坐标系中，作二次函数$y=x^2$，$y=-\frac{1}{2}x^2$，$y=\frac{1}{3}x^2$的图象，它们的共同特点是（）
A.图象的开口方向都向上
B.都是关于$x$轴对称的抛物线，且$y$随$x$的增大而增大
C.都是关于$y$轴对称的抛物线，且$y$随$x$的增大而减小
D.都是关于$y$轴对称的抛物线，有公共的顶点
A.图象的开口方向都向上
B.都是关于$x$轴对称的抛物线，且$y$随$x$的增大而增大
C.都是关于$y$轴对称的抛物线，且$y$随$x$的增大而减小
D.都是关于$y$轴对称的抛物线，有公共的顶点
答案
D
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的图象性质，解题思路如下：第一步，先明确$y=ax^2$类二次函数的共同特征：图象都是抛物线，对称轴为y轴，顶点坐标均为原点$(0,0)$；第二步，明确这类函数的不同特征：开口方向由a的符号决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下，增减性需要结合开口方向和x的取值范围判断，不存在x取全体实数时y随x一直增大或减小的情况；第三步，逐一对照四个选项，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
首先梳理三个二次函数的性质：
1. 共性：三个函数均为$y=ax^2$形式的二次函数，图象都是抛物线，对称轴都是y轴，顶点坐标都是$(0,0)$，即有公共顶点。
2. 个性：$y=x^2$和$y=\frac{1}{3}x^2$的二次项系数为正，开口向上；$y=-\frac{1}{2}x^2$的二次项系数为负，开口向下。且所有抛物线的增减性都需要分区间讨论：开口向上的抛物线，$x＜0$时y随x增大而减小，$x＞0$时y随x增大而增大；开口向下的抛物线增减性相反，因此不存在y随x的增大一直增大或一直减小的情况。
逐一分析选项：
A选项：$y=-\frac{1}{2}x^2$开口向下，不是所有图象开口都向上，错误；
B选项：抛物线关于y轴对称，不是x轴对称，且y不会随x的增大一直增大，错误；
C选项：y不会随x的增大一直减小，错误；
D选项：三个抛物线都关于y轴对称，顶点都是原点，有公共顶点，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数的对称性
3. 二次函数的顶点
【点评】
本题属于基础题，主要考查形如$y=ax^2$的二次函数的基本性质，只要熟练掌握这类函数的对称轴、顶点、开口方向、增减性的相关规律，就能快速排除错误选项得到答案。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=ax^2$的图象性质，解题思路如下：第一步，先明确$y=ax^2$类二次函数的共同特征：图象都是抛物线，对称轴为y轴，顶点坐标均为原点$(0,0)$；第二步，明确这类函数的不同特征：开口方向由a的符号决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下，增减性需要结合开口方向和x的取值范围判断，不存在x取全体实数时y随x一直增大或减小的情况；第三步，逐一对照四个选项，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
首先梳理三个二次函数的性质：
1. 共性：三个函数均为$y=ax^2$形式的二次函数，图象都是抛物线，对称轴都是y轴，顶点坐标都是$(0,0)$，即有公共顶点。
2. 个性：$y=x^2$和$y=\frac{1}{3}x^2$的二次项系数为正，开口向上；$y=-\frac{1}{2}x^2$的二次项系数为负，开口向下。且所有抛物线的增减性都需要分区间讨论：开口向上的抛物线，$x＜0$时y随x增大而减小，$x＞0$时y随x增大而增大；开口向下的抛物线增减性相反，因此不存在y随x的增大一直增大或一直减小的情况。
逐一分析选项：
A选项：$y=-\frac{1}{2}x^2$开口向下，不是所有图象开口都向上，错误；
B选项：抛物线关于y轴对称，不是x轴对称，且y不会随x的增大一直增大，错误；
C选项：y不会随x的增大一直减小，错误；
D选项：三个抛物线都关于y轴对称，顶点都是原点，有公共顶点，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数的对称性
3. 二次函数的顶点
【点评】
本题属于基础题，主要考查形如$y=ax^2$的二次函数的基本性质，只要熟练掌握这类函数的对称轴、顶点、开口方向、增减性的相关规律，就能快速排除错误选项得到答案。
【难度系数】
0.8
2.抛物线$y=-2x^2 -1$的对称轴是（）
A.直线$x=\frac{1}{2}$
B.直线$x=-\frac{1}{2}$
C.y轴
D.直线$x=2$
A.直线$x=\frac{1}{2}$
B.直线$x=-\frac{1}{2}$
C.y轴
D.直线$x=2$
答案
C
解析
【分析】
要确定抛物线的对称轴，我们可以利用二次函数对称轴的通用计算公式，或者结合特殊形式二次函数的性质直接判断。首先明确给定抛物线的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再代入对称轴公式计算即可；也可以观察到该抛物线没有一次项，属于$y=ax^2+k$的特殊形式，这类抛物线的顶点在y轴上，对称轴就是y轴。
【解析】
方法一：公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴公式为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
在抛物线$y=-2x^2 -1$中，$a=-2$，$b=0$，$c=-1$，将系数代入公式得：
$x=-\frac{0}{2×(-2)}=0$，即对称轴为直线$x=0$，也就是y轴。
方法二：特殊形式判断
形如$y=ax^2+k$（$a≠0$）的二次函数，顶点坐标为$(0,k)$，顶点在y轴上，因此对称轴为y轴，本题抛物线刚好符合该形式，可直接得出对称轴为y轴。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数的图像性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，只要掌握二次函数对称轴的计算方法，或者熟悉无一次项的二次函数的图像特征，就能快速得出答案，解题时注意不要记错系数对应的位置即可。
【难度系数】
0.9
要确定抛物线的对称轴，我们可以利用二次函数对称轴的通用计算公式，或者结合特殊形式二次函数的性质直接判断。首先明确给定抛物线的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再代入对称轴公式计算即可；也可以观察到该抛物线没有一次项，属于$y=ax^2+k$的特殊形式，这类抛物线的顶点在y轴上，对称轴就是y轴。
【解析】
方法一：公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴公式为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
在抛物线$y=-2x^2 -1$中，$a=-2$，$b=0$，$c=-1$，将系数代入公式得：
$x=-\frac{0}{2×(-2)}=0$，即对称轴为直线$x=0$，也就是y轴。
方法二：特殊形式判断
形如$y=ax^2+k$（$a≠0$）的二次函数，顶点坐标为$(0,k)$，顶点在y轴上，因此对称轴为y轴，本题抛物线刚好符合该形式，可直接得出对称轴为y轴。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数的图像性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，只要掌握二次函数对称轴的计算方法，或者熟悉无一次项的二次函数的图像特征，就能快速得出答案，解题时注意不要记错系数对应的位置即可。
【难度系数】
0.9
3.如果抛物线$y=(m-1)x^2$的开口向上，那么$m$的取值范围是。
答案
$\boldsymbol{m＞1}$
解析
【分析】
解题时首先要明确形如$y=ax^2$的函数是二次函数，其抛物线的开口方向由二次项系数$a$的符号决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。本题已知抛物线开口向上，因此只需令二次项系数$m-1$大于0，解该一元一次不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，其抛物线开口方向的判定规则为：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上；
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下。
本题中抛物线$y=(m-1)x^2$开口向上，因此二次项系数满足：
$m-1＞0$
解不等式得：$m＞1$
【答案】
$\boldsymbol{m＞1}$
【知识点】
二次函数图象性质，一元一次不等式求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次项系数与抛物线开口方向的对应关系，只要熟练掌握二次函数的基础性质就能快速解题，是二次函数章节的常见考点。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确形如$y=ax^2$的函数是二次函数，其抛物线的开口方向由二次项系数$a$的符号决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。本题已知抛物线开口向上，因此只需令二次项系数$m-1$大于0，解该一元一次不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，其抛物线开口方向的判定规则为：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上；
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下。
本题中抛物线$y=(m-1)x^2$开口向上，因此二次项系数满足：
$m-1＞0$
解不等式得：$m＞1$
【答案】
$\boldsymbol{m＞1}$
【知识点】
二次函数图象性质，一元一次不等式求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次项系数与抛物线开口方向的对应关系，只要熟练掌握二次函数的基础性质就能快速解题，是二次函数章节的常见考点。
【难度系数】
0.9
4.已知二次函数 $y=ax^2$ 的图象上有三点 $A(-4,y_1),B(1,y_2),C(3,y_3)$，且 $y_2＜y_3＜y_1$，则 $a$ 的取值范围是。
答案
解：
将三点坐标分别代入二次函数解析式$y=ax^2$，可得：
$y_1=a·(-4)^2=16a$，
$y_2=a·1^2=a$，
$y_3=a·3^2=9a$。
由条件$y_2＜y_3＜y_1$，代入得不等式组：
$\begin{cases}a ＜ 9a \\9a ＜ 16a\end{cases}$
解第一个不等式得$a＞0$，
解第二个不等式得$a＞0$。
因此$a$的取值范围是$\boldsymbol{a＞0}$。
将三点坐标分别代入二次函数解析式$y=ax^2$，可得：
$y_1=a·(-4)^2=16a$，
$y_2=a·1^2=a$，
$y_3=a·3^2=9a$。
由条件$y_2＜y_3＜y_1$，代入得不等式组：
$\begin{cases}a ＜ 9a \\9a ＜ 16a\end{cases}$
解第一个不等式得$a＞0$，
解第二个不等式得$a＞0$。
因此$a$的取值范围是$\boldsymbol{a＞0}$。
解析
【分析】
解题时我们可以先利用二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，把三个点的横坐标分别代入$y=ax^2$，用含a的代数式表示出$y_1$、$y_2$、$y_3$，再结合题目给出的$y_2＜y_3＜y_1$的大小关系列出关于a的不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围。也可以结合二次函数性质分析：$y=ax^2$的对称轴为y轴，若开口向上（a＞0），则点离对称轴越远函数值越大，本题三点横坐标绝对值为4、1、3，对应函数值大小刚好符合$y_1＞y_3＞y_2$，也能推出a的取值范围。
【解析】
将三点坐标分别代入二次函数解析式$y=ax^2$，可得：
$y_1=a·(-4)^2=16a$，
$y_2=a·1^2=a$，
$y_3=a·3^2=9a$。
由条件$y_2＜y_3＜y_1$，代入得不等式组：
$\begin{cases}a ＜ 9a \\9a ＜ 16a\end{cases}$
解第一个不等式：移项得$a-9a＜0$，即$-8a＜0$，两边同时除以-8，不等号方向改变，得$a＞0$；
解第二个不等式：移项得$9a-16a＜0$，即$-7a＜0$，两边同时除以-7，不等号方向改变，得$a＞0$。
因此$a$的取值范围是$a＞0$。
【答案】
$a＞0$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；一元一次不等式的解法；二次函数的性质
【点评】
本题属于二次函数基础题型，两种解题方法都围绕二次函数的核心性质展开，解题时注意解不等式时，两边同时除以负数，不等号方向要改变。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以先利用二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，把三个点的横坐标分别代入$y=ax^2$，用含a的代数式表示出$y_1$、$y_2$、$y_3$，再结合题目给出的$y_2＜y_3＜y_1$的大小关系列出关于a的不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围。也可以结合二次函数性质分析：$y=ax^2$的对称轴为y轴，若开口向上（a＞0），则点离对称轴越远函数值越大，本题三点横坐标绝对值为4、1、3，对应函数值大小刚好符合$y_1＞y_3＞y_2$，也能推出a的取值范围。
【解析】
将三点坐标分别代入二次函数解析式$y=ax^2$，可得：
$y_1=a·(-4)^2=16a$，
$y_2=a·1^2=a$，
$y_3=a·3^2=9a$。
由条件$y_2＜y_3＜y_1$，代入得不等式组：
$\begin{cases}a ＜ 9a \\9a ＜ 16a\end{cases}$
解第一个不等式：移项得$a-9a＜0$，即$-8a＜0$，两边同时除以-8，不等号方向改变，得$a＞0$；
解第二个不等式：移项得$9a-16a＜0$，即$-7a＜0$，两边同时除以-7，不等号方向改变，得$a＞0$。
因此$a$的取值范围是$a＞0$。
【答案】
$a＞0$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；一元一次不等式的解法；二次函数的性质
【点评】
本题属于二次函数基础题型，两种解题方法都围绕二次函数的核心性质展开，解题时注意解不等式时，两边同时除以负数，不等号方向要改变。
【难度系数】
0.8
5.某车的刹车距离$y$(单位:m)与开始刹车时的速度$x$(单位:m/s)之间的关系式是$y=\frac{1}{16}x^2(x＞0)$。若该车某次的刹车距离为4 m，则开始刹车时的速度为 m/s。
答案
解：
将$y=4$代入关系式$y=\frac{1}{16}x^2$，得
$4=\frac{1}{16}x^2$
整理得：$x^2=64$
已知$x＞0$，解得$x=8$。
答：开始刹车时的速度为$\boldsymbol{8}$ m/s。
将$y=4$代入关系式$y=\frac{1}{16}x^2$，得
$4=\frac{1}{16}x^2$
整理得：$x^2=64$
已知$x＞0$，解得$x=8$。
答：开始刹车时的速度为$\boldsymbol{8}$ m/s。
解析
【分析】
本题给出了刹车距离y与开始刹车时速度x的二次函数关系式，已知刹车距离为4m，要求对应的速度。解题思路为：将已知的y值代入函数关系式，得到关于x的一元二次方程，再结合题目中x＞0的限制条件，求解方程的正根即可。
【解析】
将$y=4$代入关系式$y=\frac{1}{16}x^2$，得：
$4=\frac{1}{16}x^2$
方程两边同时乘16，整理得：$x^2=64$
已知$x＞0$，对等式开平方舍去负根，解得$x=8$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数的实际应用，一元二次方程的求解
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的基础应用题，侧重考查代入求值与解方程的能力，解题时需注意结合实际意义筛选方程的根，避免得出不符合实际的结果。
【难度系数】
0.9
本题给出了刹车距离y与开始刹车时速度x的二次函数关系式，已知刹车距离为4m，要求对应的速度。解题思路为：将已知的y值代入函数关系式，得到关于x的一元二次方程，再结合题目中x＞0的限制条件，求解方程的正根即可。
【解析】
将$y=4$代入关系式$y=\frac{1}{16}x^2$，得：
$4=\frac{1}{16}x^2$
方程两边同时乘16，整理得：$x^2=64$
已知$x＞0$，对等式开平方舍去负根，解得$x=8$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数的实际应用，一元二次方程的求解
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的基础应用题，侧重考查代入求值与解方程的能力，解题时需注意结合实际意义筛选方程的根，避免得出不符合实际的结果。
【难度系数】
0.9
6.提升题 已知$y=(k+2)x^{k^2 +k -4}$是二次函数，且当$x＜0$时，y随x的增大而增大。
(1)k的值为；对称轴为。
(2)若点A(1,-1)在该二次函数的图象上，则A在该图象上的对称点的坐标为。
(3)请在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出当$-2≤x＜4$时，y的取值范围为。
(1)k的值为；对称轴为。
(2)若点A(1,-1)在该二次函数的图象上，则A在该图象上的对称点的坐标为。
(3)请在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出当$-2≤x＜4$时，y的取值范围为。
答案
(1) $\boldsymbol{-3}$；$\boldsymbol{直线x=0（或y轴）}$
(2) $\boldsymbol{(-1,-1)}$
(3) $\boldsymbol{-16 ＜ y ≤ 0}$
(2) $\boldsymbol{(-1,-1)}$
(3) $\boldsymbol{-16 ＜ y ≤ 0}$
解析
【分析】
解题时先从二次函数的定义入手，先确定x的次数为2且二次项系数不为0，求出k的可能值；再结合函数的增减性判断开口方向，筛选出符合条件的k值，得到函数解析式，进而确定对称轴。第二问利用抛物线对称轴的对称性求对称点坐标。第三问先画出函数图像，结合区间范围，根据二次函数的增减性确定对应的y的取值范围，注意端点是否可取。
【解析】
(1) 已知函数是二次函数，根据二次函数定义可得：
$\begin{cases}k^2 +k -4 =2 \\k+2≠ 0 \end{cases}$
解方程$k^2 +k -4=2$，整理得$k^2 +k -6=0$，因式分解得$(k+3)(k-2)=0$，解得$k=-3$或$k=2$。
又因为当$x＜0$时，y随x的增大而增大，说明抛物线开口向下，即二次项系数$k+2＜0$，解得$k＜-2$，因此$k=-3$。
此时函数解析式为$y=-x^2$，属于顶点在原点的抛物线，对称轴为直线$x=0$（即y轴）。
(2) 该抛物线对称轴为y轴，关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数，因此点$A(1,-1)$的对称点坐标为$(-1,-1)$。
(3) 画出$y=-x^2$的图象：开口向下，顶点在原点，对称轴为y轴。
当$-2≤x＜4$时：
x=0时，y取得最大值，$y_{max}=-0^2=0$；
抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，x=4时，$y=-4^2=-16$，但x取不到4，因此$y＞-16$；
x=-2时$y=-(-2)^2=-4$，大于-16，因此y的取值范围是$-16 ＜ y ≤0$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；$\boldsymbol{直线x=0（或y轴）}$
(2) $\boldsymbol{(-1,-1)}$
(3) $\boldsymbol{-16 ＜ y ≤ 0}$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题综合考查二次函数的相关知识，解题时要注意二次项系数不为0的隐含条件，求取值范围时要结合区间端点是否可取，避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时先从二次函数的定义入手，先确定x的次数为2且二次项系数不为0，求出k的可能值；再结合函数的增减性判断开口方向，筛选出符合条件的k值，得到函数解析式，进而确定对称轴。第二问利用抛物线对称轴的对称性求对称点坐标。第三问先画出函数图像，结合区间范围，根据二次函数的增减性确定对应的y的取值范围，注意端点是否可取。
【解析】
(1) 已知函数是二次函数，根据二次函数定义可得：
$\begin{cases}k^2 +k -4 =2 \\k+2≠ 0 \end{cases}$
解方程$k^2 +k -4=2$，整理得$k^2 +k -6=0$，因式分解得$(k+3)(k-2)=0$，解得$k=-3$或$k=2$。
又因为当$x＜0$时，y随x的增大而增大，说明抛物线开口向下，即二次项系数$k+2＜0$，解得$k＜-2$，因此$k=-3$。
此时函数解析式为$y=-x^2$，属于顶点在原点的抛物线，对称轴为直线$x=0$（即y轴）。
(2) 该抛物线对称轴为y轴，关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数，因此点$A(1,-1)$的对称点坐标为$(-1,-1)$。
(3) 画出$y=-x^2$的图象：开口向下，顶点在原点，对称轴为y轴。
当$-2≤x＜4$时：
x=0时，y取得最大值，$y_{max}=-0^2=0$；
抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，x=4时，$y=-4^2=-16$，但x取不到4，因此$y＞-16$；
x=-2时$y=-(-2)^2=-4$，大于-16，因此y的取值范围是$-16 ＜ y ≤0$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；$\boldsymbol{直线x=0（或y轴）}$
(2) $\boldsymbol{(-1,-1)}$
(3) $\boldsymbol{-16 ＜ y ≤ 0}$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题综合考查二次函数的相关知识，解题时要注意二次项系数不为0的隐含条件，求取值范围时要结合区间端点是否可取，避免出错。
【难度系数】
0.7
7.在同一平面直角坐标系中画出二次函数$y=3x^2$和$y=\frac{1}{4}x^2$的图象，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标。
答案
解：
先列表取对应点：
| $x$ | $\dots$ | $-1$ | $-0.5$ | $0$ | $0.5$ | $1$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|--------|-----|-------|-----|---------|
| $y=3x^2$ | $\dots$ | $3$ | $0.75$ | $0$ | $0.75$ | $3$ | $\dots$ |
| $x$ | $\dots$ | $-4$ | $-2$ | $0$ | $2$ | $4$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|-----|-----|-----|---------|
| $y=\frac{1}{4}x^2$ | $\dots$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | $\dots$ |
在给定平面直角坐标系中描出上述点，分别用平滑曲线顺次连接各点，即可得到两个二次函数的图象。
两个函数的性质：
1. 对于$y=3x^2$：
开口方向：向上；
对称轴：y轴（直线$x=0$）；
顶点坐标：$(0,0)$。
2. 对于$y=\frac{1}{4}x^2$：
开口方向：向上；
对称轴：y轴（直线$x=0$）；
顶点坐标：$(0,0)$。
先列表取对应点：
| $x$ | $\dots$ | $-1$ | $-0.5$ | $0$ | $0.5$ | $1$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|--------|-----|-------|-----|---------|
| $y=3x^2$ | $\dots$ | $3$ | $0.75$ | $0$ | $0.75$ | $3$ | $\dots$ |
| $x$ | $\dots$ | $-4$ | $-2$ | $0$ | $2$ | $4$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|-----|-----|-----|---------|
| $y=\frac{1}{4}x^2$ | $\dots$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | $\dots$ |
在给定平面直角坐标系中描出上述点，分别用平滑曲线顺次连接各点，即可得到两个二次函数的图象。
两个函数的性质：
1. 对于$y=3x^2$：
开口方向：向上；
对称轴：y轴（直线$x=0$）；
顶点坐标：$(0,0)$。
2. 对于$y=\frac{1}{4}x^2$：
开口方向：向上；
对称轴：y轴（直线$x=0$）；
顶点坐标：$(0,0)$。
解析
【分析】
要解决本题需分两步思考：首先是画二次函数图象，遵循“列表、描点、连线”的基本步骤，题中两个函数都是形如$y=ax^2$的最简二次函数，自变量x选取关于0对称的数值，可简化y值的计算；其次是分析函数性质，对于$y=ax^2$类函数，二次项系数a的正负决定开口方向，对称轴和顶点是固定结论，直接套用即可得到结果。
【解析】
1. 列表取对应点：
计算$y=3x^2$的对应值：
| $x$ | $\dots$ | $-1$ | $-0.5$ | $0$ | $0.5$ | $1$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|--------|-----|-------|-----|---------|
| $y=3x^2$ | $\dots$ | $3$ | $0.75$ | $0$ | $0.75$ | $3$ | $\dots$ |
计算$y=\frac{1}{4}x^2$的对应值：
| $x$ | $\dots$ | $-4$ | $-2$ | $0$ | $2$ | $4$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|-----|-----|-----|---------|
| $y=\frac{1}{4}x^2$ | $\dots$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | $\dots$ |
2. 描点连线：在给定平面直角坐标系中分别描出上述两组点，用平滑曲线顺次连接每组对应的点，即可得到两个二次函数的图象。
3. 分析性质：
对于$y=3x^2$：二次项系数$3＞0$，因此开口向上；属于$y=ax^2$形式，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$。
对于$y=\frac{1}{4}x^2$：二次项系数$\frac{1}{4}＞0$，因此开口向上；对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$。
【答案】
图象按上述列表、描点、连线的方法绘制即可；
$y=3x^2$：开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$；
$y=\frac{1}{4}x^2$：开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$。
【知识点】
二次函数图象绘制；$y=ax^2$的性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，主要考查最简二次函数的作图方法和基本性质，熟练掌握函数图象的作图步骤，牢记$y=ax^2$的图象特征即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要解决本题需分两步思考：首先是画二次函数图象，遵循“列表、描点、连线”的基本步骤，题中两个函数都是形如$y=ax^2$的最简二次函数，自变量x选取关于0对称的数值，可简化y值的计算；其次是分析函数性质，对于$y=ax^2$类函数，二次项系数a的正负决定开口方向，对称轴和顶点是固定结论，直接套用即可得到结果。
【解析】
1. 列表取对应点：
计算$y=3x^2$的对应值：
| $x$ | $\dots$ | $-1$ | $-0.5$ | $0$ | $0.5$ | $1$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|--------|-----|-------|-----|---------|
| $y=3x^2$ | $\dots$ | $3$ | $0.75$ | $0$ | $0.75$ | $3$ | $\dots$ |
计算$y=\frac{1}{4}x^2$的对应值：
| $x$ | $\dots$ | $-4$ | $-2$ | $0$ | $2$ | $4$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|-----|-----|-----|---------|
| $y=\frac{1}{4}x^2$ | $\dots$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | $\dots$ |
2. 描点连线：在给定平面直角坐标系中分别描出上述两组点，用平滑曲线顺次连接每组对应的点，即可得到两个二次函数的图象。
3. 分析性质：
对于$y=3x^2$：二次项系数$3＞0$，因此开口向上；属于$y=ax^2$形式，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$。
对于$y=\frac{1}{4}x^2$：二次项系数$\frac{1}{4}＞0$，因此开口向上；对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$。
【答案】
图象按上述列表、描点、连线的方法绘制即可；
$y=3x^2$：开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$；
$y=\frac{1}{4}x^2$：开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$。
【知识点】
二次函数图象绘制；$y=ax^2$的性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，主要考查最简二次函数的作图方法和基本性质，熟练掌握函数图象的作图步骤，牢记$y=ax^2$的图象特征即可快速解答。
【难度系数】
0.9
