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1.若两个相似三角形对应边上的高之比为$1:\sqrt{3}$，则这两个三角形的面积比为()
A.$2:3$
B.$1:3$
C.$1:9$
D.$1:\sqrt{3}$
A.$2:3$
B.$1:3$
C.$1:9$
D.$1:\sqrt{3}$
答案
B
解析
【分析】
拿到这道题首先回忆相似三角形的相关性质：第一，相似三角形所有对应线段（包括对应高、对应中线、对应角平分线等）的比都等于相似比；第二，相似三角形的面积比等于相似比的平方。解题时先根据已知的对应高的比确定相似比，再对相似比平方就能得到面积比。
【解析】
根据相似三角形的性质：
1. 相似三角形对应边上的高的比等于相似比，已知对应高之比为$1:\sqrt{3}$，因此这两个相似三角形的相似比为$1:\sqrt{3}$；
2. 相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此面积比为$1^2:(\sqrt{3})^2=1:3$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质；相似比与面积比的关系
【点评】
本题属于基础题型，重点考查相似三角形基本性质的应用，解题的关键是牢记相似比和对应线段比、面积比的换算关系，计算时注意对$\sqrt{3}$的平方运算要准确，避免失误。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先回忆相似三角形的相关性质：第一，相似三角形所有对应线段（包括对应高、对应中线、对应角平分线等）的比都等于相似比；第二，相似三角形的面积比等于相似比的平方。解题时先根据已知的对应高的比确定相似比，再对相似比平方就能得到面积比。
【解析】
根据相似三角形的性质：
1. 相似三角形对应边上的高的比等于相似比，已知对应高之比为$1:\sqrt{3}$，因此这两个相似三角形的相似比为$1:\sqrt{3}$；
2. 相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此面积比为$1^2:(\sqrt{3})^2=1:3$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质；相似比与面积比的关系
【点评】
本题属于基础题型，重点考查相似三角形基本性质的应用，解题的关键是牢记相似比和对应线段比、面积比的换算关系，计算时注意对$\sqrt{3}$的平方运算要准确，避免失误。
【难度系数】
0.8
2.两个相似三角形的最长边分别为10 cm和6 cm，若它们的周长之和为48 cm，则较小三角形的周长为()
A.14 cm
B.30 cm
C.18 cm
D.34 cm
A.14 cm
B.30 cm
C.18 cm
D.34 cm
答案
C
解析
【分析】
首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，相似比等于对应边的比值。本题中两个相似三角形的最长边是对应边，可先求出两个三角形的相似比，进而得到周长比，再结合周长之和为48cm的条件，通过设未知数列方程即可求出较小三角形的周长。
【解析】
解：
∵两个相似三角形的最长边分别为10 cm和6 cm
∴两个相似三角形的相似比为$10:6=5:3$
根据相似三角形的周长比等于相似比，可得两个三角形的周长比为$5:3$
设较大三角形的周长为$5x\ \mathrm{cm}$，较小三角形的周长为$3x\ \mathrm{cm}$
由题意得：$5x + 3x = 48$
解得：$x=6$
∴较小三角形的周长为$3x=3×6=18\ \mathrm{cm}$
【答案】
C
【知识点】
1.相似三角形的性质
2.比例的应用
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用，解题核心是准确找到对应边确定相似比，再结合周长和的条件计算，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，相似比等于对应边的比值。本题中两个相似三角形的最长边是对应边，可先求出两个三角形的相似比，进而得到周长比，再结合周长之和为48cm的条件，通过设未知数列方程即可求出较小三角形的周长。
【解析】
解：
∵两个相似三角形的最长边分别为10 cm和6 cm
∴两个相似三角形的相似比为$10:6=5:3$
根据相似三角形的周长比等于相似比，可得两个三角形的周长比为$5:3$
设较大三角形的周长为$5x\ \mathrm{cm}$，较小三角形的周长为$3x\ \mathrm{cm}$
由题意得：$5x + 3x = 48$
解得：$x=6$
∴较小三角形的周长为$3x=3×6=18\ \mathrm{cm}$
【答案】
C
【知识点】
1.相似三角形的性质
2.比例的应用
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用，解题核心是准确找到对应边确定相似比，再结合周长和的条件计算，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
3.如图，已知$△ ADE$与$△ ABC$的相似比为$1:2$。若$△ ADE$的面积为1，则四边形BCED的面积为()
A.2
B.3
C.4
D.5
A.2
B.3
C.4
D.5
答案
B
解析
【分析】
解题时先回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。我们可以先根据已知的相似比求出△ADE和△ABC的面积比，再结合△ADE的面积算出△ABC的总面积，最后用△ABC的面积减去△ADE的面积，就能得到四边形BCED的面积。
【解析】
解：
∵△ADE与△ABC的相似比为$1:2$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=(1:2)^2=1:4$
已知$S_{△ ADE}=1$，
∴$S_{△ ABC}=4× S_{△ ADE}=4×1=4$
∴四边形$BCED$的面积为：$S_{△ ABC}-S_{△ ADE}=4-1=3$
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质；面积比与相似比的关系；面积和差计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查相似三角形面积与相似比的关系应用，只要熟记相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。我们可以先根据已知的相似比求出△ADE和△ABC的面积比，再结合△ADE的面积算出△ABC的总面积，最后用△ABC的面积减去△ADE的面积，就能得到四边形BCED的面积。
【解析】
解：
∵△ADE与△ABC的相似比为$1:2$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=(1:2)^2=1:4$
已知$S_{△ ADE}=1$，
∴$S_{△ ABC}=4× S_{△ ADE}=4×1=4$
∴四边形$BCED$的面积为：$S_{△ ABC}-S_{△ ADE}=4-1=3$
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质；面积比与相似比的关系；面积和差计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查相似三角形面积与相似比的关系应用，只要熟记相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，$AD$，$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的角平分线，且$AD:A'D'=5:3$。下列结论中，正确的有()
①$\frac{AB}{A'B'}=\frac{5}{3}$；②$\frac{△ ABC的周长}{△ A'B'C'的周长}=\frac{5}{3}$；
③$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A'B'C'}}=\frac{5}{3}$；④$\frac{BC}{B'C'}=\frac{25}{9}$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①$\frac{AB}{A'B'}=\frac{5}{3}$；②$\frac{△ ABC的周长}{△ A'B'C'的周长}=\frac{5}{3}$；
③$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A'B'C'}}=\frac{5}{3}$；④$\frac{BC}{B'C'}=\frac{25}{9}$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
解决本题的核心是先根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比，确定△ABC与△A'B'C'的相似比为5:3，再结合相似三角形的对应边比、周长比、面积比与相似比的关系，逐一判断4个结论的正误即可。
【解析】
∵△ABC∽△A'B'C'，AD、A'D'分别是两个三角形的对应角平分线，且$AD:A'D'=5:3$
∴△ABC与△A'B'C'的相似比为$5:3$
对四个结论逐一判断：
①相似三角形对应边的比等于相似比，故$\frac{AB}{A'B'}=\frac{5}{3}$，结论正确；
②相似三角形的周长比等于相似比，故$\frac{△ABC的周长}{△A'B'C'的周长}=\frac{5}{3}$，结论正确；
③相似三角形的面积比等于相似比的平方，故$\frac{S_{△ABC}}{S_{△A'B'C'}}=(\frac{5}{3})^2=\frac{25}{9}$，结论错误；
④相似三角形对应边的比等于相似比，故$\frac{BC}{B'C'}=\frac{5}{3}$，结论错误。
综上，正确的结论是①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的相似比；相似三角形周长比性质；相似三角形面积比性质
【点评】
本题属于基础类考题，重点考查相似三角形性质的应用，解题时需注意区分相似比、周长比、面积比三者之间的关系，不要混淆比例规律导致出错。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是先根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比，确定△ABC与△A'B'C'的相似比为5:3，再结合相似三角形的对应边比、周长比、面积比与相似比的关系，逐一判断4个结论的正误即可。
【解析】
∵△ABC∽△A'B'C'，AD、A'D'分别是两个三角形的对应角平分线，且$AD:A'D'=5:3$
∴△ABC与△A'B'C'的相似比为$5:3$
对四个结论逐一判断：
①相似三角形对应边的比等于相似比，故$\frac{AB}{A'B'}=\frac{5}{3}$，结论正确；
②相似三角形的周长比等于相似比，故$\frac{△ABC的周长}{△A'B'C'的周长}=\frac{5}{3}$，结论正确；
③相似三角形的面积比等于相似比的平方，故$\frac{S_{△ABC}}{S_{△A'B'C'}}=(\frac{5}{3})^2=\frac{25}{9}$，结论错误；
④相似三角形对应边的比等于相似比，故$\frac{BC}{B'C'}=\frac{5}{3}$，结论错误。
综上，正确的结论是①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的相似比；相似三角形周长比性质；相似三角形面积比性质
【点评】
本题属于基础类考题，重点考查相似三角形性质的应用，解题时需注意区分相似比、周长比、面积比三者之间的关系，不要混淆比例规律导致出错。
【难度系数】
0.7
5. 提升题 如图，在$□ ABCD$中，$AB=6$，点G在AB的延长线上，连接DG，分别交AC，BC于点E，F，已知$AE:CE=3:2$。
(1)求BG的长。
(2)若$S_{△ BGF}=3$，求四边形ABFD的面积。
(1)求BG的长。
(2)若$S_{△ BGF}=3$，求四边形ABFD的面积。
答案
解：
(1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD=6，
∴ ∠GAE=∠DCE，∠G=∠CDE，
∴ △AEG ∽ △CED，
∴ $\frac{AG}{CD}=\frac{AE}{CE}=\frac{3}{2}$，
∴ $AG=\frac{3}{2}× CD=\frac{3}{2}×6=9$，
∴ $BG=AG-AB=9-6=3$。
(2) ∵ AB//CD，即BG//CD，
∴ ∠G=∠CDF，∠GBF=∠DCF，
∴ △BGF ∽ △CDF，
∴ 相似比为 $\frac{BG}{CD}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{S_{△ BGF}}{S_{△ CDF}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
∵ $S_{△ BGF}=3$，
∴ $S_{△ CDF}=3×4=12$。
∵ AD//BC，即BF//AD，
∴ ∠GBF=∠GAD，∠G=∠G，
∴ △BGF ∽ △AGD，
∴ 相似比为 $\frac{BG}{AG}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，
∴ $\frac{S_{△ BGF}}{S_{△ AGD}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
∴ $S_{△ AGD}=3×9=27$。
∴ 四边形ABFD的面积 $=S_{△ AGD}-S_{△ BGF}=27-3=24$。
答：(1) BG的长为3；(2) 四边形ABFD的面积为24。
(1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD=6，
∴ ∠GAE=∠DCE，∠G=∠CDE，
∴ △AEG ∽ △CED，
∴ $\frac{AG}{CD}=\frac{AE}{CE}=\frac{3}{2}$，
∴ $AG=\frac{3}{2}× CD=\frac{3}{2}×6=9$，
∴ $BG=AG-AB=9-6=3$。
(2) ∵ AB//CD，即BG//CD，
∴ ∠G=∠CDF，∠GBF=∠DCF，
∴ △BGF ∽ △CDF，
∴ 相似比为 $\frac{BG}{CD}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{S_{△ BGF}}{S_{△ CDF}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
∵ $S_{△ BGF}=3$，
∴ $S_{△ CDF}=3×4=12$。
∵ AD//BC，即BF//AD，
∴ ∠GBF=∠GAD，∠G=∠G，
∴ △BGF ∽ △AGD，
∴ 相似比为 $\frac{BG}{AG}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，
∴ $\frac{S_{△ BGF}}{S_{△ AGD}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
∴ $S_{△ AGD}=3×9=27$。
∴ 四边形ABFD的面积 $=S_{△ AGD}-S_{△ BGF}=27-3=24$。
答：(1) BG的长为3；(2) 四边形ABFD的面积为24。
解析
【分析】
(1) 求解BG的长度时，首先借助平行四边形对边平行且相等的性质，得到AB与CD平行且相等，进而证明△AEG和△CED相似，结合已知的AE:CE的比值求出AG的长度，再用AG减去AB的长度即可得到BG的长。
(2) 求解四边形ABFD的面积时，观察图形可知该四边形的面积等于△AGD的面积减去△BGF的面积。利用平行四边形对边平行的性质可证△BGF和△AGD相似，根据(1)得到的BG和AG的长度得到相似比，再结合相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，求出△AGD的面积，最后作差即可得到结果。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD=6，
∴ ∠GAE=∠DCE，∠G=∠CDE，
∴ △AEG ∽ △CED，
∴ $\frac{AG}{CD}=\frac{AE}{CE}=\frac{3}{2}$，
∴ $AG=\frac{3}{2}× CD=\frac{3}{2}×6=9$，
∴ $BG=AG-AB=9-6=3$。
(2)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，即BF//AD，
∴ ∠GBF=∠GAD，∠G=∠G，
∴ △BGF ∽ △AGD，
∴ 相似比为 $\frac{BG}{AG}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，
∴ $\frac{S_{△ BGF}}{S_{△ AGD}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
∵ $S_{△ BGF}=3$，
∴ $S_{△ AGD}=3×9=27$，
∴ 四边形ABFD的面积 $=S_{△ AGD}-S_{△ BGF}=27-3=24$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{24}$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的典型综合题，解题核心是利用平行四边形对边平行的性质构造相似三角形，再结合相似三角形的线段比、面积比的对应关系求解，能够很好地考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求解BG的长度时，首先借助平行四边形对边平行且相等的性质，得到AB与CD平行且相等，进而证明△AEG和△CED相似，结合已知的AE:CE的比值求出AG的长度，再用AG减去AB的长度即可得到BG的长。
(2) 求解四边形ABFD的面积时，观察图形可知该四边形的面积等于△AGD的面积减去△BGF的面积。利用平行四边形对边平行的性质可证△BGF和△AGD相似，根据(1)得到的BG和AG的长度得到相似比，再结合相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，求出△AGD的面积，最后作差即可得到结果。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD=6，
∴ ∠GAE=∠DCE，∠G=∠CDE，
∴ △AEG ∽ △CED，
∴ $\frac{AG}{CD}=\frac{AE}{CE}=\frac{3}{2}$，
∴ $AG=\frac{3}{2}× CD=\frac{3}{2}×6=9$，
∴ $BG=AG-AB=9-6=3$。
(2)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，即BF//AD，
∴ ∠GBF=∠GAD，∠G=∠G，
∴ △BGF ∽ △AGD，
∴ 相似比为 $\frac{BG}{AG}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，
∴ $\frac{S_{△ BGF}}{S_{△ AGD}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
∵ $S_{△ BGF}=3$，
∴ $S_{△ AGD}=3×9=27$，
∴ 四边形ABFD的面积 $=S_{△ AGD}-S_{△ BGF}=27-3=24$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{24}$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的典型综合题，解题核心是利用平行四边形对边平行的性质构造相似三角形，再结合相似三角形的线段比、面积比的对应关系求解，能够很好地考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
