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9. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k-1)x -k -2=0$.
（1）求证：无论$k$取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根$x_1,x_2$，且$x_1+x_2 -4x_1x_2=1$，求$k$的值.
（1）求证：无论$k$取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根$x_1,x_2$，且$x_1+x_2 -4x_1x_2=1$，求$k$的值.
答案
（1）证明:
∵ $Δ=(2k-1)^2-4×1×(-k-2)=4k^2+1-4k+4k+8=4k^2+9＞0$,
∴ 无论k取何值,此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解:由根与系数的关系得:$x_1+x_2=-(2k-1)$,$x_1x_2=-k-2$,由$x_1+x_2-4x_1x_2=1$得:$-(2k-1)-4(-k-2)=1$,解得:$k=-4$.
∵ $Δ=(2k-1)^2-4×1×(-k-2)=4k^2+1-4k+4k+8=4k^2+9＞0$,
∴ 无论k取何值,此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解:由根与系数的关系得:$x_1+x_2=-(2k-1)$,$x_1x_2=-k-2$,由$x_1+x_2-4x_1x_2=1$得:$-(2k-1)-4(-k-2)=1$,解得:$k=-4$.
解析
【分析】
（1）遇到“证明一元二次方程总有两个不相等的实数根”类问题，核心思路是计算根的判别式Δ，只要证明Δ恒大于0即可。我们先对照方程的一般式确定a、b、c的取值，代入Δ的表达式化简，再判断化简后式子的取值范围就能完成证明。
（2）题目给出了两根和与两根积的组合等式，首先想到用根与系数的关系（韦达定理），用含k的代数式分别表示出$x_1+x_2$和$x_1x_2$，再代入已知等式得到关于k的方程，求解即可得到k的值。
【解析】
（1）证明：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，
在方程$x^2+(2k-1)x -k -2=0$中，$a=1$，$b=2k-1$，$c=-k-2$，
则$\Delta=(2k-1)^2-4×1×(-k-2)$
$=4k^2-4k+1+4k+8$
$=4k^2+9$，
∵ 无论k取何值，$4k^2≥0$，
∴ $4k^2+9≥9＞0$，
∴ 无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根。
（2）解：由根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-(2k-1)$，$x_1x_2=-k-2$，
将上述两式代入$x_1+x_2 -4x_1x_2=1$得：
$-(2k-1)-4×(-k-2)=1$，
去括号得：$-2k+1+4k+8=1$，
合并同类项、移项得：$2k=-8$，
解得：$k=-4$。
【答案】
（1）无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根，证明成立；
（2）$k=-4$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于一元二次方程根的性质的基础综合题，重点考察判别式的应用和韦达定理的代入计算，计算量小，只要熟练掌握相关基础公式就能准确解题。
【难度系数】
0.75
（1）遇到“证明一元二次方程总有两个不相等的实数根”类问题，核心思路是计算根的判别式Δ，只要证明Δ恒大于0即可。我们先对照方程的一般式确定a、b、c的取值，代入Δ的表达式化简，再判断化简后式子的取值范围就能完成证明。
（2）题目给出了两根和与两根积的组合等式，首先想到用根与系数的关系（韦达定理），用含k的代数式分别表示出$x_1+x_2$和$x_1x_2$，再代入已知等式得到关于k的方程，求解即可得到k的值。
【解析】
（1）证明：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，
在方程$x^2+(2k-1)x -k -2=0$中，$a=1$，$b=2k-1$，$c=-k-2$，
则$\Delta=(2k-1)^2-4×1×(-k-2)$
$=4k^2-4k+1+4k+8$
$=4k^2+9$，
∵ 无论k取何值，$4k^2≥0$，
∴ $4k^2+9≥9＞0$，
∴ 无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根。
（2）解：由根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-(2k-1)$，$x_1x_2=-k-2$，
将上述两式代入$x_1+x_2 -4x_1x_2=1$得：
$-(2k-1)-4×(-k-2)=1$，
去括号得：$-2k+1+4k+8=1$，
合并同类项、移项得：$2k=-8$，
解得：$k=-4$。
【答案】
（1）无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根，证明成立；
（2）$k=-4$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于一元二次方程根的性质的基础综合题，重点考察判别式的应用和韦达定理的代入计算，计算量小，只要熟练掌握相关基础公式就能准确解题。
【难度系数】
0.75
10. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 2mx + m^2 - n = 0 $ 有两个不相等的实数根.
（1）求 $ n $ 的取值范围；
（2）若 $ n $ 为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的 2 倍，求 $ m $ 的值.
（1）求 $ n $ 的取值范围；
（2）若 $ n $ 为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的 2 倍，求 $ m $ 的值.
答案
（1）
∵ 关于x的方程$x^2-2mx+m^2-n=0$有两个不相等的实数根,
∴ $b^2-4ac=(-2m)^2-4(m^2-n)=4m^2-4m^2+4n＞0$.
∴ $n＞0$；
（2）
∵ n为符合条件的最小整数,$n＞0$,
∴ $n=1$.
∴ 原方程为$x^2-2mx+m^2-1=0$.设该方程的两根是a和2a,且$2a＞a$,
∴ $a+2a=2m$,$a·2a=m^2-1$,解得$a=2$,$m=3$或$a=-2$,$m=-3$(不合题意,舍去).
∴ m的值为3.
∵ 关于x的方程$x^2-2mx+m^2-n=0$有两个不相等的实数根,
∴ $b^2-4ac=(-2m)^2-4(m^2-n)=4m^2-4m^2+4n＞0$.
∴ $n＞0$；
（2）
∵ n为符合条件的最小整数,$n＞0$,
∴ $n=1$.
∴ 原方程为$x^2-2mx+m^2-1=0$.设该方程的两根是a和2a,且$2a＞a$,
∴ $a+2a=2m$,$a·2a=m^2-1$,解得$a=2$,$m=3$或$a=-2$,$m=-3$(不合题意,舍去).
∴ m的值为3.
解析
【分析】
（1）判断一元二次方程根的情况可运用根的判别式：当$\Delta = b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。先确定方程中$a、b、c$的对应取值，代入判别式得到关于$n$的不等式，解不等式即可得到$n$的取值范围。
（2）先结合第一问的$n＞0$，得到符合条件的最小整数$n=1$，代入原方程得到含参数$m$的一元二次方程。已知两根存在2倍关系，设较小根为$a$，较大根为$2a$，再根据根与系数的关系分别写出两根之和、两根之积的表达式，联立求解后，结合“较大根为$2a$”的条件舍去不符合题意的解，即可得到$m$的值。
【解析】
（1）
∵ 关于$x$的方程$x^2 - 2mx + m^2 - n = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，其中$a=1，b=-2m，c=m^2-n$，
代入得：$\Delta = (-2m)^2 - 4×1×(m^2-n) = 4m^2 - 4m^2 + 4n = 4n＞0$，
解得：$n＞0$。
（2）
∵ $n＞0$，且$n$为符合条件的最小整数，
∴ $n=1$，代入原方程得：$x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$，
设方程的较小根为$a$，较大根为$2a$（$2a＞a$），根据根与系数的关系可得：
$\begin{cases}a+2a=2m \\ a·2a=m^2-1 \end{cases}$，即$\begin{cases}3a=2m ①\\ 2a^2=m^2-1 ②\end{cases}$，
将①变形为$a=\frac{2m}{3}$代入②得：$2×(\frac{2m}{3})^2 = m^2-1$，
整理得$\frac{m^2}{9}=1$，解得$m=3$或$m=-3$。
当$m=-3$时，$a=-2$，两根为$-2、-4$，较大根为$-2$，不符合“较大根为$2a$”的设定，舍去；
当$m=3$时，$a=2$，两根为$2、4$，符合题意。
综上，$m$的值为3。
【答案】
（1）$\boldsymbol{n＞0}$；（2）$\boldsymbol{m=3}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的基础综合题，第一问直接考查根的判别式的应用，难度较低；第二问结合整数取值和根的倍数关系，需要运用韦达定理联立方程求解，同时要注意结合题干条件对结果进行取舍，能有效考查学生对基础知识点的运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）判断一元二次方程根的情况可运用根的判别式：当$\Delta = b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。先确定方程中$a、b、c$的对应取值，代入判别式得到关于$n$的不等式，解不等式即可得到$n$的取值范围。
（2）先结合第一问的$n＞0$，得到符合条件的最小整数$n=1$，代入原方程得到含参数$m$的一元二次方程。已知两根存在2倍关系，设较小根为$a$，较大根为$2a$，再根据根与系数的关系分别写出两根之和、两根之积的表达式，联立求解后，结合“较大根为$2a$”的条件舍去不符合题意的解，即可得到$m$的值。
【解析】
（1）
∵ 关于$x$的方程$x^2 - 2mx + m^2 - n = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，其中$a=1，b=-2m，c=m^2-n$，
代入得：$\Delta = (-2m)^2 - 4×1×(m^2-n) = 4m^2 - 4m^2 + 4n = 4n＞0$，
解得：$n＞0$。
（2）
∵ $n＞0$，且$n$为符合条件的最小整数，
∴ $n=1$，代入原方程得：$x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$，
设方程的较小根为$a$，较大根为$2a$（$2a＞a$），根据根与系数的关系可得：
$\begin{cases}a+2a=2m \\ a·2a=m^2-1 \end{cases}$，即$\begin{cases}3a=2m ①\\ 2a^2=m^2-1 ②\end{cases}$，
将①变形为$a=\frac{2m}{3}$代入②得：$2×(\frac{2m}{3})^2 = m^2-1$，
整理得$\frac{m^2}{9}=1$，解得$m=3$或$m=-3$。
当$m=-3$时，$a=-2$，两根为$-2、-4$，较大根为$-2$，不符合“较大根为$2a$”的设定，舍去；
当$m=3$时，$a=2$，两根为$2、4$，符合题意。
综上，$m$的值为3。
【答案】
（1）$\boldsymbol{n＞0}$；（2）$\boldsymbol{m=3}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的基础综合题，第一问直接考查根的判别式的应用，难度较低；第二问结合整数取值和根的倍数关系，需要运用韦达定理联立方程求解，同时要注意结合题干条件对结果进行取舍，能有效考查学生对基础知识点的运用能力。
【难度系数】
0.7
11. 已知关于$x$的方程$x^2 - (k+3)x + 3k = 0$.
（1）求证：无论$k$取任何实数，该方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的三边长分别为$a,b,c$，其中$a=1$，并且$b,c$恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长.
（1）求证：无论$k$取任何实数，该方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的三边长分别为$a,b,c$，其中$a=1$，并且$b,c$恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长.
答案
（1）证明:
∵ $x^2-(k+3)x+3k=0$,
∴ $b^2-4ac=[-(k+3)]^2-12k=k^2+6k+9-12k=k^2-6k+9=(k-3)^2≥0$.
∴ 无论k取任何实数,方程总有实数根；
（2）解:当$b=c$时,$k=3$,方程为$x^2-6x+9=0$,解得$x_1=x_2=3$,此时三边长为1,3,3,周长为$1+3+3=7$;当$a=b=1$或$a=c=1$时,把$x=1$代入方程得$1-(k+3)+3k=0$,解得$k=1$,此时方程为$x^2-4x+3=0$,解得$x_1=3$,$x_2=1$,此时三边长为1,1,3,不能组成三角形.综上所述,三角形ABC的周长为7.
∵ $x^2-(k+3)x+3k=0$,
∴ $b^2-4ac=[-(k+3)]^2-12k=k^2+6k+9-12k=k^2-6k+9=(k-3)^2≥0$.
∴ 无论k取任何实数,方程总有实数根；
（2）解:当$b=c$时,$k=3$,方程为$x^2-6x+9=0$,解得$x_1=x_2=3$,此时三边长为1,3,3,周长为$1+3+3=7$;当$a=b=1$或$a=c=1$时,把$x=1$代入方程得$1-(k+3)+3k=0$,解得$k=1$,此时方程为$x^2-4x+3=0$,解得$x_1=3$,$x_2=1$,此时三边长为1,1,3,不能组成三角形.综上所述,三角形ABC的周长为7.
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程无论k取何值总有实数根，只需计算根的判别式Δ，证明Δ恒大于等于0即可；（2）结合等腰三角形两边相等的性质，分两种情况讨论：①b=c，即方程有两个相等的实数根，此时Δ=0，求出k后代入方程得到b、c的长度，再用三角形三边关系验证是否能构成三角形；②b或c与a=1相等，将x=1代入方程求出k，再解方程得到第三边的长度，同样验证三边关系，最终计算符合条件的三角形周长。
【解析】
（1）证明：在方程$x^2 - (k+3)x + 3k = 0$中，
根的判别式$\Delta = b^2-4ac = [-(k+3)]^2 - 4×1×3k = k^2+6k+9-12k = k^2-6k+9 = (k-3)^2$，
∵ 任何实数的平方都是非负数，即$(k-3)^2≥0$，
∴ 无论k取任何实数，该方程总有实数根。
（2）解：分两种情况讨论：
① 当$b=c$时，方程有两个相等的实数根，此时$\Delta=(k-3)^2=0$，解得$k=3$，
将$k=3$代入原方程得$x^2-6x+9=0$，解得$x_1=x_2=3$，
此时三角形三边长为1，3，3，满足$1+3＞3$，符合三角形三边关系，周长为$1+3+3=7$；
② 当$a=b=1$或$a=c=1$时，可知$x=1$是方程的根，
将$x=1$代入原方程得$1-(k+3)+3k=0$，解得$k=1$，
将$k=1$代入原方程得$x^2-4x+3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，
此时三角形三边长为1，1，3，
∵$1+1＜3$，不满足三角形三边关系，故舍去该情况。
综上，此三角形的周长为7。
【答案】
（1）无论k取任何实数，该方程总有实数根，得证；（2）7
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 等腰三角形的性质 3. 三角形三边关系
【点评】
本题属于方程与几何的综合题型，解题时需运用分类讨论思想，要注意求出边长后必须验证是否满足三角形三边关系，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
（1）要证明一元二次方程无论k取何值总有实数根，只需计算根的判别式Δ，证明Δ恒大于等于0即可；（2）结合等腰三角形两边相等的性质，分两种情况讨论：①b=c，即方程有两个相等的实数根，此时Δ=0，求出k后代入方程得到b、c的长度，再用三角形三边关系验证是否能构成三角形；②b或c与a=1相等，将x=1代入方程求出k，再解方程得到第三边的长度，同样验证三边关系，最终计算符合条件的三角形周长。
【解析】
（1）证明：在方程$x^2 - (k+3)x + 3k = 0$中，
根的判别式$\Delta = b^2-4ac = [-(k+3)]^2 - 4×1×3k = k^2+6k+9-12k = k^2-6k+9 = (k-3)^2$，
∵ 任何实数的平方都是非负数，即$(k-3)^2≥0$，
∴ 无论k取任何实数，该方程总有实数根。
（2）解：分两种情况讨论：
① 当$b=c$时，方程有两个相等的实数根，此时$\Delta=(k-3)^2=0$，解得$k=3$，
将$k=3$代入原方程得$x^2-6x+9=0$，解得$x_1=x_2=3$，
此时三角形三边长为1，3，3，满足$1+3＞3$，符合三角形三边关系，周长为$1+3+3=7$；
② 当$a=b=1$或$a=c=1$时，可知$x=1$是方程的根，
将$x=1$代入原方程得$1-(k+3)+3k=0$，解得$k=1$，
将$k=1$代入原方程得$x^2-4x+3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，
此时三角形三边长为1，1，3，
∵$1+1＜3$，不满足三角形三边关系，故舍去该情况。
综上，此三角形的周长为7。
【答案】
（1）无论k取任何实数，该方程总有实数根，得证；（2）7
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 等腰三角形的性质 3. 三角形三边关系
【点评】
本题属于方程与几何的综合题型，解题时需运用分类讨论思想，要注意求出边长后必须验证是否满足三角形三边关系，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
12. 已知关于$x$的一元二次方程$ax^2-(a+8)x+8=0$.
（1）求证：无论$a$取任何非零实数，该方程总有实数根；
（2）若平行四边形$ABCD$的两边$AB$，$BC$的长是已知方程的两个实数根，当$a$为何值时，平行四边形$ABCD$是菱形？求此菱形的边长.
（1）求证：无论$a$取任何非零实数，该方程总有实数根；
（2）若平行四边形$ABCD$的两边$AB$，$BC$的长是已知方程的两个实数根，当$a$为何值时，平行四边形$ABCD$是菱形？求此菱形的边长.
答案
（1）证明:
∵ 关于x的一元二次方程$ax^2-(a+8)x+8=0$,
∴ $Δ=[-(a+8)]^2-4a·8=a^2+16a+64-32a=a^2-16a+64=(a-8)^2≥0$,
∴ 无论a取任何非零实数,该方程总有实数根；
（2）解:
∵ 平行四边形ABCD是菱形,
∴ $AB=BC$.
∵ AB,BC的长是已知方程的两个实数根,
∴ 方程有两个相等的实数根.
∴ $Δ=(a-8)^2=0$.
∴ $a=8$.
∴ 一元二次方程为$8x^2-16x+8=0$,解得$x_1=x_2=1$,
∴ 菱形边长为1.答:当$a=8$时,平行四边形ABCD是菱形,此时菱形的边长为1.
∵ 关于x的一元二次方程$ax^2-(a+8)x+8=0$,
∴ $Δ=[-(a+8)]^2-4a·8=a^2+16a+64-32a=a^2-16a+64=(a-8)^2≥0$,
∴ 无论a取任何非零实数,该方程总有实数根；
（2）解:
∵ 平行四边形ABCD是菱形,
∴ $AB=BC$.
∵ AB,BC的长是已知方程的两个实数根,
∴ 方程有两个相等的实数根.
∴ $Δ=(a-8)^2=0$.
∴ $a=8$.
∴ 一元二次方程为$8x^2-16x+8=0$,解得$x_1=x_2=1$,
∴ 菱形边长为1.答:当$a=8$时,平行四边形ABCD是菱形,此时菱形的边长为1.
解析
【分析】
（1）要证明非零实数a对应的一元二次方程总有实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，只需证明判别式Δ≥0即可，因此先计算该方程的判别式，化简后判断其符号即可完成证明。
（2）菱形的核心性质是邻边相等，已知平行四边形邻边AB、BC是方程的两个实数根，因此方程需有两个相等的实数根，即Δ=0，先求出a的取值，再代入方程求解得到的根就是菱形的边长。
【解析】
（1）证明：
∵ 关于x的方程是一元二次方程，
∴ a≠0，
判别式$\Delta = [-(a+8)]^2 - 4a·8 = a^2 + 16a + 64 - 32a = a^2 - 16a + 64 = (a-8)^2$，
∵ 任何实数的平方均为非负数，
∴ $(a-8)^2 ≥ 0$，
∴ 无论a取任何非零实数，该方程总有实数根。
（2）解：
∵ 平行四边形ABCD是菱形，
∴ 邻边$AB=BC$，
又
∵ AB、BC的长是已知方程的两个实数根，
∴ 该一元二次方程有两个相等的实数根，即$\Delta=0$，
∴ $(a-8)^2 = 0$，解得$a=8$，
将$a=8$代入原方程得：$8x^2 - 16x + 8 = 0$，
化简得$x^2 - 2x + 1 = 0$，即$(x-1)^2=0$，解得$x_1=x_2=1$，
∴ 菱形的边长为1。
【答案】
（1）证明成立；（2）当$a=8$时，平行四边形ABCD是菱形，此菱形的边长为1。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 菱形的性质
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题将代数中一元二次方程根的判别式与几何中菱形的性质结合考察，解题的关键是能根据菱形的特征转化得到方程根的关系，是数形结合思想的基础应用，有助于提升知识融合运用的能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明非零实数a对应的一元二次方程总有实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，只需证明判别式Δ≥0即可，因此先计算该方程的判别式，化简后判断其符号即可完成证明。
（2）菱形的核心性质是邻边相等，已知平行四边形邻边AB、BC是方程的两个实数根，因此方程需有两个相等的实数根，即Δ=0，先求出a的取值，再代入方程求解得到的根就是菱形的边长。
【解析】
（1）证明：
∵ 关于x的方程是一元二次方程，
∴ a≠0，
判别式$\Delta = [-(a+8)]^2 - 4a·8 = a^2 + 16a + 64 - 32a = a^2 - 16a + 64 = (a-8)^2$，
∵ 任何实数的平方均为非负数，
∴ $(a-8)^2 ≥ 0$，
∴ 无论a取任何非零实数，该方程总有实数根。
（2）解：
∵ 平行四边形ABCD是菱形，
∴ 邻边$AB=BC$，
又
∵ AB、BC的长是已知方程的两个实数根，
∴ 该一元二次方程有两个相等的实数根，即$\Delta=0$，
∴ $(a-8)^2 = 0$，解得$a=8$，
将$a=8$代入原方程得：$8x^2 - 16x + 8 = 0$，
化简得$x^2 - 2x + 1 = 0$，即$(x-1)^2=0$，解得$x_1=x_2=1$，
∴ 菱形的边长为1。
【答案】
（1）证明成立；（2）当$a=8$时，平行四边形ABCD是菱形，此菱形的边长为1。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 菱形的性质
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题将代数中一元二次方程根的判别式与几何中菱形的性质结合考察，解题的关键是能根据菱形的特征转化得到方程根的关系，是数形结合思想的基础应用，有助于提升知识融合运用的能力。
【难度系数】
0.7
