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1.如图,过点$P(4,5)$分别作$PC ⊥ x$轴于点$C$,$PD ⊥ y$轴于点$D$,$PC$,$PD$分别交反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象于点$A$,$B$,则四边形$BOAP$的面积为 (
A.8
B.10
C.12
D.16
C
)A.8
B.10
C.12
D.16
答案
1.C $\because P(4,5),\therefore S_{矩形OCPD}=4×5=20,\because$ 点 A,B 在反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象上,$\therefore S_{△ BDO}+S_{△ AOC}=k=8$,
$\therefore S_{四边形BOAP}=20-8=12$.故选 C.
解析
【分析】
要解决本题，可通过“规则图形面积差”求解不规则四边形的面积：首先利用点P的坐标求出矩形OCPD的面积；再结合反比例函数k的几何意义，求出△BDO和△AOC的面积之和；最后用矩形面积减去两个三角形的面积和，即可得到四边形BOAP的面积。思考逻辑：①矩形的长、宽对应点P的横、纵坐标，直接相乘可得矩形面积；②反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\ne0)$的图像上任意一点向坐标轴作垂线，所得直角三角形面积为$\frac{|k|}{2}$，因此两个三角形面积和为$|k|$；③四边形BOAP的面积=矩形OCPD的面积-两个直角三角形的面积和。
【解析】
解：
∵点$P(4,5)$，$PC⊥ x$轴，$PD⊥ y$轴，
∴四边形OCPD是矩形，$S_{矩形OCPD}=4×5=20$。
∵点A、B在反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象上，根据反比例函数k的几何意义：
$S_{△ BDO}=\frac{1}{2}×8=4$，$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×8=4$，
∴$S_{△ BDO}+S_{△ AOC}=4+4=8$。
∴$S_{四边形BOAP}=S_{矩形OCPD}-(S_{△ BDO}+S_{△ AOC})=20-8=12$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义、矩形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数与几何结合的基础题型，解题核心是将不规则四边形的面积转化为规则图形的面积差，熟练掌握反比例函数k的几何意义是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
要解决本题，可通过“规则图形面积差”求解不规则四边形的面积：首先利用点P的坐标求出矩形OCPD的面积；再结合反比例函数k的几何意义，求出△BDO和△AOC的面积之和；最后用矩形面积减去两个三角形的面积和，即可得到四边形BOAP的面积。思考逻辑：①矩形的长、宽对应点P的横、纵坐标，直接相乘可得矩形面积；②反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\ne0)$的图像上任意一点向坐标轴作垂线，所得直角三角形面积为$\frac{|k|}{2}$，因此两个三角形面积和为$|k|$；③四边形BOAP的面积=矩形OCPD的面积-两个直角三角形的面积和。
【解析】
解：
∵点$P(4,5)$，$PC⊥ x$轴，$PD⊥ y$轴，
∴四边形OCPD是矩形，$S_{矩形OCPD}=4×5=20$。
∵点A、B在反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象上，根据反比例函数k的几何意义：
$S_{△ BDO}=\frac{1}{2}×8=4$，$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×8=4$，
∴$S_{△ BDO}+S_{△ AOC}=4+4=8$。
∴$S_{四边形BOAP}=S_{矩形OCPD}-(S_{△ BDO}+S_{△ AOC})=20-8=12$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义、矩形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数与几何结合的基础题型，解题核心是将不规则四边形的面积转化为规则图形的面积差，熟练掌握反比例函数k的几何意义是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
2.「2026安徽六安金安月考」如图，A,B两点在反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上，分别过A,B两点向坐标轴作垂线段.若$S_1+S_2=6$,则$S_{阴影}=$（
A.1
B.2
C.4
D.6
A
）A.1
B.2
C.4
D.6
答案
2.A 由题意得$S_{阴影}+S_1=4,S_{阴影}+S_2=4$,故$S_{阴影}+S_1+S_{阴影}+S_2=8,\because S_1+S_2=6,\therefore S_{阴影}=1$.故选 A.
解析
【分析】
解答本题首先要回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴、y轴作垂线段，所得矩形的面积等于|k|。本题中反比例函数的k=4，因此过A、B两点得到的两个矩形面积均为4，据此可得到两个包含S₁、S₂和阴影面积的等式，将两式相加后，代入已知的S₁+S₂=6，即可求出阴影部分的面积。
【解析】
根据反比例函数$y=\frac{4}{x}$中k的几何意义可知：
过点A向坐标轴作垂线段形成的矩形面积为$|k|=4$，即$S_{阴影} + S_1 = 4$ ①；
过点B向坐标轴作垂线段形成的矩形面积为$|k|=4$，即$S_{阴影} + S_2 = 4$ ②；
将①+②得：$2S_{阴影} + S_1 + S_2 = 8$，
已知$S_1 + S_2 = 6$，代入上式得：$2S_{阴影} +6=8$，
解得$S_{阴影}=1$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数k的几何意义、面积和差计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题核心是熟练掌握反比例函数k的几何意义，结合图形的面积和差关系即可快速求出结果。
【难度系数】
0.8
解答本题首先要回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴、y轴作垂线段，所得矩形的面积等于|k|。本题中反比例函数的k=4，因此过A、B两点得到的两个矩形面积均为4，据此可得到两个包含S₁、S₂和阴影面积的等式，将两式相加后，代入已知的S₁+S₂=6，即可求出阴影部分的面积。
【解析】
根据反比例函数$y=\frac{4}{x}$中k的几何意义可知：
过点A向坐标轴作垂线段形成的矩形面积为$|k|=4$，即$S_{阴影} + S_1 = 4$ ①；
过点B向坐标轴作垂线段形成的矩形面积为$|k|=4$，即$S_{阴影} + S_2 = 4$ ②；
将①+②得：$2S_{阴影} + S_1 + S_2 = 8$，
已知$S_1 + S_2 = 6$，代入上式得：$2S_{阴影} +6=8$，
解得$S_{阴影}=1$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数k的几何意义、面积和差计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题核心是熟练掌握反比例函数k的几何意义，结合图形的面积和差关系即可快速求出结果。
【难度系数】
0.8
3.「2026 山东淄博张店月考」如图所示的是反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$和$y=\frac{k_2}{x}(k_1＜k_2)$在第一象限的图象，直线$AB// x$轴，并分别交两条双曲线于A，B两点，若$S_{△ AOB}=\frac{5}{2}$，则$k_2 - k_1$的值是（
A.6
B.5
C.4
D.3
B
）A.6
B.5
C.4
D.3
答案
3.B 如图,设直线 AB 与 y 轴交于点 C,由题意可得
$S_{△ AOC}=\frac{k_1}{2},S_{△ BOC}=\frac{k_2}{2},\therefore S_{△ AOB}=S_{△ BOC}-S_{△ AOC}=\frac{k_2}{2}-\frac{k_1}{2}=\frac{1}{2}(k_2-k_1)=\frac{5}{2},\therefore k_2-k_1=5$.故选 B.
解析
【分析】
遇到涉及反比例函数图象与相交直线、三角形面积求k值的问题时，首先联想到反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$。本题中直线$AB// x$轴，我们可设AB与y轴交于点C，可得AB垂直于y轴，此时$△ AOC$、$△ BOC$的面积分别对应两个反比例函数k值的一半，$△ AOB$的面积恰好是两个三角形的面积差，代入已知面积即可求出$k_2-k_1$的值。
【解析】
解：设直线AB与y轴交于点C。
$\because$ 直线$AB// x$轴，$\therefore AB⊥ y$轴。
$\because$ 点A在第一象限的反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$图象上，$k_1＞0$，$\therefore S_{△ AOC}=\frac{1}{2}k_1$。
$\because$ 点B在第一象限的反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$图象上，$k_2＞0$，$\therefore S_{△ BOC}=\frac{1}{2}k_2$。
已知$S_{△ AOB}=\frac{5}{2}$，且$S_{△ AOB}=S_{△ BOC}-S_{△ AOC}$，代入得：
$\frac{1}{2}k_2-\frac{1}{2}k_1=\frac{5}{2}$
等式两边同乘2，解得$k_2-k_1=5$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的经典基础题型，核心考查反比例函数k的几何意义的应用，解题关键是通过辅助线构造与k值相关的直角三角形，利用面积差建立等式求解，能有效检验对反比例函数核心性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
遇到涉及反比例函数图象与相交直线、三角形面积求k值的问题时，首先联想到反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$。本题中直线$AB// x$轴，我们可设AB与y轴交于点C，可得AB垂直于y轴，此时$△ AOC$、$△ BOC$的面积分别对应两个反比例函数k值的一半，$△ AOB$的面积恰好是两个三角形的面积差，代入已知面积即可求出$k_2-k_1$的值。
【解析】
解：设直线AB与y轴交于点C。
$\because$ 直线$AB// x$轴，$\therefore AB⊥ y$轴。
$\because$ 点A在第一象限的反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$图象上，$k_1＞0$，$\therefore S_{△ AOC}=\frac{1}{2}k_1$。
$\because$ 点B在第一象限的反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$图象上，$k_2＞0$，$\therefore S_{△ BOC}=\frac{1}{2}k_2$。
已知$S_{△ AOB}=\frac{5}{2}$，且$S_{△ AOB}=S_{△ BOC}-S_{△ AOC}$，代入得：
$\frac{1}{2}k_2-\frac{1}{2}k_1=\frac{5}{2}$
等式两边同乘2，解得$k_2-k_1=5$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的经典基础题型，核心考查反比例函数k的几何意义的应用，解题关键是通过辅助线构造与k值相关的直角三角形，利用面积差建立等式求解，能有效检验对反比例函数核心性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
4.「2026江苏无锡天一中学一模改编」如图，已知$□ ABCD$的顶点A在函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，点B,C,D在坐标轴上，连接OA交BC于点E.若$S_{△ BOE}=3$，$S_{四边形AECD}=8$，则k的值为（
A.5
B.8
C.10
D.14
C
）A.5
B.8
C.10
D.14
答案
4.C 设$S_{△ ABE}=a$,
$\because$ 四边形 ABCD 为平行四边形,$\therefore AB// CD,AB=CD$,
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AB· OB=\frac{1}{2}S_{□ ABCD},\because S_{△ BOE}=3,S_{四边形AECD}=8,\therefore a+3=\frac{1}{2}(a+8)$,解得$a=2,\because$ 顶点 A 在函数 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$ 的图象上,$\therefore S_{△ AOB}=3+2=5=\frac{1}{2}k,\therefore k=10$.
$\because$ 四边形 ABCD 为平行四边形,$\therefore AB// CD,AB=CD$,
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AB· OB=\frac{1}{2}S_{□ ABCD},\because S_{△ BOE}=3,S_{四边形AECD}=8,\therefore a+3=\frac{1}{2}(a+8)$,解得$a=2,\because$ 顶点 A 在函数 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$ 的图象上,$\therefore S_{△ AOB}=3+2=5=\frac{1}{2}k,\therefore k=10$.
解析
【分析】
解题时首先结合平行四边形的性质，得出AB平行于x轴，因此△AOB的面积等于平行四边形ABCD面积的一半；其次观察图形可知，平行四边形ABCD的面积与△AOB的面积都可以用已知面积和未知的△ABE面积表示，因此可设$S_{△ ABE}=a$，通过面积的等量关系列方程求出a的值；最后利用反比例函数k的几何意义，即过反比例函数第一象限内的点向y轴作垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}k$，即可求出k的值。
【解析】
设$S_{△ ABE}=a$，
∵四边形$ABCD$为平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$，
又
∵点$C$、$D$在x轴上，因此$AB$平行于x轴，
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}· AB· OB$，平行四边形$ABCD$的面积$S_{□ ABCD}=AB· OB$，即$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}$。
结合图形可得：$S_{△ AOB}=a + S_{△ BOE}=a+3$，$S_{□ ABCD}=S_{四边形AECD} + S_{△ ABE}=8 + a$。
将上述关系代入$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}$，得：
$a+3=\frac{1}{2}(a+8)$
解方程得：$2a+6=a+8$，$a=2$。
因此$S_{△ AOB}=2+3=5$。
∵顶点$A$在函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，根据反比例函数$k$的几何意义，$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}k$，
∴$\frac{1}{2}k=5$，解得$k=10$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，反比例函数k的几何意义，面积和差计算
【点评】
本题是反比例函数与平行四边形结合的典型题型，解题的核心是找到△AOB与平行四边形的面积等量关系，通过设未知数列方程求出中间量，再结合反比例函数的几何意义求解，较好地考查了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合平行四边形的性质，得出AB平行于x轴，因此△AOB的面积等于平行四边形ABCD面积的一半；其次观察图形可知，平行四边形ABCD的面积与△AOB的面积都可以用已知面积和未知的△ABE面积表示，因此可设$S_{△ ABE}=a$，通过面积的等量关系列方程求出a的值；最后利用反比例函数k的几何意义，即过反比例函数第一象限内的点向y轴作垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}k$，即可求出k的值。
【解析】
设$S_{△ ABE}=a$，
∵四边形$ABCD$为平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$，
又
∵点$C$、$D$在x轴上，因此$AB$平行于x轴，
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}· AB· OB$，平行四边形$ABCD$的面积$S_{□ ABCD}=AB· OB$，即$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}$。
结合图形可得：$S_{△ AOB}=a + S_{△ BOE}=a+3$，$S_{□ ABCD}=S_{四边形AECD} + S_{△ ABE}=8 + a$。
将上述关系代入$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}$，得：
$a+3=\frac{1}{2}(a+8)$
解方程得：$2a+6=a+8$，$a=2$。
因此$S_{△ AOB}=2+3=5$。
∵顶点$A$在函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，根据反比例函数$k$的几何意义，$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}k$，
∴$\frac{1}{2}k=5$，解得$k=10$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，反比例函数k的几何意义，面积和差计算
【点评】
本题是反比例函数与平行四边形结合的典型题型，解题的核心是找到△AOB与平行四边形的面积等量关系，通过设未知数列方程求出中间量，再结合反比例函数的几何意义求解，较好地考查了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
5.「2026山东淄博淄川期中」如图,在平面直角坐标系中,已知点A,B,C在双曲线$y=\frac{6}{x}$上,BD⊥x轴于点D,CE⊥y轴于点E,点F在x轴上,且AO=AF,则图中阴影部分的面积之和为 (
A.6
B.9
C.12
D.18
C
)A.6
B.9
C.12
D.18
答案
5.C 如图,过 A 作 $AG ⊥ x$ 轴于点 G,$\because AO=AF,AG ⊥ OF,\therefore OG=FG,\therefore S_{△ AOG}=S_{△ AGF}.\because$ 点 A,B,C 都在双曲线$y=\frac{6}{x}$上,$\therefore S_{△ AOG}=S_{△ OBD}=S_{△ OCE}=3,\therefore S_{△ AGF}=3$,
$\therefore S_{阴影}=S_{△ AOG}+S_{△ AGF}+S_{△ OBD}+S_{△ OCE}=12$.故选 C.
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，该点、垂足与原点围成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，可快速求出$△ AOG$、$△ OBD$、$△ OCE$的面积。再结合题目给出的$AO=AF$，利用等腰三角形三线合一的性质，可得出$△ AOF$的面积是$△ AOG$面积的2倍，最后将所有阴影部分的面积相加即可得到结果。
【解析】
过点A作$AG ⊥ x$轴于点G。
$\because AO=AF$，$AG ⊥ OF$，
$\therefore$ 由等腰三角形三线合一的性质可得$OG=FG$，因此$S_{△ AOG}=S_{△ AGF}$。
$\because$ 点A、B、C均在双曲线$y=\frac{6}{x}$上，根据反比例函数k的几何意义：
$S_{△ AOG}=S_{△ OBD}=S_{△ OCE}=\frac{1}{2}×|6|=3$，
$\therefore S_{△ AGF}=3$，
$\therefore$ 阴影部分的总面积为$S_{阴影}=S_{△ AOG}+S_{△ AGF}+S_{△ OBD}+S_{△ OCE}=3+3+3+3=12$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，等腰三角形的性质
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的典型题型，解题核心是熟练掌握反比例函数中k的几何意义，结合等腰三角形的性质转化面积，不需要求出点的坐标即可快速算出阴影部分的总面积，能有效考查学生对反比例函数性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，该点、垂足与原点围成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，可快速求出$△ AOG$、$△ OBD$、$△ OCE$的面积。再结合题目给出的$AO=AF$，利用等腰三角形三线合一的性质，可得出$△ AOF$的面积是$△ AOG$面积的2倍，最后将所有阴影部分的面积相加即可得到结果。
【解析】
过点A作$AG ⊥ x$轴于点G。
$\because AO=AF$，$AG ⊥ OF$，
$\therefore$ 由等腰三角形三线合一的性质可得$OG=FG$，因此$S_{△ AOG}=S_{△ AGF}$。
$\because$ 点A、B、C均在双曲线$y=\frac{6}{x}$上，根据反比例函数k的几何意义：
$S_{△ AOG}=S_{△ OBD}=S_{△ OCE}=\frac{1}{2}×|6|=3$，
$\therefore S_{△ AGF}=3$，
$\therefore$ 阴影部分的总面积为$S_{阴影}=S_{△ AOG}+S_{△ AGF}+S_{△ OBD}+S_{△ OCE}=3+3+3+3=12$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，等腰三角形的性质
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的典型题型，解题核心是熟练掌握反比例函数中k的几何意义，结合等腰三角形的性质转化面积，不需要求出点的坐标即可快速算出阴影部分的总面积，能有效考查学生对反比例函数性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
6.「2026甘肃庆阳镇原期末」如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,AB边经过原点$O$,$BC// x$轴,双曲线$y=\dfrac{k}{x}$经过$A,B$两点.若$S_{△ ABC}=4$,则$k$的值为
1
.答案
6.答案 1
解析 如图,作$AD ⊥ BC$于 D,交 x 轴于点 F,易得四边形 OFDE 是矩形,
$\because AB=AC,AD ⊥ BC,\therefore BD=CD$,
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2$,由中心对称可得 $BE=OF,OE=AF$,
$\therefore S_{矩形OFDE}=OF· OE=2S_{△ AOF}=|k|$,
$S_{△ AOF}=S_{△ BOE}=\frac{1}{2}|k|,\therefore S_{△ ABD}=S_{矩形OFDE}+S_{△ AOF}+S_{△ BOE}=2|k|,\because k＞0,\therefore 2k=2$,解得 $k=1$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先△ABC为等腰三角形且BC平行x轴，利用等腰三角形三线合一的性质，作AD⊥BC可将△ABC面积平分，得到△ABD的面积为2；再结合A、B在过原点的直线上且同时在双曲线上，可知A、B关于原点中心对称，可得到两点横纵坐标的对应关系；最后结合反比例函数k的几何意义，将△ABD的面积拆分为矩形和两个直角三角形的面积和，建立与|k|的等量关系，结合双曲线所在象限确定k的符号，即可求出k值。
【解析】
如图，作$AD ⊥ BC$于点D，AD交x轴于点F，易得四边形OFDE是矩形。
$\because AB=AC,AD ⊥ BC$，由等腰三角形三线合一的性质可得$BD=CD$，
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2$。
$\because$ 直线AB过原点，双曲线$y=\dfrac{k}{x}$关于原点中心对称，$\therefore$ A、B两点关于原点中心对称，可得$BE=OF,OE=AF$。
根据反比例函数k的几何意义，$S_{△ AOF}=S_{△ BOE}=\frac{1}{2}|k|$，且$S_{矩形OFDE}=OF· OE=|k|$。
观察图形可得$S_{△ ABD}=S_{矩形OFDE}+S_{△ AOF}+S_{△ BOE}=|k|+\frac{1}{2}|k|+\frac{1}{2}|k|=2|k|$。
$\because$ 双曲线经过第一、三象限，$\therefore k＞0$，将$S_{△ABD}=2$代入得$2k=2$，解得$k=1$。
【答案】
1
【知识点】
反比例函数k的几何意义，等腰三角形的性质，中心对称的性质
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的常考题型，解题关键是通过作辅助线拆分三角形面积，结合反比例函数的对称性和k的几何意义建立面积与k的等量关系，考查学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件入手：首先△ABC为等腰三角形且BC平行x轴，利用等腰三角形三线合一的性质，作AD⊥BC可将△ABC面积平分，得到△ABD的面积为2；再结合A、B在过原点的直线上且同时在双曲线上，可知A、B关于原点中心对称，可得到两点横纵坐标的对应关系；最后结合反比例函数k的几何意义，将△ABD的面积拆分为矩形和两个直角三角形的面积和，建立与|k|的等量关系，结合双曲线所在象限确定k的符号，即可求出k值。
【解析】
如图，作$AD ⊥ BC$于点D，AD交x轴于点F，易得四边形OFDE是矩形。
$\because AB=AC,AD ⊥ BC$，由等腰三角形三线合一的性质可得$BD=CD$，
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2$。
$\because$ 直线AB过原点，双曲线$y=\dfrac{k}{x}$关于原点中心对称，$\therefore$ A、B两点关于原点中心对称，可得$BE=OF,OE=AF$。
根据反比例函数k的几何意义，$S_{△ AOF}=S_{△ BOE}=\frac{1}{2}|k|$，且$S_{矩形OFDE}=OF· OE=|k|$。
观察图形可得$S_{△ ABD}=S_{矩形OFDE}+S_{△ AOF}+S_{△ BOE}=|k|+\frac{1}{2}|k|+\frac{1}{2}|k|=2|k|$。
$\because$ 双曲线经过第一、三象限，$\therefore k＞0$，将$S_{△ABD}=2$代入得$2k=2$，解得$k=1$。
【答案】
1
【知识点】
反比例函数k的几何意义，等腰三角形的性质，中心对称的性质
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的常考题型，解题关键是通过作辅助线拆分三角形面积，结合反比例函数的对称性和k的几何意义建立面积与k的等量关系，考查学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
7.「2026安徽合肥蜀山期中」如图,已知点E是y轴正半轴上的一点,过点E作$BD// x$轴,分别交反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$和$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象于点D,B,以BD为对角线作$□ ABCD$.若点A在x轴上,$□ ABCD$的面积为12,则k的值为
-8
.答案
7.答案 -8
解析 如图,连接 OB,OD,则
$S_{△ BOD}=S_{△ BDA}$,由题意得$S_{△ BDA}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}=\frac{1}{2}×12=6$,由反比例函数的比例系数 k 的几何意义得,$S_{△ BEO}=\frac{1}{2}|k|,S_{△ DEO}=\frac{1}{2}×|4|=2,\therefore S_{△ BDA}=S_{△ BOD}=S_{△ BEO}+S_{△ DEO}=\frac{1}{2}|k|+2=6,\therefore |k|=8$,
$\because y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象位于第二象限,$\therefore k=-8$.
解析
【分析】
要求反比例函数$y=\frac{k}{x}$中k的值，可结合反比例函数比例系数k的几何意义，通过图形面积关系推导。首先，平行四边形的对角线将其分为面积相等的两个三角形，可先求出$△ ABD$的面积；再由$BD// x$轴，点A、O都在x轴上，可知$△ BOD$和$△ ABD$同底等高，面积相等；最后根据k的几何意义分别表示出$△ BEO$和$△ DEO$的面积，两者之和等于$△ BOD$的面积，建立方程求出$|k|$后，结合函数所在象限确定k的符号即可。
【解析】
如图，连接OB、OD，
∵ $BD// x$轴，点A在x轴上，
∴ $△ BOD$和$△ BDA$同底等高，即$S_{△ BOD}=S_{△ BDA}$。
∵ 平行四边形ABCD的面积为12，
∴ $S_{△ BDA}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}=\frac{1}{2}×12=6$。
根据反比例函数比例系数k的几何意义：
$S_{△ BEO}=\frac{1}{2}|k|$，$S_{△ DEO}=\frac{1}{2}×|4|=2$，
∴ $S_{△ BOD}=S_{△ BEO}+S_{△ DEO}=\frac{1}{2}|k|+2=6$，
解得$|k|=8$。
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象位于第二象限，
∴ $k＜0$，故$k=-8$。
【答案】
-8
【知识点】
反比例函数k的几何意义；平行四边形的性质；同底等高三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与四边形结合的典型题型，解题的关键是通过面积转化，将平行四边形的面积和反比例函数k的几何意义关联起来，求解时要注意结合函数所在象限判断k的正负，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要求反比例函数$y=\frac{k}{x}$中k的值，可结合反比例函数比例系数k的几何意义，通过图形面积关系推导。首先，平行四边形的对角线将其分为面积相等的两个三角形，可先求出$△ ABD$的面积；再由$BD// x$轴，点A、O都在x轴上，可知$△ BOD$和$△ ABD$同底等高，面积相等；最后根据k的几何意义分别表示出$△ BEO$和$△ DEO$的面积，两者之和等于$△ BOD$的面积，建立方程求出$|k|$后，结合函数所在象限确定k的符号即可。
【解析】
如图，连接OB、OD，
∵ $BD// x$轴，点A在x轴上，
∴ $△ BOD$和$△ BDA$同底等高，即$S_{△ BOD}=S_{△ BDA}$。
∵ 平行四边形ABCD的面积为12，
∴ $S_{△ BDA}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}=\frac{1}{2}×12=6$。
根据反比例函数比例系数k的几何意义：
$S_{△ BEO}=\frac{1}{2}|k|$，$S_{△ DEO}=\frac{1}{2}×|4|=2$，
∴ $S_{△ BOD}=S_{△ BEO}+S_{△ DEO}=\frac{1}{2}|k|+2=6$，
解得$|k|=8$。
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象位于第二象限，
∴ $k＜0$，故$k=-8$。
【答案】
-8
【知识点】
反比例函数k的几何意义；平行四边形的性质；同底等高三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与四边形结合的典型题型，解题的关键是通过面积转化，将平行四边形的面积和反比例函数k的几何意义关联起来，求解时要注意结合函数所在象限判断k的正负，避免漏解。
【难度系数】
0.6
8.「2026江西南昌中学教育集团期末」如图,在平面直角坐标系$xOy$中,平行四边形$OABC$的顶点$B$在$y$轴上,顶点$A$在反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$的图象上,顶点$C$在反比例函数$y=\dfrac{10}{x}$的图象上,则平行四边形$OABC$的面积是
16
.答案
8.答案 16
解析 如图,过点 A 作 $AE ⊥ y$ 轴于点 E,过点 C 作 $CD ⊥ y$ 轴于点 D,则$∠AEB=∠CDO=90°$,
$\because$ 四边形 OABC 是平行四边形,$\therefore AB=CO,AB// CO$,
$S_{△ ABO}=S_{△ COB},\therefore ∠ABE=∠COD,\therefore △ ABE ≌ △ COD$,
$\therefore S_{△ ABE}=S_{△ COD}=\frac{1}{2}×10=5,S_{△ AOE}=S_{△ CBD}=\frac{1}{2}×6=3$,
$\therefore S_{平行四边形OABC}=2×(3+5)=16$.
解析
【分析】
本题为反比例函数与平行四边形结合的面积计算问题，解题思路如下：首先，看到反比例函数图象上的点，优先考虑反比例函数中k的几何意义，因此过点A、C分别作y轴的垂线，构造与k相关的直角三角形；其次，利用平行四边形对边平行且相等的性质，证明构造出的两个直角三角形全等，完成面积转化；最后结合反比例函数k的几何意义算出对应三角形的面积，进而求出平行四边形的总面积。
【解析】
过点A作$AE ⊥ y$轴于点E，过点C作$CD ⊥ y$轴于点D，则$∠ AEB=∠ CDO=90°$。
$\because$ 四边形OABC是平行四边形，
$\therefore AB=CO$，$AB// CO$，且平行四边形对角线将其分为两个面积相等的三角形，即$S_{△ ABO}=S_{△ COB}$。
由$AB// CO$可得$∠ ABE=∠ COD$。
在$△ ABE$和$△ COD$中：
$\begin{cases}∠ AEB=∠ CDO \\∠ ABE=∠ COD \\AB=CO\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ COD(\mathrm{AAS})$。
根据反比例函数k的几何意义：
$S_{△ COD}=\frac{1}{2}×|10|=5$，故$S_{△ ABE}=S_{△ COD}=5$；
$S_{△ AOE}=\frac{1}{2}×|-6|=3$。
则$S_{△ ABO}=S_{△ AOE}+S_{△ ABE}=3+5=8$，
$\therefore S_{平行四边形OABC}=2× S_{△ ABO}=2×8=16$。
【答案】
16
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 平行四边形的性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是反比例函数综合类常考题型，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合全等性质进行面积转化，同时熟练运用反比例函数k的几何意义快速计算相关三角形面积，能有效考查学生对几何性质和函数性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
本题为反比例函数与平行四边形结合的面积计算问题，解题思路如下：首先，看到反比例函数图象上的点，优先考虑反比例函数中k的几何意义，因此过点A、C分别作y轴的垂线，构造与k相关的直角三角形；其次，利用平行四边形对边平行且相等的性质，证明构造出的两个直角三角形全等，完成面积转化；最后结合反比例函数k的几何意义算出对应三角形的面积，进而求出平行四边形的总面积。
【解析】
过点A作$AE ⊥ y$轴于点E，过点C作$CD ⊥ y$轴于点D，则$∠ AEB=∠ CDO=90°$。
$\because$ 四边形OABC是平行四边形，
$\therefore AB=CO$，$AB// CO$，且平行四边形对角线将其分为两个面积相等的三角形，即$S_{△ ABO}=S_{△ COB}$。
由$AB// CO$可得$∠ ABE=∠ COD$。
在$△ ABE$和$△ COD$中：
$\begin{cases}∠ AEB=∠ CDO \\∠ ABE=∠ COD \\AB=CO\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ COD(\mathrm{AAS})$。
根据反比例函数k的几何意义：
$S_{△ COD}=\frac{1}{2}×|10|=5$，故$S_{△ ABE}=S_{△ COD}=5$；
$S_{△ AOE}=\frac{1}{2}×|-6|=3$。
则$S_{△ ABO}=S_{△ AOE}+S_{△ ABE}=3+5=8$，
$\therefore S_{平行四边形OABC}=2× S_{△ ABO}=2×8=16$。
【答案】
16
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 平行四边形的性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是反比例函数综合类常考题型，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合全等性质进行面积转化，同时熟练运用反比例函数k的几何意义快速计算相关三角形面积，能有效考查学生对几何性质和函数性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
