8.(2025·宿城区月考)如图,直线$y=x-2$与$y$轴交于点$C$,与$x$轴交于点$B$,与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一象限交于点$A$,连接$OA$.若$S_{△ AOB}:S_{△ BOC}=1:2$,则$k$的值为________.

8.3

9. 如图,一次函数$y=mx+n$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于$A(3,a)$,$B(14-2a,2)$两点.
C是$x$轴上一点,$D$是坐标平面内一点,若四边形$ACBD$是以$AB$为对角线的菱形,则点$C$的坐标为________.

9.$(\frac{5}{2},0)$

10. 如图,反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$和一次函数$y_2=mx+n$的图象相交于点$A(-3,a),B(a+\frac{3}{2},-2),O$为坐标原点,连接$OA,OB$.
(1)求函数$y_1=\frac{k}{x}$与$y_2=mx+n$的函数表达式;
(2)当$y_1＞y_2$时,请结合图象直接写出自变量$x$的取值范围;
(3)求$△ AOB$的面积.

10.解:(1)
∵反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$和一次函数$y_2=mx+n$的
图象相交于点$A(-3,a),B(a+\frac{3}{2},-2)$,
∴$k=-3a=-2(a+\frac{3}{2})$,解得$a=3$,
∴$A(-3,3)$,
$B(\frac{9}{2},-2)$,
∴$k=-3×3=-9$,
∴$y_1=-\frac{9}{x}$.
把$A(-3,3),B(\frac{9}{2},-2)$分别代入$y_2=mx+n$,
得$\begin{cases} -3m+n=3,\\ \frac{9}{2}m+n=-2, \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=-\frac{2}{3},\\ n=1, \end{cases}$
∴$y_2=-\frac{2}{3}x+1$.
(2)由图象可知,当$y_1＞y_2$时,自变量$x$的取值范围为
$-3＜x＜0$或$x＞\frac{9}{2}$.
(3)设AB与y轴相交于点C,则C(0,1),
∴$S_{△AOB}=S_{△BOC}+S_{△AOC}=\frac{1}{2}OC(x_B-x_A)=\frac{1}{2}×1×(\frac{9}{2}+3)=\frac{15}{4}$.

11.如图,在平面直角坐标系$xOy$中,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象与直线$y=x-1$交于点$A(3,m)$.
(1)求$k$的值.
(2)已知点$P(n,0)(n＞0)$,过点$P$作垂直于$x$轴的直线,交直线$y=x-1$于点$B$,交函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$于点$C$.
①当$n=4$时,判断线段$PC$与$BC$的数量关系,并说明理由;
②若$PC≤ BC$,结合图象,直接写出$n$的取值范围.

11.解:(1)将$A(3,m)$代入$y=x-1$,
∴$m=3-1=2$,
∴$A(3,2)$.将$A(3,2)$代入$y=\frac{k}{x}$,
∴$k=3×2=6$.
(2)①$PC=BC$,理由:当$n=4$时,如答图,P(4,0).

把$x=4$代入$y=x-1$,得$y=4-1=3$,
∴$B(4,3)$.
把$x=4$代入$y=\frac{6}{x}$,得$y=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$,
∴$C(4,\frac{3}{2})$,
∴$PC=\frac{3}{2}$,$BC=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$,
∴$PC=BC$.
②由图可知,当$PC≤BC$时,$n$的取值范围是$0＜n≤1$或$n≥4$.