8 如图，把$△ ABC$经过一定的变换得到$△ A'B'C'$，若$△ ABC$上一点$P$的坐标为$(x,y)$，则这个点在$△ A'B'C'$中的对应点$P'$的坐标为 （）

A.$(-x,y-2)$
B.$(-x+2,-y)$
C.$(-x,y+2)$
D.$(-x+2,y+2)$

8.C

【分析】
要确定点P变换后的对应点坐标，首先需要找到△ABC和△A'B'C'上对应顶点的坐标，通过对比对应顶点横、纵坐标的变化总结出通用变换规律，再将规律应用到点P上即可得到结果。
【解析】
第一步：读取对应顶点坐标，观察网格可得：
△ABC的顶点坐标：$A(-4,-2)$，$B(-2,0)$，$C(-1,-3)$
对应△A'B'C'的顶点坐标：$A'(4,0)$，$B'(2,2)$，$C'(1,-1)$
第二步：对比坐标变化规律：
$A(-4,-2)\to A'(4,0)$：横坐标$4=-(-4)$，纵坐标$0=-2+2$
$B(-2,0)\to B'(2,2)$：横坐标$2=-(-2)$，纵坐标$2=0+2$
$C(-1,-3)\to C'(1,-1)$：横坐标$1=-(-1)$，纵坐标$-1=-3+2$
第三步：总结变换规则：变换后点的横坐标为原横坐标的相反数，纵坐标为原纵坐标加2。
因此△ABC上坐标为$(x,y)$的点P，对应点$P'$的坐标为$(-x,y+2)$。
【答案】
C
【知识点】
坐标与图形变换；轴对称的坐标特征；点的坐标变化
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形变换的坐标规律，解题核心是通过已知对应点的坐标推导通用变换规则，再推广到任意点，是坐标变换类的典型基础题。
【难度系数】
0.7

9 (2025无锡梁溪月考)如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC绕点O逆时针旋转$45°$后得到正方形$OA_1B_1C_1$,依此方式,绕点O连续旋转2025次得到正方形$OA_{2025}B_{2025}C_{2025}$,如果点A的坐标为$A(1,0)$,则点$B_{2025}$的坐标为 ()

A.$(1,1)$
B.$(-1,1)$
C.$(\sqrt{2},0)$
D.$(0,\sqrt{2})$

9.D

【分析】
解题首先要确定初始点B的坐标，再结合旋转的性质找到旋转的周期规律：每次旋转45°，旋转8次刚好完成一周回到原位置，因此每8次旋转为一个循环。接下来计算2025次旋转对应的循环余数，根据余数判断点$B_{2025}$的位置与旋转几次后的位置重合，最后结合旋转后线段OB的长度和位置求解坐标即可。
【解析】
1. 求初始点B的坐标：
已知正方形OABC中点A坐标为$(1,0)$，因此$OA=AB=1$，且$AB⊥ x$轴，可得点B坐标为$(1,1)$，线段OB的长度为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，初始时OB与x轴正半轴夹角为45°。
2. 确定旋转周期：
每次绕点O逆时针旋转45°，旋转一周为360°，因此旋转周期为$360°÷45°=8$，即每旋转8次，点B的位置回到初始位置。
3. 计算2025次旋转对应的余数：
$2025÷8=253······1$，说明旋转2025次后，点B的位置与旋转1次后的点$B_1$位置重合。
4. 求点$B_1$的坐标：
将OB逆时针旋转45°后，OB与y轴正半轴重合，长度仍为$\sqrt{2}$，因此$B_1$坐标为$(0,\sqrt{2})$，即$B_{2025}$坐标为$(0,\sqrt{2})$。
【答案】
D
【知识点】
坐标与旋转，周期规律，正方形性质
【点评】
本题将图形旋转和规律探究结合，核心是抓住旋转过程中点到旋转中心的距离不变的特点，找到旋转的循环周期，通过余数快速定位对应点的位置，避免逐次计算的繁琐。
【难度系数】
0.6

10 如图,在平面直角坐标系中,$Rt△ ABC$的顶点$A$在$x$轴上,顶点$B$在$y$轴上,$∠ ACB=90°$,$OB// AC$,点$C$的坐标为$(4,8)$,点$D$和点$C$关于$AB$成轴对称,且$AD$交$y$轴于点$E$,则点$E$的坐标为.

10.$(0,3)$

【分析】
首先根据直角的性质和平行线的特征，先确定点A、点B的坐标；再利用轴对称的性质得到对应角相等，结合平行线的内错角相等推出AE=BE，得到等腰三角形；最后设点E的坐标，借助勾股定理列方程求解即可得到点E的坐标。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，OB//AC，OB在y轴上，
∴AC⊥BC，AC//y轴，BC//x轴，
∵点C坐标为(4,8)，
∴点A横坐标与C相同为4，又A在x轴上，故A(4,0)，OA=4；
点B纵坐标与C相同为8，又B在y轴上，故B(0,8)，OB=8。
∵点D和点C关于AB成轴对称，
∴∠BAD=∠BAC，
∵OB//AC，
∴∠BAC=∠OBA（两直线平行，内错角相等），
∴∠OBA=∠BAD，
∴AE=BE（等角对等边）。
设点E的坐标为(0,m)，则OE=m，BE=OB-OE=8-m，
∴AE=8-m。
在Rt△AOE中，由勾股定理得：
$OA^2 + OE^2 = AE^2$
代入得：$4^2 + m^2 = (8-m)^2$
展开：$16 + m^2 = 64 - 16m + m^2$
化简得：$16m = 48$，解得$m=3$
∴点E的坐标为(0,3)。
【答案】
$(0,3)$
【知识点】
轴对称的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查了轴对称、平行线、等腰三角形和勾股定理的综合应用，解题的关键是通过角的等量关系推导出等腰三角形，再利用勾股定理建立方程求解，渗透了数形结合和方程的数学思想。
【难度系数】
0.6

11 教材P124探究·变式 如图，正方形OABC的边长为1，则该正方形绕点O逆时针旋转135°后，点B的对应点的坐标为。

11.$(-\sqrt{2},0)$

【分析】
解题思路如下：第一步先确定旋转前点B的坐标，结合正方形边长可得B(1,1)；第二步计算OB的长度和OB与x轴正方向的夹角，用勾股定理算出OB长为$\sqrt{2}$，正方形对角线和x轴正方向夹角为45°；第三步根据旋转的性质，旋转不改变线段长度，所以旋转后OB长度仍为$\sqrt{2}$，逆时针旋转135°后，OB与x轴正方向的总夹角为45°+135°=180°，即对应点落在x轴负半轴，即可写出对应点坐标。
【解析】
解：
∵正方形OABC的边长为1，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴
∴旋转前点B的坐标为$(1,1)$
由勾股定理得，OB的长度为：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
且OB与x轴正方向的夹角为$45°$
∵正方形绕点O逆时针旋转135°，旋转不改变线段长度
∴旋转后OB的长度仍为$\sqrt{2}$，此时OB与x轴正方向的夹角为$45°+135°=180°$
即旋转后点B的对应点在x轴负半轴上
∴对应点的坐标为$(-\sqrt{2},0)$
【答案】
$(-\sqrt{2},0)$
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，坐标与图形变化
【点评】
本题是坐标与旋转的综合应用题，解题核心是抓住旋转前后对应线段长度不变的性质，结合角度计算确定旋转后点的位置，整体逻辑清晰，容易找到突破口。
【难度系数】
0.7

12 新趋势 新定义 阅读材料并解答下列问题:如图,把平面内一条数轴$x$绕原点$O$逆时针旋转角$θ(0°＜θ＜90°)$得到另一条数轴$y$,$x$轴和$y$轴构成一个平面斜坐标系$xOy$.规定:过点$P$作$y$轴的平行线,交$x$轴于点$A$,过点$P$作$x$轴的平行线,交$y$轴于点$B$,若点$A$在$x$轴对应的实数为$a$,点$B$在$y$轴对应的实数为$b$,则称有序实数对$(a,b)$为点$P$在平面斜坐标系$xOy$中的斜坐标.如图,在平面斜坐标系$xOy$中,已知$θ=60°$,点$P$的斜坐标是$(3,6)$. (1)连接$OP$,求线段$OP$的长; (2)将线段$OP$绕点$O$顺时针旋转$60°$到$OQ$(点$Q$与点$P$对应),求点$Q$的斜坐标.

12.解:(1)如图1,过点$P$作$PC⊥OA$,垂足为$C$.
因为$AP// OB$,
所以$∠PAC=θ=60°$,则$∠APC=30°$,
所以$AC=\frac{1}{2}AP$.
因为点$P$的斜坐标是$(3,6)$,
所以$OA=3,OB=AP=6$,
所以$AC=\frac{1}{2}AP=3$,
所以$PC=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3},OC=3+3=6$,
在$\mathrm{Rt}△ OCP$中,由勾股定理,得$OP=\sqrt{6^2+(3\sqrt{3})^2}=3\sqrt{7}$.
(2)如图2,过点$P$作$PC⊥OA$,垂足为$C$,过点$Q$作$QE// OB,QF// OC$,连接$CQ$.
由旋转的性质,得$OP=OQ,∠POQ=60°$.
因为$∠BOP+∠POA=∠POA+∠COQ=60°$,
所以$∠BOP=∠COQ$.
在$△ BOP$和$△ COQ$中,$\begin{cases} BO=CO, \\ ∠BOP=∠COQ, \\ OP=OQ, \end{cases}$
所以$△ BOP≌△ COQ(\mathrm{SAS})$,
所以$BP=CQ=3,∠OBP=∠OCQ=120°$,
所以$∠ECQ=60°$.
因为$EQ// OB$,
所以$∠CEQ=60°$,
所以$△ CEQ$是等边三角形,
所以$CE=EQ=CQ=3$,
所以$OE=6+3=9,OF=EQ=3$,
所以点$Q$的斜坐标为$(9,-3)$.

【分析】
（1）求OP的长时，首先根据斜坐标的定义得到对应线段长度：点P斜坐标为(3,6)，则OA=3，OB=AP=6，且AP平行于y轴，故∠PAC=θ=60°。我们可以通过作PC垂直x轴构造直角三角形，先利用含30°角的直角三角形的性质求出AC、PC的长，再得到OC的长，最后在Rt△OPC中用勾股定理即可求出OP。
（2）求点Q的斜坐标时，先根据旋转的性质得到OP=OQ、∠POQ=60°，通过角的等量代换找到等角，证明△BOP和△COQ全等，得到CQ的长度和∠OCQ的度数，再结合平行线的性质判断△CEQ为等边三角形，求出对应线段长度，结合Q的位置确定y坐标的符号，即可得到Q的斜坐标。
【解析】
(1) 如图1，过点$P$作$PC⊥OA$，垂足为$C$。
因为$AP// OB$，所以$∠PAC=θ=60°$，则$∠APC=30°$，可得$AC=\frac{1}{2}AP$。
已知点$P$的斜坐标是$(3,6)$，因此$OA=3$，$OB=AP=6$，代入得$AC=\frac{1}{2}×6=3$。
由勾股定理可得$PC=\sqrt{AP^2-AC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，$OC=OA+AC=3+3=6$。
在$\mathrm{Rt}△ OCP$中，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{OC^2+PC^2}=\sqrt{6^2+(3\sqrt{3})^2}=3\sqrt{7}$。
(2) 如图2，过点$P$作$PC⊥OA$，垂足为$C$，过点$Q$作$QE// OB$，$QF// OC$，连接$CQ$。
由旋转的性质可得：$OP=OQ$，$∠POQ=60°$。
因为$∠BOP+∠POA=∠POA+∠COQ=60°$，所以$∠BOP=∠COQ$。
在$△ BOP$和$△ COQ$中：
$\begin{cases} BO=CO, \\ ∠BOP=∠COQ, \\ OP=OQ, \end{cases}$
因此$△ BOP≌△ COQ(\mathrm{SAS})$，可得$BP=CQ=3$，$∠OBP=∠OCQ=120°$，故$∠ECQ=180°-120°=60°$。
因为$EQ// OB$，所以$∠CEQ=θ=60°$，因此$△ CEQ$是等边三角形，得$CE=EQ=CQ=3$。
所以$OE=OC+CE=6+3=9$，$OF=EQ=3$，又因为Q在x轴下方，y坐标为负，故点Q的斜坐标为$(9,-3)$。
【答案】
12.解:(1)如图1,过点$P$作$PC⊥OA$,垂足为$C$.
因为$AP// OB$,
所以$∠PAC=θ=60°$,则$∠APC=30°$,
所以$AC=\frac{1}{2}AP$.
因为点$P$的斜坐标是$(3,6)$,
所以$OA=3,OB=AP=6$,
所以$AC=\frac{1}{2}AP=3$,
所以$PC=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3},OC=3+3=6$,
在$\mathrm{Rt}△ OCP$中,由勾股定理,得$OP=\sqrt{6^2+(3\sqrt{3})^2}=3\sqrt{7}$.
(2)如图2,过点$P$作$PC⊥OA$,垂足为$C$,过点$Q$作$QE// OB,QF// OC$,连接$CQ$.
由旋转的性质,得$OP=OQ,∠POQ=60°$.
因为$∠BOP+∠POA=∠POA+∠COQ=60°$,
所以$∠BOP=∠COQ$.
在$△ BOP$和$△ COQ$中,$\begin{cases} BO=CO, \\ ∠BOP=∠COQ, \\ OP=OQ, \end{cases}$
所以$△ BOP≌△ COQ(\mathrm{SAS})$,
所以$BP=CQ=3,∠OBP=∠OCQ=120°$,
所以$∠ECQ=60°$.
因为$EQ// OB$,
所以$∠CEQ=60°$,
所以$△ CEQ$是等边三角形,
所以$CE=EQ=CQ=3$,
所以$OE=6+3=9,OF=EQ=3$,
所以点$Q$的斜坐标为$(9,-3)$.


【知识点】
勾股定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质
【点评】
本题是新定义类题型，以斜坐标系为全新命题情境，既考查了对新定义的理解、转化能力，也综合考查了直角三角形性质、全等三角形、旋转性质等核心几何知识，解题时需要将陌生的斜坐标转化为已知的线段长度关系，结合已有几何知识求解，能有效锻炼知识迁移与综合运用能力。
【难度系数】
0.55