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10 [2024滨州]如图,四边形AOBC四个顶点的坐标分别是A(-1,3),O(0,0),B(3,-1),C(5,4),在该平面内找一点P,使它到四个顶点的距离之和PA+PO+PB+PC最小,则点P的坐标为
$(\dfrac{10}{9},\dfrac{8}{9})$
.答案
$(\dfrac{10}{9},\dfrac{8}{9})$ 【解析】根据“两点之间线段最短”,得$PO+PC$的最小值就是线段$OC$的长,$PA+PB$的最小值就是线段$AB$的长,$\therefore$ 到四个顶点的距离之和$PA+PO+PB+PC$最小的点就是直线$AB$,$OC$的交点$P$.易得直线$OC$对应的函数表达式为$y=\dfrac{4}{5}x$,直线$AB$对应的函数表达式为$y=-x+2$,联立方程组,即可得点$P$的坐标为$(\dfrac{10}{9},\dfrac{8}{9})$.
解析
【分析】
要使PA+PO+PB+PC最小，可将距离和拆分为(PA+PB)+(PO+PC)两部分分析。根据“两点之间线段最短”，PA+PB的最小值为线段AB的长度，此时点P在线段AB上；PO+PC的最小值为线段OC的长度，此时点P在线段OC上。因此同时满足两个最小条件的点P就是线段AB与OC的交点，接下来只需要求出直线AB和OC的函数解析式，联立求解方程组即可得到点P的坐标。
【解析】
解：根据两点之间线段最短可知：
当点P是直线AB与直线OC的交点时，PA+PB+PC+PO最小，最小值为AB+OC的长度。
①求直线OC的解析式：
设直线OC的解析式为$y=k_1x$，将C(5,4)代入得：
$4=5k_1$，解得$k_1=\frac{4}{5}$，
所以直线OC的解析式为$y=\frac{4}{5}x$。
②求直线AB的解析式：
设直线AB的解析式为$y=k_2x+b$，将A(-1,3)、B(3,-1)代入得：
$\begin{cases}-k_2 + b = 3 \\3k_2 + b = -1\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$4k_2=-4$，解得$k_2=-1$，
将$k_2=-1$代入$-k_2 + b = 3$得：$1 + b = 3$，解得$b=2$，
所以直线AB的解析式为$y=-x+2$。
③联立两个解析式求交点P：
联立$\begin{cases}y=\frac{4}{5}x \\y=-x+2\end{cases}$，
可得$\frac{4}{5}x=-x+2$，两边同乘5得：$4x=-5x+10$，解得$x=\frac{10}{9}$，
将$x=\frac{10}{9}$代入$y=-x+2$得：$y=-\frac{10}{9}+\frac{18}{9}=\frac{8}{9}$，
所以点P的坐标为$(\frac{10}{9},\frac{8}{9})$。
【答案】
$(\dfrac{10}{9},\dfrac{8}{9})$
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 待定系数法求一次函数解析式
3. 一次函数与二元一次方程组
【点评】
本题结合最短路径问题考查一次函数的综合应用，解题的核心是先利用线段最短的性质确定目标点的位置，再通过联立一次函数解析式求解交点坐标，很好地体现了几何性质与代数运算的结合。
【难度系数】
0.6
要使PA+PO+PB+PC最小，可将距离和拆分为(PA+PB)+(PO+PC)两部分分析。根据“两点之间线段最短”，PA+PB的最小值为线段AB的长度，此时点P在线段AB上；PO+PC的最小值为线段OC的长度，此时点P在线段OC上。因此同时满足两个最小条件的点P就是线段AB与OC的交点，接下来只需要求出直线AB和OC的函数解析式，联立求解方程组即可得到点P的坐标。
【解析】
解：根据两点之间线段最短可知：
当点P是直线AB与直线OC的交点时，PA+PB+PC+PO最小，最小值为AB+OC的长度。
①求直线OC的解析式：
设直线OC的解析式为$y=k_1x$，将C(5,4)代入得：
$4=5k_1$，解得$k_1=\frac{4}{5}$，
所以直线OC的解析式为$y=\frac{4}{5}x$。
②求直线AB的解析式：
设直线AB的解析式为$y=k_2x+b$，将A(-1,3)、B(3,-1)代入得：
$\begin{cases}-k_2 + b = 3 \\3k_2 + b = -1\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$4k_2=-4$，解得$k_2=-1$，
将$k_2=-1$代入$-k_2 + b = 3$得：$1 + b = 3$，解得$b=2$，
所以直线AB的解析式为$y=-x+2$。
③联立两个解析式求交点P：
联立$\begin{cases}y=\frac{4}{5}x \\y=-x+2\end{cases}$，
可得$\frac{4}{5}x=-x+2$，两边同乘5得：$4x=-5x+10$，解得$x=\frac{10}{9}$，
将$x=\frac{10}{9}$代入$y=-x+2$得：$y=-\frac{10}{9}+\frac{18}{9}=\frac{8}{9}$，
所以点P的坐标为$(\frac{10}{9},\frac{8}{9})$。
【答案】
$(\dfrac{10}{9},\dfrac{8}{9})$
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 待定系数法求一次函数解析式
3. 一次函数与二元一次方程组
【点评】
本题结合最短路径问题考查一次函数的综合应用，解题的核心是先利用线段最短的性质确定目标点的位置，再通过联立一次函数解析式求解交点坐标，很好地体现了几何性质与代数运算的结合。
【难度系数】
0.6
11 甲、乙两人相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车直达山顶。甲、乙距山脚的垂直高度$y$（米）与甲登山的时间$x$（分钟）之间的函数图象如图所示。
（1）当$15≤ x≤40$时，求乙距山脚的垂直高度$y$与时间$x$之间的函数表达式；
（2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度。
（1）当$15≤ x≤40$时，求乙距山脚的垂直高度$y$与时间$x$之间的函数表达式；
（2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度。
答案
（1）设乙距山脚的垂直高度$y$与时间$x$之间的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠ 0)$. $\because$ 函数图象过点$(15,0)$和$(40,300)$,
$\therefore \begin{cases} 15k+b=0,\\ 40k+b=300, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=12,\\ b=-180, \end{cases}$ $\therefore$ 乙距山脚的垂直高度$y$与时间$x$之间的函数表达式为$y=12x-180$
（2）当$25≤ x≤ 60$时,设甲距山脚的垂直高度$y$与时间$x$之间的函数表达式为$y=mx+n\ (m≠ 0)$. $\because$ 函数图象过点$(25,160)$和$(60,300)$,
$\therefore \begin{cases} 25m+n=160,\\ 60m+n=300, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=4,\\ n=60, \end{cases}$ $\therefore y=4x+60$. 当乙乘坐缆车上升过程中,和甲处于同一高度时,有$\begin{cases} y=12x-180,\\ y=4x+60, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=30,\\ y=180. \end{cases}$ $\therefore$ 乙乘坐缆车上升过程中,和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米
$\therefore \begin{cases} 15k+b=0,\\ 40k+b=300, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=12,\\ b=-180, \end{cases}$ $\therefore$ 乙距山脚的垂直高度$y$与时间$x$之间的函数表达式为$y=12x-180$
（2）当$25≤ x≤ 60$时,设甲距山脚的垂直高度$y$与时间$x$之间的函数表达式为$y=mx+n\ (m≠ 0)$. $\because$ 函数图象过点$(25,160)$和$(60,300)$,
$\therefore \begin{cases} 25m+n=160,\\ 60m+n=300, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=4,\\ n=60, \end{cases}$ $\therefore y=4x+60$. 当乙乘坐缆车上升过程中,和甲处于同一高度时,有$\begin{cases} y=12x-180,\\ y=4x+60, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=30,\\ y=180. \end{cases}$ $\therefore$ 乙乘坐缆车上升过程中,和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米
解析
【分析】
（1）要确定15≤x≤40时乙的y与x的函数表达式，观察图像可知该段为一次函数，因此采用待定系数法：首先找到该段函数经过的两个已知点(15,0)和(40,300)，代入一次函数一般式y=kx+b（k≠0），得到关于k、b的二元一次方程组，求解即可得到函数表达式。
（2）乙和甲处于同一高度，即对应x值下两个函数的y值相等，也就是两个函数图像的交点。因此需要先求出甲在25≤x≤60段的函数表达式，同样用待定系数法，代入点(25,160)和(60,300)求出甲的解析式，再联立乙的缆车段解析式，解方程组得到的y值就是所求的垂直高度。
【解析】
（1）设当15≤x≤40时，乙距山脚的垂直高度y与时间x之间的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠ 0)$。
由图像可知，函数图象过点$(15,0)$和$(40,300)$，代入得：
$\begin{cases} 15k+b=0\\ 40k+b=300 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$25k=300$，解得$k=12$，
将$k=12$代入$15k+b=0$，得$15×12 + b=0$，解得$b=-180$。
因此该段函数表达式为$y=12x-180\ (15≤x≤40)$。
（2）先求当$25≤ x≤ 60$时，甲的函数表达式，设为$y=mx+n\ (m≠ 0)$。
由图像可知，函数图象过点$(25,160)$和$(60,300)$，代入得：
$\begin{cases} 25m+n=160\\ 60m+n=300 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$35m=140$，解得$m=4$，
将$m=4$代入$25m+n=160$，得$25×4 +n=160$，解得$n=60$，
因此甲该段函数表达式为$y=4x+60\ (25≤x≤60)$。
当乙和甲处于同一高度时，两个函数的y值相等，联立两个解析式：
$\begin{cases} y=12x-180\\ y=4x+60 \end{cases}$
将第二个式子代入第一个得：$4x+60=12x-180$，
移项得：$8x=240$，解得$x=30$，
将$x=30$代入$y=4x+60$，得$y=4×30 +60=180$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=12x-180\ (15≤x≤40)}$
（2）$\boldsymbol{180}$米
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数与二元一次方程组的关系
3. 一次函数的实际应用
【点评】
本题以登山场景为背景考查一次函数的实际应用，解题核心是能从函数图像中提取有效坐标信息，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，理解两个函数交点的实际意义，是一次函数章节的常见考法。
【难度系数】
0.7
（1）要确定15≤x≤40时乙的y与x的函数表达式，观察图像可知该段为一次函数，因此采用待定系数法：首先找到该段函数经过的两个已知点(15,0)和(40,300)，代入一次函数一般式y=kx+b（k≠0），得到关于k、b的二元一次方程组，求解即可得到函数表达式。
（2）乙和甲处于同一高度，即对应x值下两个函数的y值相等，也就是两个函数图像的交点。因此需要先求出甲在25≤x≤60段的函数表达式，同样用待定系数法，代入点(25,160)和(60,300)求出甲的解析式，再联立乙的缆车段解析式，解方程组得到的y值就是所求的垂直高度。
【解析】
（1）设当15≤x≤40时，乙距山脚的垂直高度y与时间x之间的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠ 0)$。
由图像可知，函数图象过点$(15,0)$和$(40,300)$，代入得：
$\begin{cases} 15k+b=0\\ 40k+b=300 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$25k=300$，解得$k=12$，
将$k=12$代入$15k+b=0$，得$15×12 + b=0$，解得$b=-180$。
因此该段函数表达式为$y=12x-180\ (15≤x≤40)$。
（2）先求当$25≤ x≤ 60$时，甲的函数表达式，设为$y=mx+n\ (m≠ 0)$。
由图像可知，函数图象过点$(25,160)$和$(60,300)$，代入得：
$\begin{cases} 25m+n=160\\ 60m+n=300 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$35m=140$，解得$m=4$，
将$m=4$代入$25m+n=160$，得$25×4 +n=160$，解得$n=60$，
因此甲该段函数表达式为$y=4x+60\ (25≤x≤60)$。
当乙和甲处于同一高度时，两个函数的y值相等，联立两个解析式：
$\begin{cases} y=12x-180\\ y=4x+60 \end{cases}$
将第二个式子代入第一个得：$4x+60=12x-180$，
移项得：$8x=240$，解得$x=30$，
将$x=30$代入$y=4x+60$，得$y=4×30 +60=180$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=12x-180\ (15≤x≤40)}$
（2）$\boldsymbol{180}$米
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数与二元一次方程组的关系
3. 一次函数的实际应用
【点评】
本题以登山场景为背景考查一次函数的实际应用，解题核心是能从函数图像中提取有效坐标信息，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，理解两个函数交点的实际意义，是一次函数章节的常见考法。
【难度系数】
0.7
12 如图,在平面直角坐标系中,正比例函数$y=\frac{3}{4}x$的图象与一次函数$y=-x+7$的图象交于点A.
(1) 求点A的坐标.
(2) 设x轴上有一点$P(a,0)$,过点P作x轴的垂线(垂线位于点A的右侧),分别交正比例函数$y=\frac{3}{4}x$的图象和一次函数$y=-x+7$的图象于B,C两点,连接OC.若$BC=\frac{7}{5}OA$,求$△ OBC$的面积.
(1) 求点A的坐标.
(2) 设x轴上有一点$P(a,0)$,过点P作x轴的垂线(垂线位于点A的右侧),分别交正比例函数$y=\frac{3}{4}x$的图象和一次函数$y=-x+7$的图象于B,C两点,连接OC.若$BC=\frac{7}{5}OA$,求$△ OBC$的面积.
答案
（1）由$\begin{cases} y=\dfrac{3}{4}x,\\ y=-x+7, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=4,\\ y=3. \end{cases}$ $\therefore$ 点$A$的坐标为$(4,3)$
（2）如图,过点$A$作$x$轴的垂线,垂足为$D$.由(1),得$A(4,3)$,$\therefore OD=4$,$AD=3$. 在$\mathrm{Rt}△ OAD$中,由勾股定理,得$OA=\sqrt{OD^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$. $\therefore BC=\dfrac{7}{5}OA=\dfrac{7}{5}× 5=7$.
$\because$ 点$P$的坐标为$(a,0)$,$\therefore$ 依题意,得点$B$的坐标为$(a,\dfrac{3}{4}a)$,点$C$的坐标为$(a,-a+7)$,$\therefore BC=\dfrac{3}{4}a-(-a+7)=\dfrac{7}{4}a-7$,
$\therefore \dfrac{7}{4}a-7=7$,解得$a=8$,即$OP=8$,$\therefore S_{△ OBC}=\dfrac{1}{2}BC· OP=\dfrac{1}{2}× 7× 8=28$
（2）如图,过点$A$作$x$轴的垂线,垂足为$D$.由(1),得$A(4,3)$,$\therefore OD=4$,$AD=3$. 在$\mathrm{Rt}△ OAD$中,由勾股定理,得$OA=\sqrt{OD^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$. $\therefore BC=\dfrac{7}{5}OA=\dfrac{7}{5}× 5=7$.
$\because$ 点$P$的坐标为$(a,0)$,$\therefore$ 依题意,得点$B$的坐标为$(a,\dfrac{3}{4}a)$,点$C$的坐标为$(a,-a+7)$,$\therefore BC=\dfrac{3}{4}a-(-a+7)=\dfrac{7}{4}a-7$,
$\therefore \dfrac{7}{4}a-7=7$,解得$a=8$,即$OP=8$,$\therefore S_{△ OBC}=\dfrac{1}{2}BC· OP=\dfrac{1}{2}× 7× 8=28$
解析
【分析】
(1) 两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此联立两个函数的解析式组成二元一次方程组，求解方程组即可得到点A的坐标。
(2) 首先利用点A的坐标，结合勾股定理计算OA的长度，再根据BC与OA的数量关系求出BC的长度；已知点P的横坐标为a，过P作x轴的垂线，点B、C的横坐标都为a，代入两个函数解析式即可得到两点的纵坐标，进而得到BC的长度表达式，结合已求的BC长度列方程求出a的值；最后△OBC以BC为底，底边上的高等于OP的长度（即a的值），代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
(1) 联立两个函数解析式，得方程组：
$\begin{cases} y=\dfrac{3}{4}x\\ y=-x+7 \end{cases}$
将$y=\dfrac{3}{4}x$代入$y=-x+7$，得$\dfrac{3}{4}x=-x+7$，
移项合并同类项得$\dfrac{7}{4}x=7$，解得$x=4$，
把$x=4$代入$y=\dfrac{3}{4}x$，得$y=3$，
∴点A的坐标为$(4,3)$。
(2) 过点A作x轴的垂线，垂足为D。
由(1)得$A(4,3)$，因此$OD=4$，$AD=3$，
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{OD^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
∴$BC=\dfrac{7}{5}OA=\dfrac{7}{5}× 5=7$。
∵点$P(a,0)$，BC为过P且垂直于x轴的线段，
∴点B横坐标为a，代入$y=\dfrac{3}{4}x$得$B(a,\dfrac{3}{4}a)$，
点C横坐标为a，代入$y=-x+7$得$C(a,-a+7)$，
∵垂线在点A右侧，B在C上方，
∴$BC=\dfrac{3}{4}a-(-a+7)=\dfrac{7}{4}a-7$，
结合$BC=7$列方程：$\dfrac{7}{4}a-7=7$，
解得$a=8$，即$OP=8$，
因此△OBC的面积为：
$S_{△ OBC}=\dfrac{1}{2}× BC × OP=\dfrac{1}{2}×7×8=28$。
【答案】
(1) $\boxed{(4,3)}$
(2) $\boxed{28}$
【知识点】
一次函数交点求解，勾股定理，坐标系面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何的综合基础题，解题核心是理解函数图象上点的坐标特征，会通过坐标表示线段长度，能帮助学生巩固函数与几何结合的解题逻辑。
【难度系数】
0.7
(1) 两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此联立两个函数的解析式组成二元一次方程组，求解方程组即可得到点A的坐标。
(2) 首先利用点A的坐标，结合勾股定理计算OA的长度，再根据BC与OA的数量关系求出BC的长度；已知点P的横坐标为a，过P作x轴的垂线，点B、C的横坐标都为a，代入两个函数解析式即可得到两点的纵坐标，进而得到BC的长度表达式，结合已求的BC长度列方程求出a的值；最后△OBC以BC为底，底边上的高等于OP的长度（即a的值），代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
(1) 联立两个函数解析式，得方程组：
$\begin{cases} y=\dfrac{3}{4}x\\ y=-x+7 \end{cases}$
将$y=\dfrac{3}{4}x$代入$y=-x+7$，得$\dfrac{3}{4}x=-x+7$，
移项合并同类项得$\dfrac{7}{4}x=7$，解得$x=4$，
把$x=4$代入$y=\dfrac{3}{4}x$，得$y=3$，
∴点A的坐标为$(4,3)$。
(2) 过点A作x轴的垂线，垂足为D。
由(1)得$A(4,3)$，因此$OD=4$，$AD=3$，
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{OD^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
∴$BC=\dfrac{7}{5}OA=\dfrac{7}{5}× 5=7$。
∵点$P(a,0)$，BC为过P且垂直于x轴的线段，
∴点B横坐标为a，代入$y=\dfrac{3}{4}x$得$B(a,\dfrac{3}{4}a)$，
点C横坐标为a，代入$y=-x+7$得$C(a,-a+7)$，
∵垂线在点A右侧，B在C上方，
∴$BC=\dfrac{3}{4}a-(-a+7)=\dfrac{7}{4}a-7$，
结合$BC=7$列方程：$\dfrac{7}{4}a-7=7$，
解得$a=8$，即$OP=8$，
因此△OBC的面积为：
$S_{△ OBC}=\dfrac{1}{2}× BC × OP=\dfrac{1}{2}×7×8=28$。
【答案】
(1) $\boxed{(4,3)}$
(2) $\boxed{28}$
【知识点】
一次函数交点求解，勾股定理，坐标系面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何的综合基础题，解题核心是理解函数图象上点的坐标特征，会通过坐标表示线段长度，能帮助学生巩固函数与几何结合的解题逻辑。
【难度系数】
0.7
