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1. (★★)已知正比例函数$y=(2m-1)x$的图象上有两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，且当$x_1＜x_2$时，有$y_1＞y_2$，那么$m$的取值范围是（）
A.$m＜\frac{1}{2}$
B.$m＞\frac{1}{2}$
C.$m＜2$
D.$m＞0$
A.$m＜\frac{1}{2}$
B.$m＞\frac{1}{2}$
C.$m＜2$
D.$m＞0$
答案
A
解析
由当$x_1＜x_2$时，有$y_1＞y_2$，可知该正比例函数中$y$随$x$的增大而减小，因此正比例函数的比例系数小于0，即$2m-1＜0$，解该不等式得$m＜\frac{1}{2}$。
2. (★★)若函数$y=3x-6$和$y=-x+4$有相等的函数值，则$x$的值为 （）
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{5}{2}$
C.1
D.$-\frac{5}{2}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{5}{2}$
C.1
D.$-\frac{5}{2}$
答案
B
解析
已知两个函数的函数值相等，因此可列等式：$3x - 6 = -x + 4$，移项得$3x + x = 4 + 6$，合并同类项得$4x=10$，系数化为1，解得$x=\frac{5}{2}$。
3. (★★)若$\sqrt{9-6a+a^2}=3-a$，则$a$与3的大小关系是（）
A.$a＜3$
B.$a≤3$
C.$a＞3$
D.$a≥3$
A.$a＜3$
B.$a≤3$
C.$a＞3$
D.$a≥3$
答案
B
解析
先对根号内的式子变形，可得$\sqrt{9-6a+a^2}=\sqrt{(3-a)^2}$，根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，原式可化为$|3-a|=3-a$。由绝对值的性质：绝对值等于它本身的数是非负数，因此$3-a≥0$，解得$a≤3$。
4. (★★)已知一次函数$y=kx+b$，当$1≤x≤5$时，$3≤y≤7$，则$k$的值为 （）
A.2
B.$-2$
C.2或5
D.1或$-1$
A.2
B.$-2$
C.2或5
D.1或$-1$
答案
D
解析
分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，因此$x=1$时$y=3$，$x=5$时$y=7$，代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}k+b=3\\5k+b=7\end{cases}$，两式相减得$4k=4$，解得$k=1$；
2. 当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，因此$x=1$时$y=7$，$x=5$时$y=3$，代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}k+b=7\\5k+b=3\end{cases}$，两式相减得$4k=-4$，解得$k=-1$。
综上，$k$的值为$1$或$-1$。
1. 当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，因此$x=1$时$y=3$，$x=5$时$y=7$，代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}k+b=3\\5k+b=7\end{cases}$，两式相减得$4k=4$，解得$k=1$；
2. 当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，因此$x=1$时$y=7$，$x=5$时$y=3$，代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}k+b=7\\5k+b=3\end{cases}$，两式相减得$4k=-4$，解得$k=-1$。
综上，$k$的值为$1$或$-1$。
5. (★★)在函数$y=\sqrt{x-2}$中，自变量$x$的取值范围是。
答案
解：
根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，可得
$x-2≥0$
解得 $x≥2$
故自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{x≥2}$。
根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，可得
$x-2≥0$
解得 $x≥2$
故自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{x≥2}$。
6. (★★)导弹飞行高度$h$(米)与飞行时间$t$(秒)之间存在数量关系$h=-\frac{1}{4}t^2 + 300t$，则当$t=15$时，$h=$.
答案
$\boldsymbol{4443.75}$
解析
解：
把$t=15$代入$h=-\frac{1}{4}t^2 + 300t$，得：
$\begin{aligned}h&=-\frac{1}{4}×15^2 + 300×15\\&=-\frac{1}{4}×225 + 4500\\&=-56.25 + 4500\\&=4443.75\end{aligned}$
把$t=15$代入$h=-\frac{1}{4}t^2 + 300t$，得：
$\begin{aligned}h&=-\frac{1}{4}×15^2 + 300×15\\&=-\frac{1}{4}×225 + 4500\\&=-56.25 + 4500\\&=4443.75\end{aligned}$
7. (★★)已知等式$2x+y=4$,则$y$关于$x$的函数关系式为.
答案
$\boldsymbol{y=-2x+4}$
解析
解：对等式$2x+y=4$进行移项，将$2x$移到等号右侧，可得
$y=-2x+4$。
$y=-2x+4$。
8. (★★)若直线$y=-2x+b$经过点$(3,5)$，则关于$x$的不等式$-2x+b＜5$的解集是________.
答案
$\boldsymbol{x＞3}$
解析
解：
∵ 直线$y=-2x+b$经过点$(3,5)$
∴ 将$x=3$，$y=5$代入解析式得：
$5 = -2× 3 + b$
解得$b=11$
∴ 不等式$-2x+b＜5$可化为$-2x+11＜5$
移项得：$-2x ＜ 5-11$
合并同类项得：$-2x ＜ -6$
系数化为1，得$x＞3$
∵ 直线$y=-2x+b$经过点$(3,5)$
∴ 将$x=3$，$y=5$代入解析式得：
$5 = -2× 3 + b$
解得$b=11$
∴ 不等式$-2x+b＜5$可化为$-2x+11＜5$
移项得：$-2x ＜ 5-11$
合并同类项得：$-2x ＜ -6$
系数化为1，得$x＞3$
9. (★★)有一边长为2 cm的正方形，若边长增加x cm，则面积的增加值$y(\mathrm{cm}^2)$与边长的增加值$x(\mathrm{cm})$之间的函数关系式是。
答案
解：
原正方形的面积为 $2^2 = 4\ \mathrm{cm}^2$，
边长增加$x\ \mathrm{cm}$后，新正方形的边长为$(2+x)\ \mathrm{cm}$，新面积为$(2+x)^2\ \mathrm{cm}^2$，
因此面积增加值$y = (2+x)^2 - 4$，
整理得函数关系式为：$y = x^2 + 4x \ (x≥0)$。
原正方形的面积为 $2^2 = 4\ \mathrm{cm}^2$，
边长增加$x\ \mathrm{cm}$后，新正方形的边长为$(2+x)\ \mathrm{cm}$，新面积为$(2+x)^2\ \mathrm{cm}^2$，
因此面积增加值$y = (2+x)^2 - 4$，
整理得函数关系式为：$y = x^2 + 4x \ (x≥0)$。
10. (★★)用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(m²)与一边长l(m)之间的函数关系式为，自变量l的取值范围是。
答案
函数关系式为$\boldsymbol{S=-l^2+30l}$，自变量$l$的取值范围是$\boldsymbol{0＜l＜30}$。
解析
解：
由题意，矩形场地的周长为60 m，若一边长为$l\ \mathrm{m}$，则其邻边长为$\frac{60}{2}-l=(30-l)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式：
$S=l(30-l)=-l^2+30l$
由矩形的边长为正数，可得不等式组：
$\begin{cases} l＞0 \\ 30-l＞0 \end{cases}$
解得$0＜l＜30$。
最终
由题意，矩形场地的周长为60 m，若一边长为$l\ \mathrm{m}$，则其邻边长为$\frac{60}{2}-l=(30-l)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式：
$S=l(30-l)=-l^2+30l$
由矩形的边长为正数，可得不等式组：
$\begin{cases} l＞0 \\ 30-l＞0 \end{cases}$
解得$0＜l＜30$。
最终
11.(★★★)出租车收费按路程计算，3 km内(包括3 km)收费10元，超过3 km的每增加1 km加收1.6元，则当路程$x≥3(\mathrm{km})$时，车费$y$(元)与$x$(km)之间的函数关系式为。
答案
解：
当$x≥3$时，3 km以内的固定收费为10元，超过3 km的路程为$(x-3)\ \mathrm{km}$，该部分的收费为$1.6(x-3)$元。
因此总车费$y$满足：
$\begin{aligned}y&=10 + 1.6(x-3)\\&=1.6x + 5.2\end{aligned}$
最终函数关系式为 $\boldsymbol{y=1.6x+5.2\ (x≥3)}$。
当$x≥3$时，3 km以内的固定收费为10元，超过3 km的路程为$(x-3)\ \mathrm{km}$，该部分的收费为$1.6(x-3)$元。
因此总车费$y$满足：
$\begin{aligned}y&=10 + 1.6(x-3)\\&=1.6x + 5.2\end{aligned}$
最终函数关系式为 $\boldsymbol{y=1.6x+5.2\ (x≥3)}$。
12.（★★★）原价为每千克10元的优质水果，若批发购买量在2000千克及以上，则有两种优惠方案可以选择.
第一种方案:按原价的8折出售,商家负责送货上门；
第二种方案:按原价的7折出售,但需要自己租车运回,租车的费用为4000元.
(1)分别写出两种方案的付款数y(元)与购买水果量x(千克)之间的函数关系式,并写明自变量x的取值范围；
(2)根据购买量判断哪种方案更加合算.
第一种方案:按原价的8折出售,商家负责送货上门；
第二种方案:按原价的7折出售,但需要自己租车运回,租车的费用为4000元.
(1)分别写出两种方案的付款数y(元)与购买水果量x(千克)之间的函数关系式,并写明自变量x的取值范围；
(2)根据购买量判断哪种方案更加合算.
答案
解：
(1) 第一种方案的付款数y与购买水果量x的函数关系式为：
$y_1 = 10 × 0.8x = 8x$，
自变量x的取值范围是$x ≥ 2000$；
第二种方案的付款数y与购买水果量x的函数关系式为：
$y_2 = 10 × 0.7x + 4000 = 7x + 4000$，
自变量x的取值范围是$x ≥ 2000$。
(2) 分三种情况比较两种方案的付款金额：
① 当$y_1 = y_2$时，$8x = 7x + 4000$，
解得$x = 4000$，
即当购买水果量为4000千克时，两种方案费用相同；
② 当$y_1 ＜ y_2$时，$8x ＜ 7x + 4000$，
解得$x ＜ 4000$，
结合$x ≥ 2000$，得$2000 ≤ x ＜ 4000$，
即当购买水果量大于等于2000千克且小于4000千克时，第一种方案更合算；
③ 当$y_1 ＞ y_2$时，$8x ＞ 7x + 4000$，
解得$x ＞ 4000$，
即当购买水果量大于4000千克时，第二种方案更合算。
答：(1) 第一种方案函数关系式为$y=8x\ (x≥2000)$，第二种方案函数关系式为$y=7x+4000\ (x≥2000)$；(2) 购买量为4000千克时两种方案费用相同，购买量在2000千克到4000千克之间（含2000千克，不含4000千克）时选第一种方案更合算，购买量大于4000千克时选第二种方案更合算。
(1) 第一种方案的付款数y与购买水果量x的函数关系式为：
$y_1 = 10 × 0.8x = 8x$，
自变量x的取值范围是$x ≥ 2000$；
第二种方案的付款数y与购买水果量x的函数关系式为：
$y_2 = 10 × 0.7x + 4000 = 7x + 4000$，
自变量x的取值范围是$x ≥ 2000$。
(2) 分三种情况比较两种方案的付款金额：
① 当$y_1 = y_2$时，$8x = 7x + 4000$，
解得$x = 4000$，
即当购买水果量为4000千克时，两种方案费用相同；
② 当$y_1 ＜ y_2$时，$8x ＜ 7x + 4000$，
解得$x ＜ 4000$，
结合$x ≥ 2000$，得$2000 ≤ x ＜ 4000$，
即当购买水果量大于等于2000千克且小于4000千克时，第一种方案更合算；
③ 当$y_1 ＞ y_2$时，$8x ＞ 7x + 4000$，
解得$x ＞ 4000$，
即当购买水果量大于4000千克时，第二种方案更合算。
答：(1) 第一种方案函数关系式为$y=8x\ (x≥2000)$，第二种方案函数关系式为$y=7x+4000\ (x≥2000)$；(2) 购买量为4000千克时两种方案费用相同，购买量在2000千克到4000千克之间（含2000千克，不含4000千克）时选第一种方案更合算，购买量大于4000千克时选第二种方案更合算。
