登录
1.[2026长沙芙蓉区期末]为了解学生的视力情况，从甲、乙两班各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，图中视力值均在格线上，则下列说法错误的是（
A.乙班视力值的众数是4.7
B.甲、乙两班视力值的平均数相等
C.甲、乙两班视力值的中位数相等
D.视力值的波动程度甲班大于乙班
D
）A.乙班视力值的众数是4.7
B.甲、乙两班视力值的平均数相等
C.甲、乙两班视力值的中位数相等
D.视力值的波动程度甲班大于乙班
答案
1. D 【点拨】甲班的视力值为4.8,4.9,4.6,4.8,4.7,4.5,4.6,4.7,所以平均数为$\frac{1}{8}×(4.8+4.9+4.6+4.8+4.7+4.5+4.6+4.7)=4.7$,中位数为$\frac{1}{2}×(4.7+4.7)=4.7$,方差为$\frac{1}{8}×[2×(4.8-4.7)^2+(4.9-4.7)^2+2×(4.6-4.7)^2+2×(4.7-4.7)^2+(4.5-4.7)^2]=0.015$;乙班的视力值为4.8,4.7,4.7,5.0,4.9,4.4,4.7,4.4,所以众数为4.7,平均数为$\frac{1}{8}×(4.8+4.7+4.7+5.0+4.9+4.4+4.7+4.4)=4.7$,中位数为$\frac{1}{2}×(4.7+4.7)=4.7$,方差为$\frac{1}{8}×[(4.8-4.7)^2+(4.9-4.7)^2+(5.0-4.7)^2+2×(4.4-4.7)^2+3×(4.7-4.7)^2]=0.04$.所以甲班视力值的平均数等于乙班视力值的平均数,甲班视力值的中位数等于乙班视力值的中位数,视力值的波动程度甲班小于乙班.所以D选项描述错误.故选D.
解析
【分析】
解决本题首先要结合折线统计图的图例，分别提取甲、乙两班8名学生的视力值原始数据，再根据众数、平均数、中位数、方差的定义和计算方法，逐一验证每个选项的描述是否正确，最终选出错误的选项即可。
【解析】
首先从图中提取两班的视力数据：
甲班8名学生视力值：4.8，4.9，4.6，4.8，4.7，4.5，4.6，4.7
乙班8名学生视力值：4.8，4.7，4.7，5.0，4.9，4.4，4.7，4.4
逐项判断选项：
A. 乙班数据中4.7出现次数最多（共3次），因此乙班视力值的众数是4.7，该选项描述正确；
B. 计算平均数：
甲班平均数$\overline{x}_甲=\frac{1}{8}×(4.8+4.9+4.6+4.8+4.7+4.5+4.6+4.7)=4.7$
乙班平均数$\overline{x}_乙=\frac{1}{8}×(4.8+4.7+4.7+5.0+4.9+4.4+4.7+4.4)=4.7$
两班平均数相等，该选项描述正确；
C. 计算中位数：
将甲班数据从小到大排序：4.5，4.6，4.6，4.7，4.7，4.8，4.8，4.9，中位数为第4、5个数据的平均值，即$\frac{4.7+4.7}{2}=4.7$
将乙班数据从小到大排序：4.4，4.4，4.7，4.7，4.7，4.8，4.9，5.0，中位数为$\frac{4.7+4.7}{2}=4.7$
两班中位数相等，该选项描述正确；
D. 数据波动程度由方差判断，方差越小波动越小：
甲班方差$s^2_甲=\frac{1}{8}×[2×(4.8-4.7)^2+(4.9-4.7)^2+2×(4.6-4.7)^2+2×(4.7-4.7)^2+(4.5-4.7)^2]=0.015$
乙班方差$s^2_乙=\frac{1}{8}×[(4.8-4.7)^2+(4.9-4.7)^2+(5.0-4.7)^2+2×(4.4-4.7)^2+3×(4.7-4.7)^2]=0.04$
$s^2_甲＜s^2_乙$，说明甲班视力值的波动程度小于乙班，该选项描述错误。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
折线统计图，统计量计算，方差的意义
【点评】
本题结合折线统计图考查统计核心知识，解题关键是准确提取原始数据，熟练掌握各常见统计量的计算方法和实际意义，计算过程需细心避免数据运算错误。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要结合折线统计图的图例，分别提取甲、乙两班8名学生的视力值原始数据，再根据众数、平均数、中位数、方差的定义和计算方法，逐一验证每个选项的描述是否正确，最终选出错误的选项即可。
【解析】
首先从图中提取两班的视力数据：
甲班8名学生视力值：4.8，4.9，4.6，4.8，4.7，4.5，4.6，4.7
乙班8名学生视力值：4.8，4.7，4.7，5.0，4.9，4.4，4.7，4.4
逐项判断选项：
A. 乙班数据中4.7出现次数最多（共3次），因此乙班视力值的众数是4.7，该选项描述正确；
B. 计算平均数：
甲班平均数$\overline{x}_甲=\frac{1}{8}×(4.8+4.9+4.6+4.8+4.7+4.5+4.6+4.7)=4.7$
乙班平均数$\overline{x}_乙=\frac{1}{8}×(4.8+4.7+4.7+5.0+4.9+4.4+4.7+4.4)=4.7$
两班平均数相等，该选项描述正确；
C. 计算中位数：
将甲班数据从小到大排序：4.5，4.6，4.6，4.7，4.7，4.8，4.8，4.9，中位数为第4、5个数据的平均值，即$\frac{4.7+4.7}{2}=4.7$
将乙班数据从小到大排序：4.4，4.4，4.7，4.7，4.7，4.8，4.9，5.0，中位数为$\frac{4.7+4.7}{2}=4.7$
两班中位数相等，该选项描述正确；
D. 数据波动程度由方差判断，方差越小波动越小：
甲班方差$s^2_甲=\frac{1}{8}×[2×(4.8-4.7)^2+(4.9-4.7)^2+2×(4.6-4.7)^2+2×(4.7-4.7)^2+(4.5-4.7)^2]=0.015$
乙班方差$s^2_乙=\frac{1}{8}×[(4.8-4.7)^2+(4.9-4.7)^2+(5.0-4.7)^2+2×(4.4-4.7)^2+3×(4.7-4.7)^2]=0.04$
$s^2_甲＜s^2_乙$，说明甲班视力值的波动程度小于乙班，该选项描述错误。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
折线统计图，统计量计算，方差的意义
【点评】
本题结合折线统计图考查统计核心知识，解题关键是准确提取原始数据，熟练掌握各常见统计量的计算方法和实际意义，计算过程需细心避免数据运算错误。
【难度系数】
0.7
2. 某校要从一个班级中选取12名同学组成礼仪队，八(1)班和八(2)班选取的学生身高(单位:cm)如下:八(1)班:168 167 170 166 168 166 171 168 167 170 169 170
八(2)班:164 165 169 170 165 171 170 170 169 167 166 171
请你利用四分位数和箱线图分析两个班礼仪队队员的身高.
八(2)班:164 165 169 170 165 171 170 170 169 167 166 171
请你利用四分位数和箱线图分析两个班礼仪队队员的身高.
答案
2. 【解】四分位数如下表：
|班级|最小值|$m_{25}$|$m_{50}$|$m_{75}$|最大值|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|八(1)班|166|167|168|170|171|
|八(2)班|164|165.5|169|170|171|
箱线图如图所示。
基于四分位数或箱线图,可以发现八(1)班身高的中位数与八(2)班的相差不大,但八(1)班身高的波动明显比八(2)班的要小,综上可知,八(1)班选取的礼仪队队员的身高比八(2)班要整齐.
解析
【分析】
要分析两个班礼仪队队员的身高情况，可按以下思路解题：第一步，先将两个班的身高数据分别按从小到大的顺序排列；第二步，根据四分位数的定义，分别计算两个班身高的最小值、25%分位数（下四分位数）、50%分位数（中位数）、75%分位数（上四分位数）和最大值；第三步，结合得到的四分位数和给出的箱线图，对比两个班身高的集中趋势和离散程度，波动越小说明身高越整齐。
【解析】
1. 计算八(1)班的四分位数：
将八(1)班12个身高数据从小到大排序：166，166，167，167，168，168，168，169，170，170，170，171。
最小值为166，最大值为171；
25%分位数位置为$12×25\%=3$，取第3、4个数据的平均数：$m_{25}=\frac{167+167}{2}=167$；
中位数位置为$12×50\%=6$，取第6、7个数据的平均数：$m_{50}=\frac{168+168}{2}=168$；
75%分位数位置为$12×75\%=9$，取第9、10个数据的平均数：$m_{75}=\frac{170+170}{2}=170$。
2. 计算八(2)班的四分位数：
将八(2)班12个身高数据从小到大排序：164，165，165，166，167，169，169，170，170，170，171，171。
最小值为164，最大值为171；
25%分位数位置为$12×25\%=3$，取第3、4个数据的平均数：$m_{25}=\frac{165+166}{2}=165.5$；
中位数位置为$12×50\%=6$，取第6、7个数据的平均数：$m_{50}=\frac{169+169}{2}=169$；
75%分位数位置为$12×75\%=9$，取第9、10个数据的平均数：$m_{75}=\frac{170+170}{2}=170$。
3. 对比分析：
两个班身高中位数分别为168cm、169cm，差距很小；八(1)班身高的极差、四分位距均小于八(2)班，结合箱线图也能看出八(1)班身高波动更小，说明八(1)班队员身高更整齐。
【答案】
四分位数如下表：
|班级|最小值|$m_{25}$|$m_{50}$|$m_{75}$|最大值|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|八(1)班|166|167|168|170|171|
|八(2)班|164|165.5|169|170|171|
箱线图如图所示。
基于四分位数或箱线图,可以发现八(1)班身高的中位数与八(2)班的相差不大,但八(1)班身高的波动明显比八(2)班的要小,综上可知,八(1)班选取的礼仪队队员的身高比八(2)班要整齐.
【知识点】
四分位数计算，箱线图解读，数据离散程度分析
【点评】
本题结合礼仪队选拔的实际场景，考查了用统计量描述数据特征的方法，通过四分位数和箱线图可以直观清晰地对比两组数据的集中趋势和波动情况，体现了统计知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
要分析两个班礼仪队队员的身高情况，可按以下思路解题：第一步，先将两个班的身高数据分别按从小到大的顺序排列；第二步，根据四分位数的定义，分别计算两个班身高的最小值、25%分位数（下四分位数）、50%分位数（中位数）、75%分位数（上四分位数）和最大值；第三步，结合得到的四分位数和给出的箱线图，对比两个班身高的集中趋势和离散程度，波动越小说明身高越整齐。
【解析】
1. 计算八(1)班的四分位数：
将八(1)班12个身高数据从小到大排序：166，166，167，167，168，168，168，169，170，170，170，171。
最小值为166，最大值为171；
25%分位数位置为$12×25\%=3$，取第3、4个数据的平均数：$m_{25}=\frac{167+167}{2}=167$；
中位数位置为$12×50\%=6$，取第6、7个数据的平均数：$m_{50}=\frac{168+168}{2}=168$；
75%分位数位置为$12×75\%=9$，取第9、10个数据的平均数：$m_{75}=\frac{170+170}{2}=170$。
2. 计算八(2)班的四分位数：
将八(2)班12个身高数据从小到大排序：164，165，165，166，167，169，169，170，170，170，171，171。
最小值为164，最大值为171；
25%分位数位置为$12×25\%=3$，取第3、4个数据的平均数：$m_{25}=\frac{165+166}{2}=165.5$；
中位数位置为$12×50\%=6$，取第6、7个数据的平均数：$m_{50}=\frac{169+169}{2}=169$；
75%分位数位置为$12×75\%=9$，取第9、10个数据的平均数：$m_{75}=\frac{170+170}{2}=170$。
3. 对比分析：
两个班身高中位数分别为168cm、169cm，差距很小；八(1)班身高的极差、四分位距均小于八(2)班，结合箱线图也能看出八(1)班身高波动更小，说明八(1)班队员身高更整齐。
【答案】
四分位数如下表：
|班级|最小值|$m_{25}$|$m_{50}$|$m_{75}$|最大值|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|八(1)班|166|167|168|170|171|
|八(2)班|164|165.5|169|170|171|
箱线图如图所示。
基于四分位数或箱线图,可以发现八(1)班身高的中位数与八(2)班的相差不大,但八(1)班身高的波动明显比八(2)班的要小,综上可知,八(1)班选取的礼仪队队员的身高比八(2)班要整齐.
【知识点】
四分位数计算，箱线图解读，数据离散程度分析
【点评】
本题结合礼仪队选拔的实际场景，考查了用统计量描述数据特征的方法，通过四分位数和箱线图可以直观清晰地对比两组数据的集中趋势和波动情况，体现了统计知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
3. 某银行有 A 和 B 两个理财经营团队.2025 年上半年这两个理财团队分别负责经营 12 项理财产品,收益率(单位:%)如下:
A:4.77 3.98 4.88 4.89 2.15 3.85
3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10
B:3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60
4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91
某同学想要利用四分位数分析 A,B 两个团队的经营水平.下表为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数.
两个团队理财产品收益率数据的
四分位数(单位:%)
请根据以上信息完成下列问题:
(1)表中 $a=$
(2)该同学基于四分位数绘制了团队 A 的箱线图如图所示,获得了团队 A 数据的直观表示.请你根据团队 A 的箱线图在图中补全团队 B 的箱线图,并根据箱线图对 A,B 两个团队的经营水平从总体经营效益、稳健度方面作出评价.
A:4.77 3.98 4.88 4.89 2.15 3.85
3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10
B:3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60
4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91
某同学想要利用四分位数分析 A,B 两个团队的经营水平.下表为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数.
两个团队理财产品收益率数据的
四分位数(单位:%)
请根据以上信息完成下列问题:
(1)表中 $a=$
3.635
,$b=$ 4.125
;(2)该同学基于四分位数绘制了团队 A 的箱线图如图所示,获得了团队 A 数据的直观表示.请你根据团队 A 的箱线图在图中补全团队 B 的箱线图,并根据箱线图对 A,B 两个团队的经营水平从总体经营效益、稳健度方面作出评价.
答案
3. 【解】(1)3.635;4.125
(2)补全团队 B 的箱线图,如图所示.
通过箱线图可知,团队 A 产品收益率的中位数与团队 B 的几乎相等,故可知两个团队的经营效益基本一样,但团队 A 的产品收益率明显比团队 B 的收益率的波动大,即团队 B 的经营水平更稳健,故对于稳健型的投资者,选择团队 B 的理财产品更合适.
解析
【分析】
(1) 求四分位数首先要将数据从小到大排序，再根据数据个数计算四分位数的位置：n个数据的第25百分位数位置为$i=n×25\%$，第75百分位数位置为$i=n×75\%$，若i为整数，则对应百分位数为第i个和第i+1个数据的平均数，据此计算即可得到a、b的值。
(2) 补全箱线图需要先确定B团队收益率的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值这5个关键数值，对应绘制即可；评价经营效益看中位数大小，评价稳健度看数据的波动范围大小。
【解析】
(1) 先将B团队12个收益率数据从小到大排序：
3.18，3.40，3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44
共12个数据，下四分位数（第25百分位数）的位置为$12×25\%=3$，是整数，因此下四分位数为第3个和第4个数据的平均数：
$a=\frac{3.60+3.67}{2}=3.635$
上四分位数（第75百分位数）的位置为$12×75\%=9$，是整数，因此上四分位数为第9个和第10个数据的平均数：
$b=\frac{4.10+4.15}{2}=4.125$
(2) 先计算B团队的5个关键统计量：最小值3.18%，下四分位数3.635%，中位数为第6、7个数据的平均数$\frac{3.87+3.91}{2}=3.89\%$，上四分位数4.125%，最大值4.44%，按照数值对应补全箱线图即可。
通过箱线图可知，团队A产品收益率的中位数与团队B的几乎相等，故可知两个团队的经营效益基本一样，但团队A的产品收益率明显比团队B的收益率的波动大，即团队B的经营水平更稳健，故对于稳健型的投资者，选择团队B的理财产品更合适。
【答案】
(1) 3.635；4.125
(2) 补全的箱线图如下：
通过箱线图可知，两个团队的经营效益基本一样，团队B的经营水平更稳健，对于稳健型的投资者选择团队B的理财产品更合适。
【知识点】
百分位数计算，箱线图，统计数据分析
【点评】
本题结合实际理财场景考查统计知识的应用，既考查了四分位数的计算方法，又要求学生能通过箱线图分析数据特征，有助于提升学生的数据分析能力和应用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
(1) 求四分位数首先要将数据从小到大排序，再根据数据个数计算四分位数的位置：n个数据的第25百分位数位置为$i=n×25\%$，第75百分位数位置为$i=n×75\%$，若i为整数，则对应百分位数为第i个和第i+1个数据的平均数，据此计算即可得到a、b的值。
(2) 补全箱线图需要先确定B团队收益率的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值这5个关键数值，对应绘制即可；评价经营效益看中位数大小，评价稳健度看数据的波动范围大小。
【解析】
(1) 先将B团队12个收益率数据从小到大排序：
3.18，3.40，3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44
共12个数据，下四分位数（第25百分位数）的位置为$12×25\%=3$，是整数，因此下四分位数为第3个和第4个数据的平均数：
$a=\frac{3.60+3.67}{2}=3.635$
上四分位数（第75百分位数）的位置为$12×75\%=9$，是整数，因此上四分位数为第9个和第10个数据的平均数：
$b=\frac{4.10+4.15}{2}=4.125$
(2) 先计算B团队的5个关键统计量：最小值3.18%，下四分位数3.635%，中位数为第6、7个数据的平均数$\frac{3.87+3.91}{2}=3.89\%$，上四分位数4.125%，最大值4.44%，按照数值对应补全箱线图即可。
通过箱线图可知，团队A产品收益率的中位数与团队B的几乎相等，故可知两个团队的经营效益基本一样，但团队A的产品收益率明显比团队B的收益率的波动大，即团队B的经营水平更稳健，故对于稳健型的投资者，选择团队B的理财产品更合适。
【答案】
(1) 3.635；4.125
(2) 补全的箱线图如下：
通过箱线图可知，两个团队的经营效益基本一样，团队B的经营水平更稳健，对于稳健型的投资者选择团队B的理财产品更合适。
【知识点】
百分位数计算，箱线图，统计数据分析
【点评】
本题结合实际理财场景考查统计知识的应用，既考查了四分位数的计算方法，又要求学生能通过箱线图分析数据特征，有助于提升学生的数据分析能力和应用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
