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2.先约分，再比较各组分数的大小。
$\frac{30}{36}$和$\frac{20}{24}$
$\frac{25}{35}$和$\frac{24}{42}$
$\frac{9}{12}$和$\frac{12}{16}$
$\frac{30}{36}$和$\frac{20}{24}$
$\frac{25}{35}$和$\frac{24}{42}$
$\frac{9}{12}$和$\frac{12}{16}$
答案
2. $\frac{30}{36}=\frac{20}{24}$ $\frac{25}{35}＞\frac{24}{42}$ $\frac{9}{12}=\frac{12}{16}$ 约分略
解析
【分析】
解题思路：要比较各组分数的大小，先根据分数的基本性质对分数进行约分，化成最简分数后再比较大小即可。步骤为：1. 找出每个分数分子和分母的最大公因数；2. 分子、分母同时除以最大公因数得到最简分数；3. 比较同组两个最简分数的大小，即为原分数的大小关系。
【解析】
第一组：
对$\frac{30}{36}$约分：30和36的最大公因数是6，$\frac{30}{36}=\frac{30÷6}{36÷6}=\frac{5}{6}$
对$\frac{20}{24}$约分：20和24的最大公因数是4，$\frac{20}{24}=\frac{20÷4}{24÷4}=\frac{5}{6}$
因为$\frac{5}{6}=\frac{5}{6}$，所以$\frac{30}{36}=\frac{20}{24}$
第二组：
对$\frac{25}{35}$约分：25和35的最大公因数是5，$\frac{25}{35}=\frac{25÷5}{35÷5}=\frac{5}{7}$
对$\frac{24}{42}$约分：24和42的最大公因数是6，$\frac{24}{42}=\frac{24÷6}{42÷6}=\frac{4}{7}$
因为$\frac{5}{7}＞\frac{4}{7}$，所以$\frac{25}{35}＞\frac{24}{42}$
第三组：
对$\frac{9}{12}$约分：9和12的最大公因数是3，$\frac{9}{12}=\frac{9÷3}{12÷3}=\frac{3}{4}$
对$\frac{12}{16}$约分：12和16的最大公因数是4，$\frac{12}{16}=\frac{12÷4}{16÷4}=\frac{3}{4}$
因为$\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$，所以$\frac{9}{12}=\frac{12}{16}$
【答案】
$\frac{30}{36}=\frac{20}{24}$；$\frac{25}{35}＞\frac{24}{42}$；$\frac{9}{12}=\frac{12}{16}$
【知识点】
分数的基本性质；约分；分数大小比较
【点评】
本题是分数比较大小的基础题型，核心是掌握约分的方法，能快速找到分子分母的最大公因数，约分后再比较大小会更简便。
【难度系数】
0.8
解题思路：要比较各组分数的大小，先根据分数的基本性质对分数进行约分，化成最简分数后再比较大小即可。步骤为：1. 找出每个分数分子和分母的最大公因数；2. 分子、分母同时除以最大公因数得到最简分数；3. 比较同组两个最简分数的大小，即为原分数的大小关系。
【解析】
第一组：
对$\frac{30}{36}$约分：30和36的最大公因数是6，$\frac{30}{36}=\frac{30÷6}{36÷6}=\frac{5}{6}$
对$\frac{20}{24}$约分：20和24的最大公因数是4，$\frac{20}{24}=\frac{20÷4}{24÷4}=\frac{5}{6}$
因为$\frac{5}{6}=\frac{5}{6}$，所以$\frac{30}{36}=\frac{20}{24}$
第二组：
对$\frac{25}{35}$约分：25和35的最大公因数是5，$\frac{25}{35}=\frac{25÷5}{35÷5}=\frac{5}{7}$
对$\frac{24}{42}$约分：24和42的最大公因数是6，$\frac{24}{42}=\frac{24÷6}{42÷6}=\frac{4}{7}$
因为$\frac{5}{7}＞\frac{4}{7}$，所以$\frac{25}{35}＞\frac{24}{42}$
第三组：
对$\frac{9}{12}$约分：9和12的最大公因数是3，$\frac{9}{12}=\frac{9÷3}{12÷3}=\frac{3}{4}$
对$\frac{12}{16}$约分：12和16的最大公因数是4，$\frac{12}{16}=\frac{12÷4}{16÷4}=\frac{3}{4}$
因为$\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$，所以$\frac{9}{12}=\frac{12}{16}$
【答案】
$\frac{30}{36}=\frac{20}{24}$；$\frac{25}{35}＞\frac{24}{42}$；$\frac{9}{12}=\frac{12}{16}$
【知识点】
分数的基本性质；约分；分数大小比较
【点评】
本题是分数比较大小的基础题型，核心是掌握约分的方法，能快速找到分子分母的最大公因数，约分后再比较大小会更简便。
【难度系数】
0.8
3. 求出下面每组数的最小公倍数。
15 和 25
18 和 24
16 和 9
4 和 12
15 和 25
18 和 24
16 和 9
4 和 12
答案
3. 75 72 144 12
解析
【分析】
求两个数的最小公倍数时，我们可以先观察两个数的关系，再选择合适的方法：①如果两个数是倍数关系，最小公倍数就是其中的较大数；②如果两个数只有公因数1（互质），最小公倍数就是它们的乘积；③如果两个数有除1外的其他公因数，用短除法计算，把所有除数和最后得到的两个互质的商相乘，结果就是最小公倍数。接下来我们逐组分析：15和25、18和24属于普通情况，用短除法计算；16和9互质，用乘积计算；4和12是倍数关系，取较大数即可。
【解析】
1. 计算15和25的最小公倍数：
用短除法，先除以两个数的公因数5，得到商3和5，3和5互质，因此最小公倍数为 $5×3×5=75$。
2. 计算18和24的最小公倍数：
用短除法，先除以公因数2得到商9和12，再除以公因数3得到商3和4，3和4互质，因此最小公倍数为 $2×3×3×4=72$。
3. 计算16和9的最小公倍数：
16和9只有公因数1，属于互质数，因此最小公倍数为 $16×9=144$。
4. 计算4和12的最小公倍数：
12是4的倍数，两个数为倍数关系，因此最小公倍数为较大数12。
【答案】
75；72；144；12
【知识点】
最小公倍数计算；短除法；特殊数最小公倍数规律
【点评】
本题属于最小公倍数的基础计算题，熟练掌握短除法的运算步骤，以及互质数、倍数关系两类特殊情况的最小公倍数计算规律，就能快速准确得出结果，计算时注意不要漏乘短除法中的除数或最终的商。
【难度系数】
0.8
求两个数的最小公倍数时，我们可以先观察两个数的关系，再选择合适的方法：①如果两个数是倍数关系，最小公倍数就是其中的较大数；②如果两个数只有公因数1（互质），最小公倍数就是它们的乘积；③如果两个数有除1外的其他公因数，用短除法计算，把所有除数和最后得到的两个互质的商相乘，结果就是最小公倍数。接下来我们逐组分析：15和25、18和24属于普通情况，用短除法计算；16和9互质，用乘积计算；4和12是倍数关系，取较大数即可。
【解析】
1. 计算15和25的最小公倍数：
用短除法，先除以两个数的公因数5，得到商3和5，3和5互质，因此最小公倍数为 $5×3×5=75$。
2. 计算18和24的最小公倍数：
用短除法，先除以公因数2得到商9和12，再除以公因数3得到商3和4，3和4互质，因此最小公倍数为 $2×3×3×4=72$。
3. 计算16和9的最小公倍数：
16和9只有公因数1，属于互质数，因此最小公倍数为 $16×9=144$。
4. 计算4和12的最小公倍数：
12是4的倍数，两个数为倍数关系，因此最小公倍数为较大数12。
【答案】
75；72；144；12
【知识点】
最小公倍数计算；短除法；特殊数最小公倍数规律
【点评】
本题属于最小公倍数的基础计算题，熟练掌握短除法的运算步骤，以及互质数、倍数关系两类特殊情况的最小公倍数计算规律，就能快速准确得出结果，计算时注意不要漏乘短除法中的除数或最终的商。
【难度系数】
0.8
四、解决问题我最棒
1. 王叔叔4月份的工作天数占整个月天数的几分之几？休息天数占整个月天数的几分之几？（结果化成最简分数）
1. 王叔叔4月份的工作天数占整个月天数的几分之几？休息天数占整个月天数的几分之几？（结果化成最简分数）
答案
1. $\frac{11}{15}$ $\frac{4}{15}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确4月份的总天数，4月是小月，共有30天。求工作天数占全月天数的几分之几，用工作天数除以4月总天数即可；求休息天数的占比，先通过总天数减去工作天数算出休息天数，再用休息天数除以总天数，最后把得到的分数约成最简分数即可。
【解析】
首先确定4月份一共有30天。
1. 计算工作天数的占比：
工作天数为22天，占全月天数的比例为$22÷30=\frac{22}{30}$，分子分母同时除以最大公因数2约分，得到$\frac{22÷2}{30÷2}=\frac{11}{15}$。
2. 计算休息天数的占比：
休息天数 = 总天数 - 工作天数 = $30-22=8$（天），休息天数占全月天数的比例为$8÷30=\frac{8}{30}$，约分后得到$\frac{8÷2}{30÷2}=\frac{4}{15}$，也可以用单位“1”减去工作天数的占比计算：$1-\frac{11}{15}=\frac{4}{15}$。
【答案】
工作天数占整个月天数的$\frac{11}{15}$，休息天数占整个月天数的$\frac{4}{15}$
【知识点】
分数与除法的关系、约分、年月日的认识
【点评】
这是分数基础应用类题目，结合生活常识出题，解题的关键是先确定4月份的总天数，再按照“求一个数是另一个数的几分之几用除法计算”的规则列式，最后注意结果要化为最简分数。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确4月份的总天数，4月是小月，共有30天。求工作天数占全月天数的几分之几，用工作天数除以4月总天数即可；求休息天数的占比，先通过总天数减去工作天数算出休息天数，再用休息天数除以总天数，最后把得到的分数约成最简分数即可。
【解析】
首先确定4月份一共有30天。
1. 计算工作天数的占比：
工作天数为22天，占全月天数的比例为$22÷30=\frac{22}{30}$，分子分母同时除以最大公因数2约分，得到$\frac{22÷2}{30÷2}=\frac{11}{15}$。
2. 计算休息天数的占比：
休息天数 = 总天数 - 工作天数 = $30-22=8$（天），休息天数占全月天数的比例为$8÷30=\frac{8}{30}$，约分后得到$\frac{8÷2}{30÷2}=\frac{4}{15}$，也可以用单位“1”减去工作天数的占比计算：$1-\frac{11}{15}=\frac{4}{15}$。
【答案】
工作天数占整个月天数的$\frac{11}{15}$，休息天数占整个月天数的$\frac{4}{15}$
【知识点】
分数与除法的关系、约分、年月日的认识
【点评】
这是分数基础应用类题目，结合生活常识出题，解题的关键是先确定4月份的总天数，再按照“求一个数是另一个数的几分之几用除法计算”的规则列式，最后注意结果要化为最简分数。
【难度系数】
0.8
2.将一张长30厘米、宽18厘米的长方形纸片裁成若干个同样大小、面积尽可能大的正方形，长方形纸片没有剩余，可以裁出几个正方形？
答案
2. 15个
解析
【分析】
要裁出若干个同样大小、面积尽可能大且没有剩余的正方形，核心是确定正方形的边长：正方形的边长必须同时是长方形长30厘米和宽18厘米的因数，要使正方形面积最大，边长就应该是30和18的最大公因数。求出边长后，分别计算长方形的长、宽方向能裁出的正方形个数，两者相乘就是总个数。
【解析】
第一步：求30和18的最大公因数，用短除法计算：
先把30和18同时除以公因数2，得到15和9；
再把15和9同时除以公因数3，得到5和3，此时5和3只有公因数1，停止计算。
所以30和18的最大公因数是$2×3=6$，即裁出的正方形边长最大是6厘米。
第二步：计算长方向可裁的正方形个数：$30÷6=5$（个）
第三步：计算宽方向可裁的正方形个数：$18÷6=3$（个）
第四步：计算总个数：$5×3=15$（个）
【答案】
15个
【知识点】
1.最大公因数的计算
2.最大公因数的实际应用
【点评】
本题是最大公因数在实际生活中的典型应用题型，解题的关键是理解“面积最大且无剩余”的要求对应求长和宽的最大公因数，能够帮助学生建立数学知识与实际问题的关联，提升应用意识。
【难度系数】
0.7
要裁出若干个同样大小、面积尽可能大且没有剩余的正方形，核心是确定正方形的边长：正方形的边长必须同时是长方形长30厘米和宽18厘米的因数，要使正方形面积最大，边长就应该是30和18的最大公因数。求出边长后，分别计算长方形的长、宽方向能裁出的正方形个数，两者相乘就是总个数。
【解析】
第一步：求30和18的最大公因数，用短除法计算：
先把30和18同时除以公因数2，得到15和9；
再把15和9同时除以公因数3，得到5和3，此时5和3只有公因数1，停止计算。
所以30和18的最大公因数是$2×3=6$，即裁出的正方形边长最大是6厘米。
第二步：计算长方向可裁的正方形个数：$30÷6=5$（个）
第三步：计算宽方向可裁的正方形个数：$18÷6=3$（个）
第四步：计算总个数：$5×3=15$（个）
【答案】
15个
【知识点】
1.最大公因数的计算
2.最大公因数的实际应用
【点评】
本题是最大公因数在实际生活中的典型应用题型，解题的关键是理解“面积最大且无剩余”的要求对应求长和宽的最大公因数，能够帮助学生建立数学知识与实际问题的关联，提升应用意识。
【难度系数】
0.7
3.学校美术小组有男生12人，女生8人，女生人数是男生人数的几分之几？男生人数占全组总人数的几分之几？
答案
3. $\frac{2}{3}$ $\frac{3}{5}$
解析
【分析】
解决本题首先要掌握“求一个数是另一个数的几分之几”的解题方法：用比较量除以作为单位“1”的量，最后将结果约分为最简分数。
第一个问题求女生人数是男生人数的几分之几，单位“1”是男生人数，直接用女生人数除以男生人数计算即可。第二个问题求男生人数占全组总人数的几分之几，单位“1”是全组总人数，需要先通过男生人数加女生人数算出全组总人数，再用男生人数除以全组总人数，约分后得到结果。
【解析】
1. 计算女生人数是男生人数的几分之几：
单位“1”为男生人数，列式计算：
$8÷12=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$
2. 计算男生人数占全组总人数的几分之几：
先计算全组总人数：$12+8=20$（人）
单位“1”为全组总人数，列式计算：
$12÷20=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{2}{3}$；$\frac{3}{5}$
【知识点】
求一个数是另一个数的几分之几；分数约分；整数加法应用
【点评】
本题是分数基础应用题，解题关键是找准单位“1”的量，明确除法算式中被除数和除数对应的数量，计算得出分数后要注意约分为最简分数。
【难度系数】
0.85
解决本题首先要掌握“求一个数是另一个数的几分之几”的解题方法：用比较量除以作为单位“1”的量，最后将结果约分为最简分数。
第一个问题求女生人数是男生人数的几分之几，单位“1”是男生人数，直接用女生人数除以男生人数计算即可。第二个问题求男生人数占全组总人数的几分之几，单位“1”是全组总人数，需要先通过男生人数加女生人数算出全组总人数，再用男生人数除以全组总人数，约分后得到结果。
【解析】
1. 计算女生人数是男生人数的几分之几：
单位“1”为男生人数，列式计算：
$8÷12=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$
2. 计算男生人数占全组总人数的几分之几：
先计算全组总人数：$12+8=20$（人）
单位“1”为全组总人数，列式计算：
$12÷20=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{2}{3}$；$\frac{3}{5}$
【知识点】
求一个数是另一个数的几分之几；分数约分；整数加法应用
【点评】
本题是分数基础应用题，解题关键是找准单位“1”的量，明确除法算式中被除数和除数对应的数量，计算得出分数后要注意约分为最简分数。
【难度系数】
0.85
