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6.已知 $x=\sqrt{3}+5$，求代数式 $x^2 -10x +25$ 的值。
答案
6.解:因为$x=\sqrt{3}+5$,
所以$x^2 -10x +25=(x-5)^2=(\sqrt{3}+5-5)^2=3$.
所以$x^2 -10x +25=(x-5)^2=(\sqrt{3}+5-5)^2=3$.
解析
【分析】
拿到这道求代数式值的题目，首先观察所求代数式的结构，发现$x^2-10x+25$符合完全平方公式的形式，优先考虑用因式分解将代数式简化，再代入数值计算，这样可以避免直接代入$x$计算二次根式平方的复杂运算，减少出错概率。具体步骤是先利用完全平方公式把原式分解为$(x-5)^2$，再将$x=\sqrt{3}+5$代入，抵消掉常数5后计算二次根式的平方即可得到结果。
【解析】
解：已知$x=\sqrt{3}+5$，
先对代数式因式分解：
$x^2 -10x +25=(x-5)^2$
将$x=\sqrt{3}+5$代入得：
$(\sqrt{3}+5-5)^2=(\sqrt{3})^2=3$
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式，二次根式运算，代数式求值
【点评】
本题属于二次根式求值的基础题型，核心技巧是先通过因式分解简化代数式，再代入数值运算，相比直接代入原式计算更简便，能有效降低计算错误率，是此类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.85
拿到这道求代数式值的题目，首先观察所求代数式的结构，发现$x^2-10x+25$符合完全平方公式的形式，优先考虑用因式分解将代数式简化，再代入数值计算，这样可以避免直接代入$x$计算二次根式平方的复杂运算，减少出错概率。具体步骤是先利用完全平方公式把原式分解为$(x-5)^2$，再将$x=\sqrt{3}+5$代入，抵消掉常数5后计算二次根式的平方即可得到结果。
【解析】
解：已知$x=\sqrt{3}+5$，
先对代数式因式分解：
$x^2 -10x +25=(x-5)^2$
将$x=\sqrt{3}+5$代入得：
$(\sqrt{3}+5-5)^2=(\sqrt{3})^2=3$
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式，二次根式运算，代数式求值
【点评】
本题属于二次根式求值的基础题型，核心技巧是先通过因式分解简化代数式，再代入数值运算，相比直接代入原式计算更简便，能有效降低计算错误率，是此类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.85
7.已知$ a=\sqrt{7}-\sqrt{5},b=\sqrt{7}+\sqrt{5} $,求下列各式的值:
(1)$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$;
(2)$3a^2 -ab +3b^2$.
(1)$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$;
(2)$3a^2 -ab +3b^2$.
答案
7.解:因为$a=\sqrt{7}-\sqrt{5},b=\sqrt{7}+\sqrt{5}$,
所以$a+b=(\sqrt{7}-\sqrt{5})+(\sqrt{7}+\sqrt{5})=2\sqrt{7}$,
$ab=(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})=7-5=2$.
(1)$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{a^2 + b^2}{ab}=\frac{(a + b)^2 - 2ab}{ab}=$
$\frac{(2\sqrt{7})^2 - 2×2}{2}=12$.
(2)$3a^2 -ab +3b^2=3(a^2 + b^2)-ab=$
$3(a + b)^2 -7ab=3×(2\sqrt{7})^2 -7×2=70$.
所以$a+b=(\sqrt{7}-\sqrt{5})+(\sqrt{7}+\sqrt{5})=2\sqrt{7}$,
$ab=(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})=7-5=2$.
(1)$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{a^2 + b^2}{ab}=\frac{(a + b)^2 - 2ab}{ab}=$
$\frac{(2\sqrt{7})^2 - 2×2}{2}=12$.
(2)$3a^2 -ab +3b^2=3(a^2 + b^2)-ab=$
$3(a + b)^2 -7ab=3×(2\sqrt{7})^2 -7×2=70$.
解析
【分析】
观察a和b的形式，二者是共轭二次根式，若直接将a、b代入所求式子计算会非常繁琐，因此优先先计算a+b与ab的整体值，再将待求的代数式利用分式通分、完全平方公式变形为用a+b和ab表示的形式，最后整体代入计算即可简化运算过程。
【解析】
先计算$a+b$和$ab$的值：
已知$a=\sqrt{7}-\sqrt{5},b=\sqrt{7}+\sqrt{5}$，
所以$a+b=(\sqrt{7}-\sqrt{5})+(\sqrt{7}+\sqrt{5})=2\sqrt{7}$，
$ab=(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2=7-5=2$。
(1) 对$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$变形计算：
先通分得$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{a^2 + b^2}{ab}$，
结合完全平方公式变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入数值：
原式$=\frac{(a + b)^2 - 2ab}{ab}=\frac{(2\sqrt{7})^2 - 2×2}{2}=\frac{28-4}{2}=12$。
(2) 对$3a^2 -ab +3b^2$变形计算：
整理代数式得$3a^2 -ab +3b^2=3(a^2 + b^2)-ab$，
结合$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$进一步变形为$3(a+b)^2-7ab$，代入数值：
原式$=3×(2\sqrt{7})^2 -7×2=3×28-14=84-14=70$。
【答案】
(1)$\boxed{12}$；(2)$\boxed{70}$
【知识点】
二次根式运算，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题是二次根式求值的典型题型，核心技巧是利用共轭二次根式的特点先求出a+b、ab的整体值，再结合完全平方公式的变形对待求式化简，大幅降低运算量，熟练掌握代数式的恒等变形是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
观察a和b的形式，二者是共轭二次根式，若直接将a、b代入所求式子计算会非常繁琐，因此优先先计算a+b与ab的整体值，再将待求的代数式利用分式通分、完全平方公式变形为用a+b和ab表示的形式，最后整体代入计算即可简化运算过程。
【解析】
先计算$a+b$和$ab$的值：
已知$a=\sqrt{7}-\sqrt{5},b=\sqrt{7}+\sqrt{5}$，
所以$a+b=(\sqrt{7}-\sqrt{5})+(\sqrt{7}+\sqrt{5})=2\sqrt{7}$，
$ab=(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2=7-5=2$。
(1) 对$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$变形计算：
先通分得$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{a^2 + b^2}{ab}$，
结合完全平方公式变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入数值：
原式$=\frac{(a + b)^2 - 2ab}{ab}=\frac{(2\sqrt{7})^2 - 2×2}{2}=\frac{28-4}{2}=12$。
(2) 对$3a^2 -ab +3b^2$变形计算：
整理代数式得$3a^2 -ab +3b^2=3(a^2 + b^2)-ab$，
结合$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$进一步变形为$3(a+b)^2-7ab$，代入数值：
原式$=3×(2\sqrt{7})^2 -7×2=3×28-14=84-14=70$。
【答案】
(1)$\boxed{12}$；(2)$\boxed{70}$
【知识点】
二次根式运算，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题是二次根式求值的典型题型，核心技巧是利用共轭二次根式的特点先求出a+b、ab的整体值，再结合完全平方公式的变形对待求式化简，大幅降低运算量，熟练掌握代数式的恒等变形是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
8.已知 $0 ＜ a ＜ 1$.
(1)比较大小：$\sqrt{a}$
(2)若 $a + \frac{1}{a} = 6$，求 $\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}}$ 的值.
(1)比较大小：$\sqrt{a}$
＜
$\frac{1}{\sqrt{a}}$（填“＞”“＜”或“=”）；(2)若 $a + \frac{1}{a} = 6$，求 $\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}}$ 的值.
答案
8.解:(1)＜
(2)当$a + \frac{1}{a}=6$时,$(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}})^2=a+\frac{1}{a}-2=6-2=4$.
所以$|\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}|=2$.
由(1)知$\sqrt{a}＜\frac{1}{\sqrt{a}}$,所以$\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}＜0$,
所以$\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}=-2$.
(2)当$a + \frac{1}{a}=6$时,$(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}})^2=a+\frac{1}{a}-2=6-2=4$.
所以$|\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}|=2$.
由(1)知$\sqrt{a}＜\frac{1}{\sqrt{a}}$,所以$\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}＜0$,
所以$\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}=-2$.
解析
【分析】
(1) 比较$\sqrt{a}$和$\frac{1}{\sqrt{a}}$的大小，已知$0＜a＜1$，根据二次根式的性质，此时$\sqrt{a}$是小于1的正数，它的倒数$\frac{1}{\sqrt{a}}$是大于1的正数，即可直接得出大小关系；也可通过特殊值法验证，比如取$a=\frac{1}{4}$，计算得$\sqrt{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{\sqrt{a}}=2$，明显$\sqrt{a}$更小。
(2) 求$\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}$的值时，直接计算难度较大，可先计算该式的平方，利用完全平方公式展开后，刚好出现已知条件$a+\frac{1}{a}$，代入数值即可算出平方的结果，开平方后得到绝对值，再结合第一问的大小关系判断所求式子的符号，即可得到最终结果。
【解析】
(1) 因为$0＜a＜1$，所以$\sqrt{a}＜1$，$\frac{1}{\sqrt{a}}＞1$，因此$\sqrt{a}＜\frac{1}{\sqrt{a}}$。
(2) 根据完全平方公式对所求式变形可得：
$(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}})^2=(\sqrt{a})^2-2·\sqrt{a}·\frac{1}{\sqrt{a}}+(\frac{1}{\sqrt{a}})^2=a+\frac{1}{a}-2$
将$a+\frac{1}{a}=6$代入上式，得：
$(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}})^2=6-2=4$
所以$|\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}|=2$
由(1)知$\sqrt{a}＜\frac{1}{\sqrt{a}}$，因此$\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}＜0$，故$\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}=-2$。
【答案】
(1)＜；(2)-2
【知识点】
二次根式大小比较，完全平方公式，二次根式化简
【点评】
本题考查二次根式的性质与运算，解题核心是利用完全平方公式对所求代数式变形，同时要注意根据已知条件判断代数式的正负，避免忽略符号导致错误。
【难度系数】
0.7
(1) 比较$\sqrt{a}$和$\frac{1}{\sqrt{a}}$的大小，已知$0＜a＜1$，根据二次根式的性质，此时$\sqrt{a}$是小于1的正数，它的倒数$\frac{1}{\sqrt{a}}$是大于1的正数，即可直接得出大小关系；也可通过特殊值法验证，比如取$a=\frac{1}{4}$，计算得$\sqrt{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{\sqrt{a}}=2$，明显$\sqrt{a}$更小。
(2) 求$\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}$的值时，直接计算难度较大，可先计算该式的平方，利用完全平方公式展开后，刚好出现已知条件$a+\frac{1}{a}$，代入数值即可算出平方的结果，开平方后得到绝对值，再结合第一问的大小关系判断所求式子的符号，即可得到最终结果。
【解析】
(1) 因为$0＜a＜1$，所以$\sqrt{a}＜1$，$\frac{1}{\sqrt{a}}＞1$，因此$\sqrt{a}＜\frac{1}{\sqrt{a}}$。
(2) 根据完全平方公式对所求式变形可得：
$(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}})^2=(\sqrt{a})^2-2·\sqrt{a}·\frac{1}{\sqrt{a}}+(\frac{1}{\sqrt{a}})^2=a+\frac{1}{a}-2$
将$a+\frac{1}{a}=6$代入上式，得：
$(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}})^2=6-2=4$
所以$|\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}|=2$
由(1)知$\sqrt{a}＜\frac{1}{\sqrt{a}}$，因此$\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}＜0$，故$\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}=-2$。
【答案】
(1)＜；(2)-2
【知识点】
二次根式大小比较，完全平方公式，二次根式化简
【点评】
本题考查二次根式的性质与运算，解题核心是利用完全平方公式对所求代数式变形，同时要注意根据已知条件判断代数式的正负，避免忽略符号导致错误。
【难度系数】
0.7
