1.如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$交于点$O$，过点$O$作直线$EF$，分别交$AB$，$CD$于点$E$，$F$，求证：$BE=DF$。

证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AB// CD,OB=OD$，
$\therefore ∠ EBO=∠ FDO,∠ BEO=∠ DFO.$
在$△ BOE$ 和$△ DOF$ 中，
$\begin{cases}∠ BEO=∠ DFO,\\∠ EBO=∠ FDO,\\OB=OD,\end{cases}$
$\therefore △ BOE≌△ DOF(\mathrm{AAS}),$
$\therefore BE=DF.$

【分析】
要证明BE=DF，可通过证明两条线段所在的三角形全等来实现。首先根据平行四边形的性质，可得到对角线互相平分即OB=OD，且对边AB//CD，进而推出两组内错角相等，满足全等三角形的AAS判定条件，证明△BOE≌△DOF后，根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AB// CD,OB=OD$，
$\therefore ∠ EBO=∠ FDO,∠ BEO=∠ DFO.$
在$△ BOE$ 和$△ DOF$ 中，
$\begin{cases}∠ BEO=∠ DFO,\\∠ EBO=∠ FDO,\\OB=OD,\end{cases}$
$\therefore △ BOE≌△ DOF(\mathrm{AAS}),$
$\therefore BE=DF.$
【答案】
证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AB// CD,OB=OD$，
$\therefore ∠ EBO=∠ FDO,∠ BEO=∠ DFO.$
在$△ BOE$ 和$△ DOF$ 中，
$\begin{cases}∠ BEO=∠ DFO,\\∠ EBO=∠ FDO,\\OB=OD,\end{cases}$
$\therefore △ BOE≌△ DOF(\mathrm{AAS}),$
$\therefore BE=DF.$
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考查利用平行四边形性质结合全等三角形证明线段相等的思路，解题时需熟练掌握平行四边形的基本性质和常见的全等判定定理。
【难度系数】
0.8

2.【尺规作图】如图,在△ABC中,AB=AC,∠CAD为△ABC的外角.
(1)尺规作图:作∠CAD的平分线AP,并在AP上截取AE=BC(保留作图痕迹,不写作法);
(2)连接CE,求证:四边形ABCE为平行四边形.

数学

(1)解:如图所示.

(2)证明:如图.
$\because AB=AC,$
$\therefore ∠ B=∠ ACB.$
$\because AP$ 平分$∠ CAD,$
$\therefore ∠ DAC=2∠ DAE.$
$\because ∠ DAC=∠ B+∠ ACB=2∠ B,$
$\therefore 2∠ DAE=2∠ B,\mathrm{即}∠ DAE=∠ B,$
$\therefore AE// BC.$
$\because AE=BC,$
$\therefore$ 四边形 $ABCE$ 为平行四边形.

【分析】
(1) 作图部分：首先明确两个作图要求，一是作∠CAD的角平分线，按照尺规作角平分线的标准步骤操作即可；二是在角平分线上截取AE=BC，只需用圆规量取BC的长度，以A为圆心、该长度为半径画弧，与AP的交点即为E，注意保留所有作图痕迹。
(2) 证明部分：要证四边形ABCE是平行四边形，已知条件给出了AE=BC，因此只需证明AE//BC即可。结合已知AB=AC，可先利用等腰三角形两底角相等的性质得到∠B=∠ACB，再结合三角形外角性质得到∠CAD=∠B+∠ACB=2∠B，再由AP平分∠CAD得到∠CAD=2∠DAE，进而推导得到∠DAE=∠B，同位角相等即可证明AE//BC，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证。
【解析】
(1) 作图操作：
① 作角平分线：以A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AD、AC于两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧在∠CAD内部交于一点，过A和该交点作射线得到AP，即为∠CAD的平分线。
② 截取等长线段：用圆规量取BC的长度，以A为圆心、BC长为半径画弧，与AP的交点即为E，完成AE=BC的截取。
(2) 证明过程：
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠ACB（等腰三角形两底角相等）。
∵ ∠CAD是△ABC的外角，
∴ ∠DAC=∠B+∠ACB=2∠B（三角形外角等于不相邻两内角的和）。
∵ AP平分∠CAD，
∴ ∠DAC=2∠DAE（角平分线的定义）。
∴ 2∠DAE=2∠B，即∠DAE=∠B，
∴ AE//BC（同位角相等，两直线平行）。
又
∵ AE=BC，
∴ 四边形ABCE为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
(1)解:如图所示.

(2)证明:
$\because AB=AC,$
$\therefore ∠ B=∠ ACB.$
$\because AP$ 平分$∠ CAD,$
$\therefore ∠ DAC=2∠ DAE.$
$\because ∠ DAC=∠ B+∠ ACB=2∠ B,$
$\therefore 2∠ DAE=2∠ B,\mathrm{即}∠ DAE=∠ B,$
$\therefore AE// BC.$
$\because AE=BC,$
$\therefore$ 四边形 $ABCE$ 为平行四边形.
【知识点】
尺规作图、等腰三角形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，既考查了尺规作图的操作规范，也考查了等腰三角形性质、三角形外角性质、平行四边形判定等核心几何知识点，解题时要注意作图痕迹完整，证明过程逻辑严密，每一步推导都要有对应的定理作为依据。
【难度系数】
0.8