3.如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，且 $E$，$F$，$G$，$H$ 分别是 $AO$，$BO$，$CO$，$DO$ 的中点.
(1)求证:四边形 $EFGH$ 是平行四边形；
(2)若 $AC+BD=36$，$AB=10$，求 $△ ABO$ 的周长.

(1)证明:$\because E,F,G,H$ 分别是 $AO,BO,CO,DO$ 的中点，
$\therefore EF$ 是 $△ OAB$ 的中位线，$GH$ 是$△ OCD$ 的中位线，
$\therefore EF// AB,EF=\frac{1}{2}AB,GH// CD,GH=\frac{1}{2}CD.$
$\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形，
$\therefore AB// CD,AB=CD,$
$\therefore EF// GH,EF=GH,$
$\therefore$ 四边形 $EFGH$ 是平行四边形.
(2)解:$\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形，
$\therefore OA=\frac{1}{2}AC,OB=\frac{1}{2}BD,$
$\therefore OA+OB=\frac{1}{2}(AC+BD)=18,$
$\therefore △ ABO$ 的周长 $=OA+OB+AB=18+10=28.$

【分析】
(1) 要证明四边形EFGH是平行四边形，可选择证明一组对边平行且相等的判定方法。题目给出四个点都是线段中点，可联想到三角形中位线定理，得到EF与AB、GH与CD的位置、数量关系，再结合原平行四边形对边平行且相等的性质，即可推导出EF和GH平行且相等，完成证明。
(2) 求△ABO的周长，就是求OA+OB+AB的和，已知AB长度，只需算出OA+OB即可。利用平行四边形对角线互相平分的性质，可将OA、OB分别转化为AC、BD的一半，结合已知AC+BD的和，即可求出OA+OB的值，最终得到周长。
【解析】
(1) 证明：
$\because E,F,G,H$ 分别是 $AO,BO,CO,DO$ 的中点，
$\therefore EF$ 是 $△ OAB$ 的中位线，$GH$ 是$△ OCD$ 的中位线，
$\therefore EF// AB,EF=\frac{1}{2}AB,GH// CD,GH=\frac{1}{2}CD.$
$\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形，
$\therefore AB// CD,AB=CD,$
$\therefore EF// GH,EF=GH,$
$\therefore$ 四边形 $EFGH$ 是平行四边形。
(2) 解：
$\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形，
$\therefore OA=\frac{1}{2}AC,OB=\frac{1}{2}BD,$
$\therefore OA+OB=\frac{1}{2}(AC+BD)=\frac{1}{2}×36=18,$
$\therefore △ ABO$ 的周长 $=OA+OB+AB=18+10=28.$
【答案】
(1) 四边形EFGH是平行四边形，证明成立；
(2) $28$
【知识点】
平行四边形的判定；三角形中位线定理；平行四边形的性质
【点评】
本题属于平行四边形相关的基础题型，综合考查了平行四边形的性质、判定以及三角形中位线定理，解题核心是熟练掌握相关定理，准确梳理线段之间的数量、位置关系。
【难度系数】
0.8

4.如图,在$□ ABCD$中,AF平分$∠ BAD$交BC于点F,CE平分$∠ BCD$交AD于点E.
(1)若$AD=12$,$AB=8$,求CF的长;
(2)连接BE与AF相交于点G,连接DF与CE相交于点H,连接EF,GH.求证:EF和GH互相平分.

(1)解:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD// BC,BC=AD=12.$
$\therefore ∠ DAF=∠ AFB.$
$\because AF$ 平分$∠ BAD,$
$\therefore ∠ BAF=∠ DAF,$
$\therefore ∠ AFB=∠ BAF,$
$\therefore BF=AB=8,$
$\therefore CF=BC-BF=12-8=4.$
(2)证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD// BC,AD=BC,∠ BAD=∠ BCD,$
$\therefore ∠ DAF=∠ AFB.$
$\because AF$ 平分$∠ BAD,CE$ 平分$∠ BCD,$
$\therefore ∠ DAF=\frac{1}{2}∠ BAD,∠ FCE=\frac{1}{2}∠ BCD.$
$\therefore ∠ DAF=∠ FCE.$
$\therefore ∠ FCE=∠ AFB,$
$\therefore AF// CE.$
又 $AE// CF,$
$\therefore$ 四边形 $AFCE$ 是平行四边形，
$\therefore AE=CF.$
$\therefore AD-AE=BC-CF,\mathrm{即 }DE=BF.$
又 $AD// BC,$
$\therefore$ 四边形 $BFDE$ 是平行四边形，
$\therefore BE// DF.$
又 $AF// CE,$
$\therefore$ 四边形 $EGFH$ 是平行四边形，
$\therefore EF$ 和 $GH$ 互相平分.

【分析】
(1) 要求CF的长，已知BC的长度（平行四边形对边相等，BC=AD=12），只需求出BF的长度即可。结合平行四边形对边平行的性质，可得AF截AD、BC得到的内错角∠DAF=∠AFB，再结合AF是角平分线，可推出∠BAF=∠AFB，即△ABF为等腰三角形，BF=AB，即可算出CF。
(2) 要证明EF和GH互相平分，根据平行四边形对角线互相平分的性质，只需证明四边形EGFH是平行四边形即可。先利用平行四边形的性质和角平分线的定义证明AF//CE，再结合AE//CF证得四边形AFCE是平行四边形，得到AE=CF，进而推出DE=BF，再证四边形BFDE是平行四边形得到BE//DF，即可得到四边形EGFH两组对边分别平行，判定其为平行四边形，即可得证。
【解析】
(1) 解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$BC=AD=12$，
∴ $∠DAF=∠AFB$，
∵ AF平分$∠BAD$，
∴ $∠BAF=∠DAF$，
∴ $∠AFB=∠BAF$，
∴ $BF=AB=8$，
∴ $CF=BC-BF=12-8=4$。
(2) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD=BC$，$∠BAD=∠BCD$，
∴ $∠DAF=∠AFB$，
∵ AF平分$∠BAD$，CE平分$∠BCD$，
∴ $∠DAF=\frac{1}{2}∠BAD$，$∠FCE=\frac{1}{2}∠BCD$，
∴ $∠DAF=∠FCE$，
∴ $∠FCE=∠AFB$，
∴ $AF// CE$，
又
∵ $AE// CF$，
∴ 四边形AFCE是平行四边形，
∴ $AE=CF$，
∴ $AD-AE=BC-CF$，即$DE=BF$，
又
∵ $AD// BC$，
∴ 四边形BFDE是平行四边形，
∴ $BE// DF$，
又
∵ $AF// CE$，
∴ 四边形EGFH是平行四边形，
∴ EF和GH互相平分。
【答案】
(1) $\boldsymbol{CF=4}$；(2) EF和GH互相平分，证明见解析。
【知识点】
平行四边形的性质与判定，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是平行四边形的常考综合题，解题核心是灵活运用平行四边形的性质和判定定理，同时掌握“平行线+角平分线”的组合可推出等腰三角形这一常用结论，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7