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1. 下列说法正确的是 （
A.若$\sqrt{a^2}=-a$，则$a＜0$
B.若$\sqrt{a^2}=a$，则$a＞0$
C.$\sqrt{a^4b^8}=a^2b^4$
D.5的平方根是$\sqrt{5}$
C
）A.若$\sqrt{a^2}=-a$，则$a＜0$
B.若$\sqrt{a^2}=a$，则$a＞0$
C.$\sqrt{a^4b^8}=a^2b^4$
D.5的平方根是$\sqrt{5}$
答案
1.C
解析
【分析】
本题主要考查二次根式的性质与平方根的相关概念，解题时需结合$\sqrt{a^2}=|a|$的性质、平方根的定义逐一分析每个选项，排除错误选项即可得到正确答案。思考时要注意特殊值0的验证，以及平方根和算术平方根的区别。
【解析】
我们先明确核心知识点：①二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，且二次根式的结果为非负数；②正数的平方根有两个，它们互为相反数，正的平方根是算术平方根。
对各选项逐一分析：
选项A：若$\sqrt{a^2}=-a$，即$|a|=-a$，满足条件的$a$的取值范围是$a≤0$，选项漏掉了$a=0$的情况，故A错误；
选项B：若$\sqrt{a^2}=a$，即$|a|=a$，满足条件的$a$的取值范围是$a≥0$，选项漏掉了$a=0$的情况，故B错误；
选项C：先将被开方数变形：$a^4b^8=(a^2b^4)^2$，且$a^2≥0$、$b^4≥0$，因此$\sqrt{(a^2b^4)^2}=|a^2b^4|=a^2b^4$，故C正确；
选项D：5的平方根是$\pm\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$只是5的算术平方根，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的性质，平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于忽略a=0的特殊情况，以及混淆平方根和算术平方根的概念，学习时要注意牢记概念的适用范围，遇到带字母的二次根式化简时要注意结果的非负性。
【难度系数】
0.7
本题主要考查二次根式的性质与平方根的相关概念，解题时需结合$\sqrt{a^2}=|a|$的性质、平方根的定义逐一分析每个选项，排除错误选项即可得到正确答案。思考时要注意特殊值0的验证，以及平方根和算术平方根的区别。
【解析】
我们先明确核心知识点：①二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，且二次根式的结果为非负数；②正数的平方根有两个，它们互为相反数，正的平方根是算术平方根。
对各选项逐一分析：
选项A：若$\sqrt{a^2}=-a$，即$|a|=-a$，满足条件的$a$的取值范围是$a≤0$，选项漏掉了$a=0$的情况，故A错误；
选项B：若$\sqrt{a^2}=a$，即$|a|=a$，满足条件的$a$的取值范围是$a≥0$，选项漏掉了$a=0$的情况，故B错误；
选项C：先将被开方数变形：$a^4b^8=(a^2b^4)^2$，且$a^2≥0$、$b^4≥0$，因此$\sqrt{(a^2b^4)^2}=|a^2b^4|=a^2b^4$，故C正确；
选项D：5的平方根是$\pm\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$只是5的算术平方根，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的性质，平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于忽略a=0的特殊情况，以及混淆平方根和算术平方根的概念，学习时要注意牢记概念的适用范围，遇到带字母的二次根式化简时要注意结果的非负性。
【难度系数】
0.7
2.如果$\sqrt{x+3} · \sqrt{x-3} = \sqrt{x^2 -9}$，那么$x$的取值范围是（
A.$x≥3$
B.$x≥-3$
C.$-3≤ x≤3$
D.$x≤-3$或$x≥3$
A
）A.$x≥3$
B.$x≥-3$
C.$-3≤ x≤3$
D.$x≤-3$或$x≥3$
答案
2.A
解析
【分析】
要确定x的取值范围，需依据二次根式乘法法则的成立条件分析：二次根式乘法公式$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立的前提是等式左侧的两个二次根式都有意义，即被开方数均为非负数，因此只需列出对应被开方数的限制条件，解不等式组即可得到x的范围，注意不能仅考虑等号右侧的被开方数非负，忽略左侧根式的有意义要求。
【解析】
根据二次根式乘法法则的适用条件，若$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立，则需满足$\begin{cases}a≥0 \\ b≥0\end{cases}$。
对应本题可列出不等式组：
$\begin{cases}x+3≥0 \\x-3≥0\end{cases}$
解第一个不等式$x+3≥0$，得$x≥-3$；
解第二个不等式$x-3≥0$，得$x≥3$；
取两个解集的公共部分，得$x≥3$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘法法则
【点评】
本题是二次根式运算的基础易错题，不少同学容易只考虑等式右侧$\sqrt{x^2-9}$的被开方数$x^2-9≥0$，错选D，忽略了等式左侧的每个二次根式都必须有意义才符合乘法法则的适用要求，解题时要注意从等式成立的前提条件入手分析。
【难度系数】
0.6
要确定x的取值范围，需依据二次根式乘法法则的成立条件分析：二次根式乘法公式$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立的前提是等式左侧的两个二次根式都有意义，即被开方数均为非负数，因此只需列出对应被开方数的限制条件，解不等式组即可得到x的范围，注意不能仅考虑等号右侧的被开方数非负，忽略左侧根式的有意义要求。
【解析】
根据二次根式乘法法则的适用条件，若$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立，则需满足$\begin{cases}a≥0 \\ b≥0\end{cases}$。
对应本题可列出不等式组：
$\begin{cases}x+3≥0 \\x-3≥0\end{cases}$
解第一个不等式$x+3≥0$，得$x≥-3$；
解第二个不等式$x-3≥0$，得$x≥3$；
取两个解集的公共部分，得$x≥3$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘法法则
【点评】
本题是二次根式运算的基础易错题，不少同学容易只考虑等式右侧$\sqrt{x^2-9}$的被开方数$x^2-9≥0$，错选D，忽略了等式左侧的每个二次根式都必须有意义才符合乘法法则的适用要求，解题时要注意从等式成立的前提条件入手分析。
【难度系数】
0.6
3.已知$a＜b$，化简$\sqrt{-a^3b}$的正确结果是
$\boldsymbol{(\quad)}$
A.$-a\sqrt{-ab}$
B.$-a\sqrt{ab}$
C.$a\sqrt{ab}$
D.$a\sqrt{-ab}$
$\boldsymbol{(\quad)}$
A.$-a\sqrt{-ab}$
B.$-a\sqrt{ab}$
C.$a\sqrt{ab}$
D.$a\sqrt{-ab}$
答案
3.A
解析
【分析】
要化简二次根式，首先需明确二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，据此先推导a、b的符号关系：第一步由被开方数$-a^3b≥0$得到$a^3b≤0$，说明a、b异号或其中一个为0；第二步结合已知$a＜b$，排除a为正的情况（若a＞0则b＞a＞0，$a^3b＞0$不符合要求），因此确定$a＜0$、$b≥0$；最后将被开方数拆分为含完全平方的形式，结合二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，根据a的符号去绝对值即可得到化简结果。
【解析】
解：要使二次根式$\sqrt{-a^3b}$有意义，则被开方数满足：
$-a^3b≥0$，即$a^3b≤0$，可知a、b异号或至少一个为0。
$\because a ＜ b$，若$a＞0$，则$b＞a＞0$，此时$a^3b＞0$，与$a^3b≤0$矛盾，
$\therefore a＜0$，$b≥0$，则$-ab＞0$。
对原式化简：
$\sqrt{-a^3b}=\sqrt{a^2·(-ab)}=\sqrt{a^2}·\sqrt{-ab}$
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，且$a＜0$，因此$\sqrt{a^2}=|a|=-a$，代入得：
原式$=-a\sqrt{-ab}$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题是二次根式化简的常考题型，易错点是忽略字母的正负性，直接将$\sqrt{a^2}$化简为a导致符号错误，解题核心是先结合已知条件确定字母的符号，再按照二次根式的性质规范化简。
【难度系数】
0.6
要化简二次根式，首先需明确二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，据此先推导a、b的符号关系：第一步由被开方数$-a^3b≥0$得到$a^3b≤0$，说明a、b异号或其中一个为0；第二步结合已知$a＜b$，排除a为正的情况（若a＞0则b＞a＞0，$a^3b＞0$不符合要求），因此确定$a＜0$、$b≥0$；最后将被开方数拆分为含完全平方的形式，结合二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，根据a的符号去绝对值即可得到化简结果。
【解析】
解：要使二次根式$\sqrt{-a^3b}$有意义，则被开方数满足：
$-a^3b≥0$，即$a^3b≤0$，可知a、b异号或至少一个为0。
$\because a ＜ b$，若$a＞0$，则$b＞a＞0$，此时$a^3b＞0$，与$a^3b≤0$矛盾，
$\therefore a＜0$，$b≥0$，则$-ab＞0$。
对原式化简：
$\sqrt{-a^3b}=\sqrt{a^2·(-ab)}=\sqrt{a^2}·\sqrt{-ab}$
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，且$a＜0$，因此$\sqrt{a^2}=|a|=-a$，代入得：
原式$=-a\sqrt{-ab}$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题是二次根式化简的常考题型，易错点是忽略字母的正负性，直接将$\sqrt{a^2}$化简为a导致符号错误，解题核心是先结合已知条件确定字母的符号，再按照二次根式的性质规范化简。
【难度系数】
0.6
4.计算$\sqrt{a} · \sqrt{\frac{a}{b}} ÷ \sqrt{ab} · \sqrt{\frac{1}{ab}}$的结果是（
A.$\frac{1}{ab^2}\sqrt{ab}$
B.$\frac{1}{ab}\sqrt{ab}$
C.$\frac{\sqrt{b}}{b^2}$
D.$b\sqrt{ab}$
C
）A.$\frac{1}{ab^2}\sqrt{ab}$
B.$\frac{1}{ab}\sqrt{ab}$
C.$\frac{\sqrt{b}}{b^2}$
D.$b\sqrt{ab}$
答案
4.C
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘除混合运算，解题思路如下：首先回忆二次根式乘除的运算法则：二次根式的乘除属于同级运算，可先将所有二次根式的被开方数统一进行乘除运算，再对结果开方化简；运算时注意遵循从左到右的顺序，最终结果要化为最简二次根式，避免分母出现根号。
【解析】
根据二次根式乘除运算法则，将所有运算合并到同一根号下计算：
原式$=\sqrt{a · \frac{a}{b} ÷ ab · \frac{1}{ab}}$
先计算根号内的乘除运算：
$a · \frac{a}{b} ÷ ab · \frac{1}{ab} = a · \frac{a}{b} · \frac{1}{ab} · \frac{1}{ab} = \frac{a^2}{a^2b^3} = \frac{1}{b^3}$
再对结果化简为最简二次根式：
$\sqrt{\frac{1}{b^3}} = \sqrt{\frac{1}{b^2 · b}} = \frac{1}{b\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b}}{b · \sqrt{b} · \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b}}{b^2}$
因此结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式乘除运算，二次根式化简，分母有理化
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，解题时将根号内的被开方数先统一运算再化简，能有效降低计算出错率，需注意最终结果要符合最简二次根式的要求，不要遗漏分母有理化的步骤。
【难度系数】
0.6
本题考查二次根式的乘除混合运算，解题思路如下：首先回忆二次根式乘除的运算法则：二次根式的乘除属于同级运算，可先将所有二次根式的被开方数统一进行乘除运算，再对结果开方化简；运算时注意遵循从左到右的顺序，最终结果要化为最简二次根式，避免分母出现根号。
【解析】
根据二次根式乘除运算法则，将所有运算合并到同一根号下计算：
原式$=\sqrt{a · \frac{a}{b} ÷ ab · \frac{1}{ab}}$
先计算根号内的乘除运算：
$a · \frac{a}{b} ÷ ab · \frac{1}{ab} = a · \frac{a}{b} · \frac{1}{ab} · \frac{1}{ab} = \frac{a^2}{a^2b^3} = \frac{1}{b^3}$
再对结果化简为最简二次根式：
$\sqrt{\frac{1}{b^3}} = \sqrt{\frac{1}{b^2 · b}} = \frac{1}{b\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b}}{b · \sqrt{b} · \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b}}{b^2}$
因此结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式乘除运算，二次根式化简，分母有理化
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，解题时将根号内的被开方数先统一运算再化简，能有效降低计算出错率，需注意最终结果要符合最简二次根式的要求，不要遗漏分母有理化的步骤。
【难度系数】
0.6
5. 将 $x\sqrt{-\dfrac{1}{x}}$ 根号外的因式移入根号内，则结果是（
A.$\sqrt{x}$
B.$-\sqrt{-x}$
C.$-\sqrt{x}$
D.$\sqrt{-x}$
B
）A.$\sqrt{x}$
B.$-\sqrt{-x}$
C.$-\sqrt{x}$
D.$\sqrt{-x}$
答案
5.B
解析
【分析】
要解决将根号外因式移入根号内的问题，首先需要根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，明确x的正负性；再根据二次根式的性质，将根号外的非负因式平方后移入根号内，注意负数要把负号留在根号外，最后化简即可得到结果。
【解析】
第一步：确定x的取值范围
要使二次根式$\sqrt{-\dfrac{1}{x}}$有意义，被开方数必须非负且分母不为0，即：
$-\dfrac{1}{x}≥0$且$x≠0$，解得$x＜0$。
第二步：将根号外的因式移入根号内
因为$x＜0$，所以$x$是负数，可将原式变形为：
$x\sqrt{-\dfrac{1}{x}} = -(-x)\sqrt{-\dfrac{1}{x}}$
其中$-x$是正数，可平方后移入根号内，得：
$-\sqrt{(-x)^2·(-\dfrac{1}{x})}$
第三步：化简计算
计算根号内的式子：$(-x)^2·(-\dfrac{1}{x})=x^2·(-\dfrac{1}{x})=-x$
因此原式化简结果为$-\sqrt{-x}$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式化简的典型题型，易错点是忽略x的取值范围，直接将x移入根号内导致符号错误。解题的关键是先根据二次根式被开方数非负的要求确定字母的正负，再处理根号外的符号，避免出错。
【难度系数】
0.6
要解决将根号外因式移入根号内的问题，首先需要根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，明确x的正负性；再根据二次根式的性质，将根号外的非负因式平方后移入根号内，注意负数要把负号留在根号外，最后化简即可得到结果。
【解析】
第一步：确定x的取值范围
要使二次根式$\sqrt{-\dfrac{1}{x}}$有意义，被开方数必须非负且分母不为0，即：
$-\dfrac{1}{x}≥0$且$x≠0$，解得$x＜0$。
第二步：将根号外的因式移入根号内
因为$x＜0$，所以$x$是负数，可将原式变形为：
$x\sqrt{-\dfrac{1}{x}} = -(-x)\sqrt{-\dfrac{1}{x}}$
其中$-x$是正数，可平方后移入根号内，得：
$-\sqrt{(-x)^2·(-\dfrac{1}{x})}$
第三步：化简计算
计算根号内的式子：$(-x)^2·(-\dfrac{1}{x})=x^2·(-\dfrac{1}{x})=-x$
因此原式化简结果为$-\sqrt{-x}$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式化简的典型题型，易错点是忽略x的取值范围，直接将x移入根号内导致符号错误。解题的关键是先根据二次根式被开方数非负的要求确定字母的正负，再处理根号外的符号，避免出错。
【难度系数】
0.6
6. 如果 $ m ＜ 0, n ＜ 0 $，那么 $ (\sqrt{-m})^2 + \sqrt{(-n)^2} $ 的值是
$-m-n$
。答案
6.$-m-n$
解析
【分析】
要化简这个式子，需用到二次根式的两个核心性质：①$(\sqrt{a})^2 = a$（$a≥0$）；②$\sqrt{a^2} = |a|$。首先结合已知$m＜0、n＜0$的条件，先判断每一项中被开方数的正负性，再分别套用性质化简两项，最后合并结果即可。
【解析】
已知$m＜0$，$n＜0$，因此$-m＞0$，$-n＞0$：
1. 化简第一项$(\sqrt{-m})^2$：
根据二次根式性质$(\sqrt{a})^2 = a$（$a≥0$），这里$a=-m＞0$，因此$(\sqrt{-m})^2 = -m$；
2. 化简第二项$\sqrt{(-n)^2}$：
先计算根号内的平方得$\sqrt{(-n)^2} = \sqrt{n^2}$，再根据性质$\sqrt{a^2}=|a|$得$\sqrt{n^2}=|n|$；
因为$n＜0$，根据绝对值的化简规则，负数的绝对值是它的相反数，因此$|n|=-n$；
3. 合并两项结果：$(\sqrt{-m})^2 + \sqrt{(-n)^2} = -m + (-n) = -m-n$。
【答案】
$-m-n$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题的关键是牢记二次根式运算结果的非负性，结合字母的取值范围正确化简，要特别注意开平方后符号的判断，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
要化简这个式子，需用到二次根式的两个核心性质：①$(\sqrt{a})^2 = a$（$a≥0$）；②$\sqrt{a^2} = |a|$。首先结合已知$m＜0、n＜0$的条件，先判断每一项中被开方数的正负性，再分别套用性质化简两项，最后合并结果即可。
【解析】
已知$m＜0$，$n＜0$，因此$-m＞0$，$-n＞0$：
1. 化简第一项$(\sqrt{-m})^2$：
根据二次根式性质$(\sqrt{a})^2 = a$（$a≥0$），这里$a=-m＞0$，因此$(\sqrt{-m})^2 = -m$；
2. 化简第二项$\sqrt{(-n)^2}$：
先计算根号内的平方得$\sqrt{(-n)^2} = \sqrt{n^2}$，再根据性质$\sqrt{a^2}=|a|$得$\sqrt{n^2}=|n|$；
因为$n＜0$，根据绝对值的化简规则，负数的绝对值是它的相反数，因此$|n|=-n$；
3. 合并两项结果：$(\sqrt{-m})^2 + \sqrt{(-n)^2} = -m + (-n) = -m-n$。
【答案】
$-m-n$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题的关键是牢记二次根式运算结果的非负性，结合字母的取值范围正确化简，要特别注意开平方后符号的判断，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
7.如果一个长方体的长为$2\sqrt{6}$ cm，宽为$\sqrt{3}$ cm，高为$\sqrt{2}$ cm，那么它的体积为
12
$\mathrm{cm}^3$.答案
7.12
解析
【分析】
解题时首先回忆长方体的体积计算公式：体积=长×宽×高，将题目给出的长、宽、高代入公式后，得到含二次根式的乘法算式，再运用二次根式的乘法运算法则（$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，$a≥0,b≥0$）对算式进行计算化简，最终得到体积结果。
【解析】
解：长方体体积公式为$V = 长×宽×高$，将已知数值代入得：
$\begin{aligned}V&=2\sqrt{6}×\sqrt{3}×\sqrt{2}\\&=2×\sqrt{6×3×2}\\&=2×\sqrt{36}\\&=2×6\\&=12(\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
【答案】
12
【知识点】
长方体体积计算；二次根式的乘法运算
【点评】
本题是基础运算类题目，将几何体积公式和二次根式运算结合考查，计算时优先将所有被开方数统一相乘再开方，可简化计算步骤，减少计算失误。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆长方体的体积计算公式：体积=长×宽×高，将题目给出的长、宽、高代入公式后，得到含二次根式的乘法算式，再运用二次根式的乘法运算法则（$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，$a≥0,b≥0$）对算式进行计算化简，最终得到体积结果。
【解析】
解：长方体体积公式为$V = 长×宽×高$，将已知数值代入得：
$\begin{aligned}V&=2\sqrt{6}×\sqrt{3}×\sqrt{2}\\&=2×\sqrt{6×3×2}\\&=2×\sqrt{36}\\&=2×6\\&=12(\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
【答案】
12
【知识点】
长方体体积计算；二次根式的乘法运算
【点评】
本题是基础运算类题目，将几何体积公式和二次根式运算结合考查，计算时优先将所有被开方数统一相乘再开方，可简化计算步骤，减少计算失误。
【难度系数】
0.9
8.使$|a| ≤ 5 + \sqrt{5}$成立的整数a的最小值为
$-7$
答案
8.$-7$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步，先估算无理数√5的近似值，得到5+√5的大致范围；第二步，根据绝对值的性质解不等式|a|≤5+√5，得到a的取值范围；第三步，在a的取值范围内找出所有整数，再确定最小的整数即可，解题时要注意验证边界附近的整数是否符合不等式要求，避免出错。
【解析】
第一步，估算5+√5的取值：
因为2²=4，3²=9，所以√5在2和3之间，进一步计算得√5≈2.236，因此5+√5≈5+2.236=7.236。
第二步，解绝对值不等式：
根据绝对值的性质，若|a|≤b（b＞0），则-b≤a≤b，代入得：
-7.236 ≤ a ≤ 7.236
第三步，找符合条件的最小整数：
在-7.236到7.236之间的整数有-7、-6、-5……6、7，其中最小的整数是-7，验证可知|-7|=7≤7.236，符合要求；而-8的绝对值是8＞7.236，不符合要求。
【答案】
-7
【知识点】
绝对值的性质，无理数的估算
【点评】
本题结合无理数估算和绝对值性质考查整数解的求解，解题核心是准确估算5+√5的范围，易错点是容易误把-8当成最小值，需要注意验证边界整数是否符合不等式要求。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步，先估算无理数√5的近似值，得到5+√5的大致范围；第二步，根据绝对值的性质解不等式|a|≤5+√5，得到a的取值范围；第三步，在a的取值范围内找出所有整数，再确定最小的整数即可，解题时要注意验证边界附近的整数是否符合不等式要求，避免出错。
【解析】
第一步，估算5+√5的取值：
因为2²=4，3²=9，所以√5在2和3之间，进一步计算得√5≈2.236，因此5+√5≈5+2.236=7.236。
第二步，解绝对值不等式：
根据绝对值的性质，若|a|≤b（b＞0），则-b≤a≤b，代入得：
-7.236 ≤ a ≤ 7.236
第三步，找符合条件的最小整数：
在-7.236到7.236之间的整数有-7、-6、-5……6、7，其中最小的整数是-7，验证可知|-7|=7≤7.236，符合要求；而-8的绝对值是8＞7.236，不符合要求。
【答案】
-7
【知识点】
绝对值的性质，无理数的估算
【点评】
本题结合无理数估算和绝对值性质考查整数解的求解，解题核心是准确估算5+√5的范围，易错点是容易误把-8当成最小值，需要注意验证边界整数是否符合不等式要求。
【难度系数】
0.7
9.已知$a,b,c$满足$|a-\sqrt{8}|+\sqrt{b-5}+(c-3\sqrt{2})^2=0$.
(1)求$a,b,c$的值.
(2)以$a,b,c$为边能否组成三角形？如果能，求出三角形的周长；如果不能，请说明理由.
(1)求$a,b,c$的值.
(2)以$a,b,c$为边能否组成三角形？如果能，求出三角形的周长；如果不能，请说明理由.
答案
9.(1)$a=2\sqrt{2},b=5,c=3\sqrt{2}$ (2)能,$5\sqrt{2}+5$
解析
【分析】
第(1)问：我们已经学习过绝对值、算术平方根、完全平方数都属于非负数，若几个非负数的和为0，则每一个非负数的值都为0。利用这个性质，分别令三个含字母的非负项等于0，即可求出a、b、c的值。
第(2)问：判断三条线段能否组成三角形的依据是三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。简便判定方法是先找出三条边中的最长边，只需验证两条较短边的和是否大于最长边，若大于则能构成三角形，反之不能；若能构成三角形，将三边相加即可得到周长。
【解析】
(1) 解：
∵ $\left|a-\sqrt{8}\right|≥0$，$\sqrt{b-5}≥0$，$(c-3\sqrt{2})^2≥0$，且三者的和为0
∴ 每个非负项的结果都为0，即：
$a-\sqrt{8}=0$，解得$a=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
$b-5=0$，解得$b=5$
$c-3\sqrt{2}=0$，解得$c=3\sqrt{2}$
(2) 解：先比较三边大小：
∵ $2\sqrt{2}＜3\sqrt{2}＜5$，
∴ 三条边中最长边为5
计算两条较短边的和：$a+c=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$
∵ $5\sqrt{2}\approx7.07＞5$，满足三角形两边之和大于第三边的要求
∴ 以a、b、c为边能组成三角形
三角形周长 = $a+b+c=2\sqrt{2}+5+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}+5$
【答案】
(1) $a=2\sqrt{2},b=5,c=3\sqrt{2}$；(2) 能组成三角形，周长为$5\sqrt{2}+5$
【知识点】
非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握非负数和为0的性质，以及三角形三边的判定规则，计算过程中注意二次根式的化简与同类二次根式的合并即可。
【难度系数】
0.8
第(1)问：我们已经学习过绝对值、算术平方根、完全平方数都属于非负数，若几个非负数的和为0，则每一个非负数的值都为0。利用这个性质，分别令三个含字母的非负项等于0，即可求出a、b、c的值。
第(2)问：判断三条线段能否组成三角形的依据是三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。简便判定方法是先找出三条边中的最长边，只需验证两条较短边的和是否大于最长边，若大于则能构成三角形，反之不能；若能构成三角形，将三边相加即可得到周长。
【解析】
(1) 解：
∵ $\left|a-\sqrt{8}\right|≥0$，$\sqrt{b-5}≥0$，$(c-3\sqrt{2})^2≥0$，且三者的和为0
∴ 每个非负项的结果都为0，即：
$a-\sqrt{8}=0$，解得$a=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
$b-5=0$，解得$b=5$
$c-3\sqrt{2}=0$，解得$c=3\sqrt{2}$
(2) 解：先比较三边大小：
∵ $2\sqrt{2}＜3\sqrt{2}＜5$，
∴ 三条边中最长边为5
计算两条较短边的和：$a+c=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$
∵ $5\sqrt{2}\approx7.07＞5$，满足三角形两边之和大于第三边的要求
∴ 以a、b、c为边能组成三角形
三角形周长 = $a+b+c=2\sqrt{2}+5+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}+5$
【答案】
(1) $a=2\sqrt{2},b=5,c=3\sqrt{2}$；(2) 能组成三角形，周长为$5\sqrt{2}+5$
【知识点】
非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握非负数和为0的性质，以及三角形三边的判定规则，计算过程中注意二次根式的化简与同类二次根式的合并即可。
【难度系数】
0.8
10.化简二次根式$\sqrt[\frac{m}{3}+1]{2(m+3)}$的结果是（
A.$3\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{2}$
D.0
B
）A.$3\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{2}$
D.0
答案
10.B
解析
【分析】
要化简这个二次根式，首先要明确二次根式的定义：二次根式的根指数为2，且被开方数为非负数。我们可以先根据根指数是2列方程求出参数m的值，再把m代入被开方数计算，最后将得到的二次根式化为最简形式，对应选项选出答案即可。
【解析】
∵ 代数式$\sqrt[\frac{m}{3}+1]{2(m+3)}$是二次根式
∴ 根指数满足$\frac{m}{3}+1=2$
解方程得：$\frac{m}{3}=1$，即$m=3$
将$m=3$代入被开方数，得：
$2(m+3)=2×(3+3)=12$
∴ 原式化简为$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
故选B
【答案】
B
【知识点】
二次根式的定义，二次根式的化简
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先利用二次根式根指数为2的特征求出未知参数m，再对二次根式进行化简，掌握二次根式的基本概念和化简方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
要化简这个二次根式，首先要明确二次根式的定义：二次根式的根指数为2，且被开方数为非负数。我们可以先根据根指数是2列方程求出参数m的值，再把m代入被开方数计算，最后将得到的二次根式化为最简形式，对应选项选出答案即可。
【解析】
∵ 代数式$\sqrt[\frac{m}{3}+1]{2(m+3)}$是二次根式
∴ 根指数满足$\frac{m}{3}+1=2$
解方程得：$\frac{m}{3}=1$，即$m=3$
将$m=3$代入被开方数，得：
$2(m+3)=2×(3+3)=12$
∴ 原式化简为$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
故选B
【答案】
B
【知识点】
二次根式的定义，二次根式的化简
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先利用二次根式根指数为2的特征求出未知参数m，再对二次根式进行化简，掌握二次根式的基本概念和化简方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
11. 在二次根式$\sqrt{a^2 + b^2}$，$4\sqrt{5a}$，$\sqrt{2a^3}$，$\frac{\sqrt{y}}{2}$，$\sqrt{8}$，$\sqrt{\frac{x}{3}}$中，最简二次根式的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
11.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确最简二次根式的两个判定条件：一是被开方数不含分母（即被开方数的因数是整数、因式是整式）；二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。接下来只需要依次对每个给出的二次根式对照两个条件逐一判断，统计符合条件的个数即可得到答案。
【解析】
首先回忆最简二次根式的判定标准：
①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
逐一判断各二次根式：
1. $\sqrt{a^2 + b^2}$：被开方数为整式，且无法分解出能开得尽方的因式，符合条件，是最简二次根式；
2. $4\sqrt{5a}$：被开方数$5a$是整式，不含能开得尽方的因数或因式，符合条件，是最简二次根式；
3. $\sqrt{2a^3}$：被开方数中$a^3=a^2· a$，$a^2$是能开得尽方的因式，可化简为$a\sqrt{2a}$，不符合条件，不是最简二次根式；
4. $\frac{\sqrt{y}}{2}$：被开方数$y$是整式，不含能开得尽方的因式，根号外的分母不影响判定，符合条件，是最简二次根式；
5. $\sqrt{8}$：被开方数$8=4×2$，$4$是能开得尽方的因数，可化简为$2\sqrt{2}$，不符合条件，不是最简二次根式；
6. $\sqrt{\frac{x}{3}}$：被开方数含有分母，可化简为$\frac{\sqrt{3x}}{3}$，不符合条件，不是最简二次根式。
综上，最简二次根式共有3个。
【答案】
C
【知识点】
1.最简二次根式的判定；2.二次根式的化简
【点评】
本题核心考查对最简二次根式概念的掌握，解题的关键是牢记两个判定条件，逐一排查即可，需要注意不要误将根号外的分母当成被开方数的分母，也不要错误认为$a^2+b^2$可以分解出开得尽方的因式。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确最简二次根式的两个判定条件：一是被开方数不含分母（即被开方数的因数是整数、因式是整式）；二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。接下来只需要依次对每个给出的二次根式对照两个条件逐一判断，统计符合条件的个数即可得到答案。
【解析】
首先回忆最简二次根式的判定标准：
①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
逐一判断各二次根式：
1. $\sqrt{a^2 + b^2}$：被开方数为整式，且无法分解出能开得尽方的因式，符合条件，是最简二次根式；
2. $4\sqrt{5a}$：被开方数$5a$是整式，不含能开得尽方的因数或因式，符合条件，是最简二次根式；
3. $\sqrt{2a^3}$：被开方数中$a^3=a^2· a$，$a^2$是能开得尽方的因式，可化简为$a\sqrt{2a}$，不符合条件，不是最简二次根式；
4. $\frac{\sqrt{y}}{2}$：被开方数$y$是整式，不含能开得尽方的因式，根号外的分母不影响判定，符合条件，是最简二次根式；
5. $\sqrt{8}$：被开方数$8=4×2$，$4$是能开得尽方的因数，可化简为$2\sqrt{2}$，不符合条件，不是最简二次根式；
6. $\sqrt{\frac{x}{3}}$：被开方数含有分母，可化简为$\frac{\sqrt{3x}}{3}$，不符合条件，不是最简二次根式。
综上，最简二次根式共有3个。
【答案】
C
【知识点】
1.最简二次根式的判定；2.二次根式的化简
【点评】
本题核心考查对最简二次根式概念的掌握，解题的关键是牢记两个判定条件，逐一排查即可，需要注意不要误将根号外的分母当成被开方数的分母，也不要错误认为$a^2+b^2$可以分解出开得尽方的因式。
【难度系数】
0.7
