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9.如图7,AB//CD,则角α,β,γ之间的关系为（
A.$α+β+\gamma=180°$
B.$α-β+\gamma=180°$
C.$α+β-\gamma=180°$
D.$α+β+\gamma=90°$
C
）A.$α+β+\gamma=180°$
B.$α-β+\gamma=180°$
C.$α+β-\gamma=180°$
D.$α+β+\gamma=90°$
答案
9.C
解析
【分析】
本题是平行线间的拐点类问题，解题思路如下：首先，遇到平行线之间存在拐点时，常用辅助线方法是过拐点作已知平行线的平行线，利用平行公理的推论得到新的平行关系；再分别结合两组平行线的性质，将三个角α、β、γ用等式联系起来；最后整理等式即可得到三者的数量关系。
【解析】
过点E作EF//AB，
∵AB//CD，
∴EF//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵AB//EF，
∴∠α + ∠AEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），即∠AEF = 180° - ∠α。
∵EF//CD，
∴∠FED = ∠γ（两直线平行，内错角相等）。
又
∵∠β = ∠AEF + ∠FED，
将前两式代入得：∠β = 180° - ∠α + ∠γ，
移项整理可得：∠α + ∠β - ∠γ = 180°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，角的和差计算
【点评】
本题是平行线性质应用的典型题型，核心是掌握平行线间拐点问题的辅助线构造方法，通过作平行线将分散的角建立关联，再结合平行线性质推导角的数量关系，属于基础的几何应用类题目。
【难度系数】
0.7
本题是平行线间的拐点类问题，解题思路如下：首先，遇到平行线之间存在拐点时，常用辅助线方法是过拐点作已知平行线的平行线，利用平行公理的推论得到新的平行关系；再分别结合两组平行线的性质，将三个角α、β、γ用等式联系起来；最后整理等式即可得到三者的数量关系。
【解析】
过点E作EF//AB，
∵AB//CD，
∴EF//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵AB//EF，
∴∠α + ∠AEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），即∠AEF = 180° - ∠α。
∵EF//CD，
∴∠FED = ∠γ（两直线平行，内错角相等）。
又
∵∠β = ∠AEF + ∠FED，
将前两式代入得：∠β = 180° - ∠α + ∠γ，
移项整理可得：∠α + ∠β - ∠γ = 180°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，角的和差计算
【点评】
本题是平行线性质应用的典型题型，核心是掌握平行线间拐点问题的辅助线构造方法，通过作平行线将分散的角建立关联，再结合平行线性质推导角的数量关系，属于基础的几何应用类题目。
【难度系数】
0.7
10.如图8所示,将一个黑板刷在黑板上平移,平移距离为10 cm,下列说法不正确的是 (
A.四个顶点都平移了10 cm
B.平移后与平移前黑板刷位置发生变化,所占面积未变化
C.对应点所连线段互相平行
D.水平平移距离为10 cm
D
)A.四个顶点都平移了10 cm
B.平移后与平移前黑板刷位置发生变化,所占面积未变化
C.对应点所连线段互相平行
D.水平平移距离为10 cm
答案
10.D
解析
【分析】
本题考查平移的基本性质，解题时先回忆平移的相关概念和性质，再逐一分析选项：平移是图形上所有点按同一方向移动相同距离的运动，平移不改变图形的形状、大小，仅改变位置；对应点所连线段平行（或共线）且相等，平移距离是对应点连线的长度，不是仅水平或竖直方向的距离。
【解析】
根据平移的性质逐一判断选项：
A. 平移时图形上所有点移动的距离都相等，因此黑板刷四个顶点都平移了10cm，说法正确，不符合题意；
B. 平移不改变图形的形状和大小，仅改变位置，因此平移前后黑板刷所占面积不变，说法正确，不符合题意；
C. 根据平移的性质，平移后对应点所连的线段互相平行（或在同一直线上），说法正确，不符合题意；
D. 题图中黑板刷为斜向平移，平移距离10cm是对应点连线的总长度，不是水平方向的平移距离，说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平移的性质
【点评】
本题易错点是误认为平移距离仅指水平或竖直方向的距离，要明确平移距离是任意一组对应点之间的线段长度，和移动方向无关。
【难度系数】
0.85
本题考查平移的基本性质，解题时先回忆平移的相关概念和性质，再逐一分析选项：平移是图形上所有点按同一方向移动相同距离的运动，平移不改变图形的形状、大小，仅改变位置；对应点所连线段平行（或共线）且相等，平移距离是对应点连线的长度，不是仅水平或竖直方向的距离。
【解析】
根据平移的性质逐一判断选项：
A. 平移时图形上所有点移动的距离都相等，因此黑板刷四个顶点都平移了10cm，说法正确，不符合题意；
B. 平移不改变图形的形状和大小，仅改变位置，因此平移前后黑板刷所占面积不变，说法正确，不符合题意；
C. 根据平移的性质，平移后对应点所连的线段互相平行（或在同一直线上），说法正确，不符合题意；
D. 题图中黑板刷为斜向平移，平移距离10cm是对应点连线的总长度，不是水平方向的平移距离，说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平移的性质
【点评】
本题易错点是误认为平移距离仅指水平或竖直方向的距离，要明确平移距离是任意一组对应点之间的线段长度，和移动方向无关。
【难度系数】
0.85
11.如图9，AB//EF//CD，EG//BD，则图中与∠1相等的角（不包括∠1）共有
5
个.答案
11.5
解析
【分析】
解题需结合平行线的性质和对顶角相等的规律，按逻辑逐步找和∠1相等的角：首先从EG//BD入手，找到和∠1相等的同位角；再结合AB//EF的条件，找到和∠1相等的内错角；接着利用平行线性质推导与上述角相等的其他角，同时不要遗漏对顶角相等的情况，最后统计不包含∠1的角的个数即可，注意避免重复或漏算。
【解析】
设BD与EF的交点为O，逐步推导：
1. 因为EG//BD，AB是截线，根据两直线平行，同位角相等，可得∠1=∠ABD；
2. 因为AB//EF，EG是截线，根据两直线平行，内错角相等，可得∠1=∠GEF；
3. 因为EG//BD，EF是截线，根据两直线平行，同位角相等，可得∠GEF=∠DOE，结合∠1=∠GEF，推出∠1=∠DOE；
4. ∠DOE和∠BOF是对顶角，根据对顶角相等，可得∠DOE=∠BOF，推出∠1=∠BOF；
5. 因为AB//CD，BD是截线，根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABD=∠CDB，结合∠1=∠ABD，推出∠1=∠CDB。
综上，和∠1相等且不包含∠1的角共有5个。
【答案】
5
【知识点】
平行线的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是平行线章节的典型题型，重点考查学生对平行线性质和对顶角性质的综合运用能力，解题的关键是按顺序梳理角的相等关系，避免出现漏数或多数的错误。
【难度系数】
0.7
解题需结合平行线的性质和对顶角相等的规律，按逻辑逐步找和∠1相等的角：首先从EG//BD入手，找到和∠1相等的同位角；再结合AB//EF的条件，找到和∠1相等的内错角；接着利用平行线性质推导与上述角相等的其他角，同时不要遗漏对顶角相等的情况，最后统计不包含∠1的角的个数即可，注意避免重复或漏算。
【解析】
设BD与EF的交点为O，逐步推导：
1. 因为EG//BD，AB是截线，根据两直线平行，同位角相等，可得∠1=∠ABD；
2. 因为AB//EF，EG是截线，根据两直线平行，内错角相等，可得∠1=∠GEF；
3. 因为EG//BD，EF是截线，根据两直线平行，同位角相等，可得∠GEF=∠DOE，结合∠1=∠GEF，推出∠1=∠DOE；
4. ∠DOE和∠BOF是对顶角，根据对顶角相等，可得∠DOE=∠BOF，推出∠1=∠BOF；
5. 因为AB//CD，BD是截线，根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABD=∠CDB，结合∠1=∠ABD，推出∠1=∠CDB。
综上，和∠1相等且不包含∠1的角共有5个。
【答案】
5
【知识点】
平行线的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是平行线章节的典型题型，重点考查学生对平行线性质和对顶角性质的综合运用能力，解题的关键是按顺序梳理角的相等关系，避免出现漏数或多数的错误。
【难度系数】
0.7
12.如图10，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，EO⊥FO于点O，若∠BOD=72°，则∠DOF的度数是
126
°。答案
12.126
解析
【分析】
解题时首先观察图形，直线AB与CD相交，根据对顶角相等的性质可先得到∠AOC的度数；再结合OE是∠AOC的角平分线，可求出∠EOC的度数；接下来由EO⊥FO可知∠EOF为90°，进而求出∠COF的度数；最后根据CD为直线，∠COF与∠DOF是邻补角，和为180°，即可求出∠DOF的度数。
【解析】
解：
∵直线AB、CD相交于点O，∠BOD=72°，
∴∠AOC=∠BOD=72°（对顶角相等）。
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×72°=36°。
∵EO⊥FO，
∴∠EOF=90°（垂直的定义），
∴∠COF=∠EOF - ∠EOC=90°-36°=54°。
∵CD是直线，∠COD=180°，
∴∠DOF=180°-∠COF=180°-54°=126°。
【答案】
126
【知识点】
对顶角相等，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题属于相交线角度计算的常规题型，解题的关键是理清各个角之间的位置和数量关系，熟练运用相交线的相关性质逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形，直线AB与CD相交，根据对顶角相等的性质可先得到∠AOC的度数；再结合OE是∠AOC的角平分线，可求出∠EOC的度数；接下来由EO⊥FO可知∠EOF为90°，进而求出∠COF的度数；最后根据CD为直线，∠COF与∠DOF是邻补角，和为180°，即可求出∠DOF的度数。
【解析】
解：
∵直线AB、CD相交于点O，∠BOD=72°，
∴∠AOC=∠BOD=72°（对顶角相等）。
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×72°=36°。
∵EO⊥FO，
∴∠EOF=90°（垂直的定义），
∴∠COF=∠EOF - ∠EOC=90°-36°=54°。
∵CD是直线，∠COD=180°，
∴∠DOF=180°-∠COF=180°-54°=126°。
【答案】
126
【知识点】
对顶角相等，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题属于相交线角度计算的常规题型，解题的关键是理清各个角之间的位置和数量关系，熟练运用相交线的相关性质逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
13. 把“对顶角相等”写成“如果……那么……”的形式是
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
。。答案
13.如果两个角是对顶角,那么这两个角相等
解析
【分析】
要将命题改写成“如果……那么……”的形式，首先要明确命题由题设（已知条件）和结论（由条件推导得出的结果）两部分组成，“如果”后接题设内容，“那么”后接结论内容。我们先拆分“对顶角相等”的组成：题设是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”，改写时补充原命题省略的表述，保证语句通顺即可。
【解析】
第一步：拆分原命题的题设与结论
题设（已知条件）：两个角是对顶角
结论（推导结果）：这两个角相等
第二步：按照“如果+题设，那么+结论”的格式组合语句，补充原命题省略的成分，最终得到改写后的表述。
【答案】
如果两个角是对顶角,那么这两个角相等
【知识点】
命题的构成、对顶角的性质
【点评】
本题是命题改写类的基础常考题，解题核心是准确区分命题的题设和结论，改写时注意补充原命题省略的内容，保证表述完整、逻辑通顺，属于几何基础概念的考查内容。
【难度系数】
0.9
要将命题改写成“如果……那么……”的形式，首先要明确命题由题设（已知条件）和结论（由条件推导得出的结果）两部分组成，“如果”后接题设内容，“那么”后接结论内容。我们先拆分“对顶角相等”的组成：题设是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”，改写时补充原命题省略的表述，保证语句通顺即可。
【解析】
第一步：拆分原命题的题设与结论
题设（已知条件）：两个角是对顶角
结论（推导结果）：这两个角相等
第二步：按照“如果+题设，那么+结论”的格式组合语句，补充原命题省略的成分，最终得到改写后的表述。
【答案】
如果两个角是对顶角,那么这两个角相等
【知识点】
命题的构成、对顶角的性质
【点评】
本题是命题改写类的基础常考题，解题核心是准确区分命题的题设和结论，改写时注意补充原命题省略的内容，保证表述完整、逻辑通顺，属于几何基础概念的考查内容。
【难度系数】
0.9
14.如图11，已知$∠1=∠2$，再添上什么条件可使$AB// CD$成立？请就你添上的条件证明$AB// CD$。
答案
14.添上$EB ⊥ MN, FD ⊥ MN$.证明略.(答案不唯一)
解析
【分析】
要判定$AB// CD$，根据平行线的判定定理，可通过证明同位角$∠ ABM=∠ CDM$实现。已知$∠1=∠2$，因此只需推出$∠ EBM=∠ FDM$即可，我们可以添加$EB$、$FD$都垂直于$MN$的条件，利用垂直的定义得到两个直角相等，再结合已知角相等即可推导出所需同位角相等，进而证明两直线平行。
【解析】
我们添加条件：$EB ⊥ MN$，$FD ⊥ MN$。
证明：
∵ $EB ⊥ MN$，$FD ⊥ MN$（添加的已知条件）
∴ $∠ EBM = ∠ FDM = 90°$（垂直的定义）
又
∵ $∠ 1 = ∠ 2$（题目已知）
∴ $∠ EBM - ∠ 1 = ∠ FDM - ∠ 2$（等式的性质）
即 $∠ ABM = ∠ CDM$
∴ $AB // CD$（同位角相等，两直线平行）
（注：本题答案不唯一，也可添加$EB// FD$等条件，证明逻辑一致）
【答案】
添上$EB ⊥ MN, FD ⊥ MN$，证明如上（答案不唯一）
【知识点】
平行线的判定；垂直的定义
【点评】
本题属于开放性试题，核心考查平行线判定定理的应用，需要结合已知角的关系逆向推导所需的补充条件，对逻辑推理能力有一定锻炼。
【难度系数】
0.7
要判定$AB// CD$，根据平行线的判定定理，可通过证明同位角$∠ ABM=∠ CDM$实现。已知$∠1=∠2$，因此只需推出$∠ EBM=∠ FDM$即可，我们可以添加$EB$、$FD$都垂直于$MN$的条件，利用垂直的定义得到两个直角相等，再结合已知角相等即可推导出所需同位角相等，进而证明两直线平行。
【解析】
我们添加条件：$EB ⊥ MN$，$FD ⊥ MN$。
证明：
∵ $EB ⊥ MN$，$FD ⊥ MN$（添加的已知条件）
∴ $∠ EBM = ∠ FDM = 90°$（垂直的定义）
又
∵ $∠ 1 = ∠ 2$（题目已知）
∴ $∠ EBM - ∠ 1 = ∠ FDM - ∠ 2$（等式的性质）
即 $∠ ABM = ∠ CDM$
∴ $AB // CD$（同位角相等，两直线平行）
（注：本题答案不唯一，也可添加$EB// FD$等条件，证明逻辑一致）
【答案】
添上$EB ⊥ MN, FD ⊥ MN$，证明如上（答案不唯一）
【知识点】
平行线的判定；垂直的定义
【点评】
本题属于开放性试题，核心考查平行线判定定理的应用，需要结合已知角的关系逆向推导所需的补充条件，对逻辑推理能力有一定锻炼。
【难度系数】
0.7
15.如图12,直线CD,EF相交于点O,已知OA,OB分别平分∠COE和∠DOE,且AB//CD.
(1)求证:∠1+∠2=90°;
(2)若∠2:∠3=2:5,求∠AOE的度数.
(1)求证:∠1+∠2=90°;
(2)若∠2:∠3=2:5,求∠AOE的度数.
答案
15.(1)略 (2)$∠ AOE=50°$
解析
【分析】
(1)要证明∠1+∠2=90°，首先利用平角性质可得∠COE+∠DOE=180°，结合角平分线定义可推出∠AOB=90°，再根据平行线的内错角相等性质，将∠1、∠2转化为∠AOC、∠BOD，结合平角180°即可推导结论；
(2)求∠AOE的度数时，先根据对顶角相等得∠COE=∠3，结合角平分线定义可知∠AOE=½∠3，再根据∠2与∠3的比例关系、邻补角和为180°列方程求出∠3的度数，即可计算出∠AOE。
【解析】
(1)证明：
∵ 直线CD为平角，
∴ $∠ COE + ∠ DOE = 180°$
∵ OA平分$∠ COE$，OB平分$∠ DOE$
∴ $∠ AOE = \frac{1}{2}∠ COE$，$∠ BOE = \frac{1}{2}∠ DOE$
∴ $∠ AOB = ∠ AOE + ∠ BOE = \frac{1}{2}(∠ COE + ∠ DOE) = \frac{1}{2}×180° = 90°$
∵ $AB// CD$
∴ $∠ 1 = ∠ AOC$（两直线平行，内错角相等），$∠ 2 = ∠ BOD$（两直线平行，内错角相等）
∵ $∠ AOC + ∠ AOB + ∠ BOD = 180°$（平角定义）
∴ $∠ 1 + 90° + ∠ 2 = 180°$
∴ $∠ 1 + ∠ 2 = 90°$，得证。
(2)解：
∵ 直线EF、CD交于点O，
∴ $∠ COE = ∠ 3$（对顶角相等）
∵ OA平分$∠ COE$，
∴ $∠ AOE = \frac{1}{2}∠ COE = \frac{1}{2}∠ 3$
∵ OB平分$∠ DOE$，
∴ $∠ DOE = 2∠ 2$
∵ $∠ DOE + ∠ 3 = 180°$（邻补角和为$180°$）
已知$∠ 2:∠ 3=2:5$，设$∠ 2=2x$，$∠ 3=5x$，代入得：
$2×2x + 5x = 180°$
$9x = 180°$，解得$x=20°$
∴ $∠ 3=5×20°=100°$
∴ $∠ AOE = \frac{1}{2}×100°=50°$
【答案】
(1)证明见解析；(2)$∠ AOE=50°$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；对顶角与邻补角
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是利用角平分线的倍分关系、平行线的角相等性质完成角的转化，结合邻补角、平角的度数性质求解，思路清晰，是几何入门阶段的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1)要证明∠1+∠2=90°，首先利用平角性质可得∠COE+∠DOE=180°，结合角平分线定义可推出∠AOB=90°，再根据平行线的内错角相等性质，将∠1、∠2转化为∠AOC、∠BOD，结合平角180°即可推导结论；
(2)求∠AOE的度数时，先根据对顶角相等得∠COE=∠3，结合角平分线定义可知∠AOE=½∠3，再根据∠2与∠3的比例关系、邻补角和为180°列方程求出∠3的度数，即可计算出∠AOE。
【解析】
(1)证明：
∵ 直线CD为平角，
∴ $∠ COE + ∠ DOE = 180°$
∵ OA平分$∠ COE$，OB平分$∠ DOE$
∴ $∠ AOE = \frac{1}{2}∠ COE$，$∠ BOE = \frac{1}{2}∠ DOE$
∴ $∠ AOB = ∠ AOE + ∠ BOE = \frac{1}{2}(∠ COE + ∠ DOE) = \frac{1}{2}×180° = 90°$
∵ $AB// CD$
∴ $∠ 1 = ∠ AOC$（两直线平行，内错角相等），$∠ 2 = ∠ BOD$（两直线平行，内错角相等）
∵ $∠ AOC + ∠ AOB + ∠ BOD = 180°$（平角定义）
∴ $∠ 1 + 90° + ∠ 2 = 180°$
∴ $∠ 1 + ∠ 2 = 90°$，得证。
(2)解：
∵ 直线EF、CD交于点O，
∴ $∠ COE = ∠ 3$（对顶角相等）
∵ OA平分$∠ COE$，
∴ $∠ AOE = \frac{1}{2}∠ COE = \frac{1}{2}∠ 3$
∵ OB平分$∠ DOE$，
∴ $∠ DOE = 2∠ 2$
∵ $∠ DOE + ∠ 3 = 180°$（邻补角和为$180°$）
已知$∠ 2:∠ 3=2:5$，设$∠ 2=2x$，$∠ 3=5x$，代入得：
$2×2x + 5x = 180°$
$9x = 180°$，解得$x=20°$
∴ $∠ 3=5×20°=100°$
∴ $∠ AOE = \frac{1}{2}×100°=50°$
【答案】
(1)证明见解析；(2)$∠ AOE=50°$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；对顶角与邻补角
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是利用角平分线的倍分关系、平行线的角相等性质完成角的转化，结合邻补角、平角的度数性质求解，思路清晰，是几何入门阶段的典型题型。
【难度系数】
0.7
