1. (1) 在 $(-2)^3$ 中，指数是 ，底数是 ，结果是 。
(2) 在 $2^3$ 中，指数是 ，底数是 ，结果是 。

1. (1) 3 -2 -8
(2) 3 2 8

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆乘方的基本定义：求n个相同因数乘积的运算叫做乘方，记作$a^n$，其中$a$叫做底数，$n$叫做指数，运算结果叫做幂。解题时先根据定义分别确定两个式子的底数和指数，再按照乘方的运算规则计算结果即可，注意带括号的乘方，底数是括号内的整体。
【解析】
(1) 对于$(-2)^3$，根据乘方的定义，指数是右上角的数字3，底数是括号内的$-2$，计算时是3个$-2$相乘：$(-2)×(-2)×(-2)=4×(-2)=-8$。
(2) 对于$2^3$，指数是右上角的数字3，底数是2，计算时是3个2相乘：$2×2×2=8$。
【答案】
(1) 3；-2；-8
(2) 3；2；8
【知识点】
乘方的相关概念；有理数乘方运算
【点评】
本题属于乘方的基础考查题，解题的关键是明确乘方各部分的名称，尤其要注意底数带负号且有括号时，负号属于底数的一部分，避免和不带括号的负号乘方混淆。
【难度系数】
0.9

2.（1）若一个有理数的平方等于它本身，则这个有理数为。
（2）若一个有理数的立方等于它本身，则这个有理数为。
（3）若一个数的平方等于36，则这个数为。

2. (1) 0或1
(2) 0或1或-1
(3) 6 或-6

【分析】
解决这类问题我们可以按以下思路思考：首先设所求的数为未知数，根据题目给出的乘方等量关系，结合有理数乘方的运算规则逐一验证特殊值，同时要注意：偶次乘方的结果具有非负性，正数的偶次幂和对应负数的偶次幂相等，解题时不要遗漏负数解和0的情况。
(1) 找平方等于本身的数：分别验证0、1、-1等特殊有理数的平方结果，筛选符合条件的数；
(2) 找立方等于本身的数：分别验证0、1、-1的立方结果，筛选符合条件的数；
(3) 找平方等于36的数：结合“互为相反数的两个数平方相等”的性质，同时考虑正、负两种情况。
【解析】
(1) 设这个有理数为x，根据题意得$x^2=x$。
验证特殊有理数：当x=0时，$0^2=0$，符合要求；当x=1时，$1^2=1$，符合要求；其余有理数的平方均不等于自身，因此这个有理数为0或1。
(2) 设这个有理数为x，根据题意得$x^3=x$。
验证特殊有理数：当x=0时，$0^3=0$，符合要求；当x=1时，$1^3=1$，符合要求；当x=-1时，$(-1)^3=-1$，符合要求；其余有理数的立方均不等于自身，因此这个有理数为0或1或-1。
(3) 设这个数为x，根据题意得$x^2=36$。
因为$6^2=36$，$(-6)^2=36$，互为相反数的两个数平方相等，因此这个数为6或-6。
【答案】
(1) 0或1；(2) 0或1或-1；(3) 6或-6
【知识点】
有理数乘方运算；平方的性质；立方的性质
【点评】
本题是乘方性质的基础应用题，解题的关键是全面考虑正数、负数、0的乘方特征，避免因考虑不周全出现漏解的情况，熟练掌握特殊数的乘方结果可以提高解题效率。
【难度系数】
0.8

3. 若$|a|=2$，则$a^2=$，$a^3=$。

3. 4 8或-8

【分析】
解题时首先根据绝对值的性质确定a的所有可能取值，再分别代入计算乘方即可。第一步：回忆绝对值的定义，绝对值等于正数的数有两个，它们互为相反数，所以由|a|=2可得到a的两个取值；第二步：计算a的平方时，分别把两个a的值代入，观察结果是否一致；第三步：计算a的立方时，同样代入两个a的取值，得到两个不同的结果，注意不要漏解。
【解析】
解：
∵|a|=2，
∴a=2或a=-2。
当a=2时，$a^2=2^2=4$，$a^3=2^3=8$；
当a=-2时，$a^2=(-2)^2=4$，$a^3=(-2)^3=-8$。
综上，$a^2=4$，$a^3=8$或$-8$。
【答案】
4；8或-8
【知识点】
绝对值的性质；有理数乘方运算
【点评】
本题是基础运算题，解题的关键是明确绝对值为正数的数有正负两个，同时要掌握：互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数，求解奇次幂时不要漏写负数的情况。
【难度系数】
0.85

4. 不做运算，判断下列各运算结果的符号：
(1) $(-13)^{13}$ ；
(2) $(-2)^{24}$ ；
(3) $(-1.6)^{13}$ ；
(4) $-(-2)^{45}$ ；
(5) $-|(-35)^7|$ .

4. (1) -
(2) +
(3) -
(4) +
(5) -

【分析】
判断有理数乘方运算结果的符号，核心依据是乘方的符号法则：①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。如果运算中含有绝对值、额外的负号，就先确定乘方部分的符号，再结合绝对值的非负性、多重符号化简的规则逐步判断即可。解题时先找每道小题底数的正负，再看指数的奇偶性确定乘方的符号，最后处理额外的符号或绝对值。
【解析】
(1) $(-13)^{13}$的底数是负数-13，指数13是奇数，根据负数的奇次幂为负，可知结果符号为负；
(2) $(-2)^{24}$的底数是负数-2，指数24是偶数，根据负数的偶次幂为正，可知结果符号为正；
(3) $(-1.6)^{13}$的底数是负数-1.6，指数13是奇数，根据负数的奇次幂为负，可知结果符号为负；
(4) 先判断$(-2)^{45}$的符号：底数-2是负数，指数45是奇数，所以$(-2)^{45}$为负数，再在其前面加负号，负负得正，可知$ -(-2)^{45} $结果符号为正；
(5) 先判断$(-35)^7$的符号：底数-35是负数，指数7是奇数，所以$(-35)^7$为负数，取绝对值后结果为正数，再在其前面加负号，可知$ -|(-35)^7| $结果符号为负。
【答案】
(1) -；(2) +；(3) -；(4) +；(5) -
【知识点】
乘方符号法则，绝对值的性质，多重符号化简
【点评】
本题是乘方符号判断的基础题型，解题的关键是熟练掌握负数奇次幂、偶次幂的符号规律，再结合绝对值和符号化简规则逐一判断即可，注意不要漏看乘方外的负号和绝对值符号。
【难度系数】
0.8

5. 比较大小：
(1) $2^3$ $3^2$；
(2) $(-2)^3$ $(-3)^2$；
(3) $-(-3)^2$ $-(-2)^3$；
(4) $-3^4$ $(-3)^4$；
(5) $-6^3$ $(-6)^3$；
(6) $(-\dfrac{2}{5})^2$ $-\dfrac{2^2}{5}$；

5. (1) ＜
(2) ＜
(3) ＜
(4) ＜
(5) =
(6) ＞

【分析】
要比较两个含乘方的数的大小，解题思路为：先根据乘方的运算法则分别计算出横线左右两边式子的结果，再根据有理数大小比较的规则（正数大于一切负数，两个负数比较大小绝对值大的反而小）判断大小即可。计算时要注意区分带括号的负数乘方和不带括号的乘方的相反数，先确定底数再计算，避免符号出错。
【解析】
逐题计算后比较大小：
(1) 计算得$2^3=2×2×2=8$，$3^2=3×3=9$，因为$8＜9$，故填＜；
(2) 计算得$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$，$(-3)^2=(-3)×(-3)=9$，负数小于正数，故$-8＜9$，填＜；
(3) 计算得$-(-3)^2=-[(-3)×(-3)]=-9$，$-(-2)^3=-[(-2)×(-2)×(-2)]=8$，负数小于正数，故$-9＜8$，填＜；
(4) 计算得$-3^4=-(3×3×3×3)=-81$，$(-3)^4=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81$，负数小于正数，故$-81＜81$，填＜；
(5) 计算得$-6^3=-(6×6×6)=-216$，$(-6)^3=(-6)×(-6)×(-6)=-216$，两数相等，故填=；
(6) 计算得$(-\dfrac{2}{5})^2=(-\dfrac{2}{5})×(-\dfrac{2}{5})=\dfrac{4}{25}$，$-\dfrac{2^2}{5}=-\dfrac{4}{5}$，正数大于负数，故$\dfrac{4}{25}＞-\dfrac{4}{5}$，填＞。
【答案】
(1) ＜；(2) ＜；(3) ＜；(4) ＜；(5) =；(6) ＞
【知识点】
有理数乘方运算，有理数大小比较
【点评】
本题主要考查乘方运算的准确性和有理数大小比较规则，易错点是混淆负号在括号内和括号外的乘方运算的差异，计算时先明确底数、再定符号、最后算数值，可有效减少错误。
【难度系数】
0.8

6. 计算:
(1) $(-3)^2 × [2 - (-6)] + 30 ÷ (-5)$；
(2) $-4^2 + (-20) ÷ (-5) - 6 × (-2)^3$。

6. 解 (1) 原式=$(-3)^2 × (2+6) + 30 ÷ (-5)=(-3)^2 × 8 + 30 ÷ (-5)=9 × 8 + 30 ÷ (-5)=72 - 6=66.$
(2) 原式=$-16 + (-20) ÷ (-5) - 6 × (-8)=-16 + 4 + 48=36.$

【分析】
解决有理数混合运算类题目，首先要牢记运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的运算，同时要注意符号的处理规则，比如减负数等于加正数、同号乘除得正、异号乘除得负，还要区分乘方中带括号和不带括号的区别，比如$-4^2$是$4^2$的相反数，$(-4)^2$才是两个$-4$相乘。
对于第(1)问：第一步先算小括号里的$2-(-6)$，根据去括号规则转化为加法计算；第二步算乘方$(-3)^2$；第三步分别计算乘法和除法；最后算加减得出结果。
对于第(2)问：第一步先算两处乘方，注意$-4^2$的结果是$-16$，$(-2)^3$的结果是$-8$；第二步分别计算除法和乘法；最后从左到右计算加减法即可。
【解析】
(1) 按照运算顺序逐步计算：
原式$=(-3)^2 × (2+6) + 30 ÷ (-5)$
$=(-3)^2 × 8 + 30 ÷ (-5)$
$=9 × 8 + (-6)$
$=72 - 6$
$=66$
(2) 按照运算顺序逐步计算：
原式$=-16 + (-20) ÷ (-5) - 6 × (-8)$
$=-16 + 4 + 48$
$=36$
【答案】
(1) $\boxed{66}$；(2) $\boxed{36}$
【知识点】
有理数混合运算；乘方运算；符号运算规则
【点评】
本题核心考查有理数混合运算的运算顺序和符号处理能力，易错点在于乘方运算的符号判断、去括号时的符号变化，运算时按步骤逐步计算，留意易错点即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7

7. 已知 $P=-1^n -6÷ m×(-\dfrac{1}{3})$.
（1）当 $n=100$，$m=-2$ 时，求 $P$ 的值；
（2）当 $n=101$，$m=3$ 时，求 $P$ 的值.

7. 解 (1) 因为 $n=100, m=-2$,
所以 $P = -1^n -6 ÷ m × (-\dfrac{1}{3})$
$= -1^{100} -6 ÷ (-2) × (-\dfrac{1}{3})$
$= -1 -6 × \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{3}$
$= -1 -1$
$= -2.$
(2) 因为 $n=101, m=3$,
所以 $P = -1^n -6 ÷ m × (-\dfrac{1}{3})$
$= -1^{101} -6 ÷ 3 × (-\dfrac{1}{3})$
$= -1 -6 × \dfrac{1}{3} × (-\dfrac{1}{3})$
$= -1 + \dfrac{2}{3}$
$= -\dfrac{1}{3}.$

【分析】
解题时先明确有理数混合运算的规则：先算乘方，再算乘除（同级运算从左到右依次计算，除法可转化为乘法），最后算加减，同时要注意区分$-1^n$和$(-1)^n$的差异，本题中$-1^n$表示$1^n$的相反数，结果恒为$-1$。求解两小问时，只需将对应$n$、$m$的值代入原式，按运算顺序逐步计算，重点关注负号的处理即可。
【解析】
(1) 当$n=100$，$m=-2$时，代入表达式计算：
$\begin{aligned}P&=-1^{100} -6÷ (-2)× (-\frac{1}{3})\\&=-1 - 6× (-\frac{1}{2})× (-\frac{1}{3})\\&=-1 - 1\\&=-2\end{aligned}$
(2) 当$n=101$，$m=3$时，代入表达式计算：
$\begin{aligned}P&=-1^{101} -6÷ 3× (-\frac{1}{3})\\&=-1 - 6× \frac{1}{3}× (-\frac{1}{3})\\&=-1 + \frac{2}{3}\\&=-\frac{1}{3}\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{-2}$；（2）$\boldsymbol{-\dfrac{1}{3}}$
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，有理数乘除运算
【点评】
本题核心考察有理数运算的顺序和符号判断，容易出错的点是乘除运算中负号的处理，以及混淆$-1^n$和$(-1)^n$的计算结果，熟练掌握运算规则和符号规律就能顺利求解。
【难度系数】
0.7