知识点二 乘方运算的符号法则
根据有理数的乘法法则可以得出：
（1）负数的奇次幂是，负数的偶次幂是；
（2）正数的任何次幂都是；
（3）0的任何正整数次幂都是.

（1）负数 正数 （2）正数 （3）0

【分析】
解题时可以结合有理数乘法的符号规律推导乘方的符号法则，不用死记硬背：首先明确乘方是n个相同因数的乘法运算，①如果底数是负数，乘方的次数就是负因数的个数，奇数个负因数相乘结果为负，偶数个负因数相乘结果为正；②如果底数是正数，不管多少个正数相乘，结果始终为正；③如果底数是0，任意个0相乘的结果都是0，据此就能推导得出所有结论。
【解析】
根据乘方的定义和有理数乘法符号法则推导：
（1）负数的奇次幂对应奇数个负数相乘，奇数个负因数的乘积为负数，所以负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂对应偶数个负数相乘，偶数个负因数的乘积为正数，所以负数的偶次幂是正数。
（2）正数和正数相乘结果始终为正数，因此无论多少个正数相乘，结果都是正数，即正数的任何次幂都是正数。
（3）0乘任何数都得0，因此若干个0相乘的结果仍是0，即0的任何正整数次幂都是0。
【答案】
（1）负数 正数 （2）正数 （3）0
【知识点】
乘方符号法则、有理数乘法法则、乘方的定义
【点评】
本题是乘方符号法则的基础概念考查题，理解法则的推导过程比机械记忆更重要，熟练掌握该法则是后续正确进行有理数乘方、混合运算的前提。
【难度系数】
0.9

例3 计算：
(1) $(-3)^4$； (2) $(-\dfrac{1}{2})^5$； (3) $-3^4$.
解 (1) $(-3)^4 = 3^4 = 3×3×3×3 = 81$.
(2) $(-\dfrac{1}{2})^5 = -(\dfrac{1}{2})^5 = -(\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}) = -\dfrac{1}{32}$.
(3) $-3^4 = -(3×3×3×3) = -81$.

(1) $(-3)^4=81$
(2) $(-\dfrac{1}{2})^5=-\dfrac{1}{32}$
(3) $-3^4=-81$

【分析】
这三道题属于有理数乘方的基础计算，解题时要抓住两个核心要点：一是准确识别乘方的底数：负号在括号内时，底数是带负号的整体；负号单独在乘方前时，底数是正数，负号属于乘方结果的符号。二是牢记乘方的符号规律：负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负，正数的任何次幂都为正。解题时按“确定底数→判断结果符号→计算绝对值的乘方”的步骤逐步推导即可。
【解析】
(1) 计算$(-3)^4$：底数为$-3$，指数4是偶数，结果为正，因此：
$(-3)^4 = 3^4 = 3×3×3×3 = 81$
(2) 计算$(-\dfrac{1}{2})^5$：底数为$-\dfrac{1}{2}$，指数5是奇数，结果为负，因此：
$(-\dfrac{1}{2})^5 = -(\dfrac{1}{2})^5 = -(\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}) = -\dfrac{1}{32}$
(3) 计算$-3^4$：底数为3，负号在乘方运算外，先算乘方再添负号，因此：
$-3^4 = -(3×3×3×3) = -81$
【答案】
(1) $(-3)^4=81$
(2) $(-\dfrac{1}{2})^5=-\dfrac{1}{32}$
(3) $-3^4=-81$
【知识点】
有理数乘方运算、乘方符号规律、底数判定
【点评】
本题是乘方运算的基础易错题，核心考查点是区分负号是否属于底数的范围，熟练掌握概念和符号规律就能避免出错，是后续学习有理数混合运算的重要基础。
【难度系数】
0.7

知识点三 有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算顺序
有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算顺序：
（1）先，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从到进行；
（3）如有括号，先做的运算，一般是按小括号、中括号、大括号依次进行。

（1）乘方 （2）左 右 （3）括号内

【分析】
本题考查有理数混合运算顺序的基础识记内容，解题时只需回忆教材中明确规定的有理数混合运算顺序规则，逐空对应填写即可：首先明确不同运算的优先级，乘方优先级最高，其次是乘除，最后是加减；同级运算有固定的顺序要求；存在括号时优先计算括号内的部分。
【解析】
根据有理数混合运算的顺序规定：
（1）运算优先级从高到低为乘方＞乘除＞加减，因此先算乘方，再乘除，最后加减，第一空填“乘方”；
（2）同级运算（即同为加减或同为乘除的运算），需要从左到右依次进行，因此第二、三空分别填“左”“右”；
（3）如有括号，优先做括号内的运算，一般按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行，因此第四空填“括号内”。
【答案】
（1）乘方 （2）左 右 （3）括号内
【知识点】
有理数混合运算顺序、运算优先级规则
【点评】
本题是有理数运算的基础概念题，相关运算规则是进行所有复杂有理数混合运算的前提，需要熟练记忆并在实际运算中严格遵守，避免因运算顺序错误失分。
【难度系数】
0.9

例4 计算：(1) $-1^3 - (-4)^2 ÷ 8 × (-\frac{1}{4})$；
(2) $6^2 × (-\frac{1}{4} + \frac{2}{9}) - (-16) ÷ 8$。
解 (1) 原式$=-1 -16 ÷8 ×(-\frac{1}{4})= -1 -2 ×(-\frac{1}{4})= -1 + \frac{1}{2}= -\frac{1}{2}$。
(2) 原式$=36 ×(-\frac{1}{4} + \frac{2}{9}) - (-2)= -36 × \frac{1}{4} +36 × \frac{2}{9} +2= -9 +8 +2=1$。
特别提醒
1. $(-a)^n$与$-a^n$的区别：
(1) 底数不同. $(-a)^n$的底数为$-a$，$-a^n$的底数为$a$；
(2) 读法不同. $(-a)^n$读作负$a$的$n$次方，$-a^n$读作$a$的$n$次方的相反数.
2. 若$n$为正整数，则
$(-1)^{2n}=1$；
$(-1)^{2n+1}=(-1)^{2n-1}=-1$.
特别提醒
进行有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算时应注意：
(1) 每一步运算都要先确定符号，再确定绝对值；
(2) 进行分数的乘除运算时，一般要把带分数化为假分数，把除法转化为乘法；
(3) 能用运算律的可优先选用运算律简化运算。

(1) $-\frac{1}{2}$
(2) $1$

【分析】
本题考查有理数的混合运算，解题需遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，同时注意区分$(-a)^n$与$-a^n$的差异，能使用运算律的优先用运算律简化计算。
(1) 先计算乘方：注意$-1^3$底数是1，结果为-1；$(-4)^2$底数是-4，结果为16；再按照从左到右的顺序计算乘除运算，最后计算加减即可，运算中注意符号的确定。
(2) 先计算乘方得$6^2=36$，再利用乘法分配律计算$36×(-\frac{1}{4}+\frac{2}{9})$，避免通分的麻烦，再计算除法运算，最后计算加减即可。
【解析】
(1) 先算乘方：
原式$=-1 - 16 ÷ 8 × (-\frac{1}{4})$
再按从左到右顺序算乘除：
$=-1 - 2 × (-\frac{1}{4})$
$=-1 + \frac{1}{2}$
最后算加减：
$=-\frac{1}{2}$
(2) 先算乘方：
原式$=36 × (-\frac{1}{4} + \frac{2}{9}) - (-16) ÷ 8$
利用乘法分配律展开，同时计算除法：
$=36 × (-\frac{1}{4}) + 36 × \frac{2}{9} - (-2)$
$=-9 + 8 + 2$
最后算加减：
$=1$
【答案】
(1) $\boxed{-\dfrac{1}{2}}$；(2) $\boxed{1}$
【知识点】
有理数混合运算、乘方的运算、乘法分配律
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，易错点在于混淆$(-a)^n$与$-a^n$的底数差异导致乘方运算符号出错，运算时要先确定每一步的符号再计算绝对值，合理使用乘法分配律可有效简化运算，降低出错率。
【难度系数】
0.7