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4. AD 是$△ ABC$的一条高，若$∠ BAD=65°$，$∠ CAD=30°$，则$∠ BAC$的度数为______．
答案
$95^{\circ}$或$35^{\circ}$
5. 如图，在$△ ABC$中，$E$是边$AC$上的一点，$AE = 4EC$，$D$是边$BC$的中点，且$S_{△ ABC}=15$，则$S_{1}-S_{2}=$______．
答案
4.5
1. 如图,在$△ ABC$和$△ DCB$中,$∠ ABC = ∠ DCB$,添加下列条件,不能判定$△ ABC ≌ △ DCB$的是 （ ）
A. $AB = CD$
B. $BE = CE$
C. $AC = DB$
D. $∠ A = ∠ D$
A. $AB = CD$
B. $BE = CE$
C. $AC = DB$
D. $∠ A = ∠ D$
答案
C
2. 给出下列四组条件:①$AB=DE,BC=EF,AC=DF$;②$AB=DE,∠B=∠E.BC=EF$;③$∠B=∠E,AC=DF,∠C=∠F$;④$AB=DE,AC=DF,∠B=∠E$.其中,能使$△ ABC≌△ DEF$的条件共有（ ）
A. 1组
B. 2组
C. 3组
D. 4组
A. 1组
B. 2组
C. 3组
D. 4组
答案
C
1. 在$△ ABC$中，$AC=6$，中线$AD=10$，则边$AB$的长的取值范围是 （ ）
A. $16＜AB＜22$
B. $14＜AB＜26$
C. $16＜AB＜26$
D. $14＜AB＜22$
A. $16＜AB＜22$
B. $14＜AB＜26$
C. $16＜AB＜26$
D. $14＜AB＜22$
答案
B
2. 如图，A、D、B、E 四点共线，$∠ ADF = ∠ EBC$，$AD = EB$，$BC = DF$。求证：$AC = EF$。
答案
证明：$\because AD = EB，$$\therefore AD + BD = EB + BD，$
即$AB = ED。$
$\because\angle ADF = \angle EBC，$
$\therefore 180^{\circ}-\angle ADF = 180^{\circ}-\angle EBC，$
即$\angle EDF = \angle ABC。$
在$\triangle ABC$和$\triangle EDF$中，$\begin{cases}AB = ED\\\angle ABC = \angle EDF\\BC = DF\end{cases}，$
$\therefore\triangle ABC\cong\triangle EDF(SAS)，$
$\therefore AC = EF。$
即$AB = ED。$
$\because\angle ADF = \angle EBC，$
$\therefore 180^{\circ}-\angle ADF = 180^{\circ}-\angle EBC，$
即$\angle EDF = \angle ABC。$
在$\triangle ABC$和$\triangle EDF$中，$\begin{cases}AB = ED\\\angle ABC = \angle EDF\\BC = DF\end{cases}，$
$\therefore\triangle ABC\cong\triangle EDF(SAS)，$
$\therefore AC = EF。$
3. 如图，$△ ABC$与$△ AEF$中，点$F$在$BC$上，$AB=AE$，$BC=EF$，$∠ B=∠ E$，$AB$交$EF$于点$D$.求证：$FA$平分$∠ EFC$.
答案
证明：在$\triangle ABC$和$\triangle AEF$中，$\begin{cases}AB = AE\\\angle B = \angle E\\BC = EF\end{cases}，$
$\therefore\triangle ABC\cong\triangle AEF(SAS)，$
$\therefore\angle AFE = \angle C，$$AF = AC，$
$\therefore\angle AFC = \angle C，$$\therefore\angle AFE = \angle AFC，$
$\therefore FA$平分$\angle EFC。$
$\therefore\triangle ABC\cong\triangle AEF(SAS)，$
$\therefore\angle AFE = \angle C，$$AF = AC，$
$\therefore\angle AFC = \angle C，$$\therefore\angle AFE = \angle AFC，$
$\therefore FA$平分$\angle EFC。$
4. 如图,在锐角三角形 ABC 中,$AD⊥BC$于点 D,点 E 在 AD 上,$DE=DC,BE=AC$,F 为BC 的中点,连接 EF 并延长至点 M,使$FM=EF$,连接 CM.
(1)求证:$△ BDE≌△ ADC$.
(2)求证:$AC⊥MC$.
(1)求证:$△ BDE≌△ ADC$.
(2)求证:$AC⊥MC$.
答案
证明：
(1)$\because AD\perp BC，$$\therefore\angle BDE = \angle ADC = 90^{\circ}。$
在$Rt\triangle BDE$和$Rt\triangle ADC$中，$\begin{cases}BE = AC\\DE = DC\end{cases}，$
$\therefore Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle ADC(HL)。$ (2)$\because F$为$BC$的中点，$\therefore BF = CF。$在$\triangle BFE$和$\triangle CFM$中，$\begin{cases}BF = CF\\\angle BFE = \angle CFM\\EF = MF\end{cases}，$
$\therefore\triangle BFE\cong\triangle CFM(SAS)，$$\therefore\angle CBE = \angle BCM，$$BE = MC。$
$\because Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle ADC，$
$\therefore\angle CBE = \angle CAD，$$\therefore\angle CAD = \angle BCM。$
$\because\angle CAD + \angle ACD = 90^{\circ}，$
$\therefore\angle BCM + \angle ACD = 90^{\circ}，$即$\angle ACM = 90^{\circ}，$
$\therefore AC\perp MC。$
(1)$\because AD\perp BC，$$\therefore\angle BDE = \angle ADC = 90^{\circ}。$
在$Rt\triangle BDE$和$Rt\triangle ADC$中，$\begin{cases}BE = AC\\DE = DC\end{cases}，$
$\therefore Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle ADC(HL)。$ (2)$\because F$为$BC$的中点，$\therefore BF = CF。$在$\triangle BFE$和$\triangle CFM$中，$\begin{cases}BF = CF\\\angle BFE = \angle CFM\\EF = MF\end{cases}，$
$\therefore\triangle BFE\cong\triangle CFM(SAS)，$$\therefore\angle CBE = \angle BCM，$$BE = MC。$
$\because Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle ADC，$
$\therefore\angle CBE = \angle CAD，$$\therefore\angle CAD = \angle BCM。$
$\because\angle CAD + \angle ACD = 90^{\circ}，$
$\therefore\angle BCM + \angle ACD = 90^{\circ}，$即$\angle ACM = 90^{\circ}，$
$\therefore AC\perp MC。$
