1. 若$x=-1$是方程$x^{2}+x+m=0$的一个根,则此方程的另一个根是()

A.$x=-1$
B.$x=0$
C.$x=1$
D.$x=2$

1. B

设方程的另一个根为$x_1$，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。
在方程$x^2 + x + m = 0$中，$a = 1$，$b = 1$，已知一个根为$x = -1$，则：
$-1 + x_1 = -\frac{1}{1} = -1$
解得$x_1 = 0$
B

2. 若关于$x$的方程$x^{2}+(m+1)x+\frac{1}{2}=0$的一个实数根的倒数恰是它本身,则$m$的值是()

A.$-\frac{5}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-\frac{5}{2}$或$\frac{1}{2}$
D.1

2. C

因为一个实数根的倒数恰是它本身，所以这个根为$1$或$-1$。
当$x = 1$时，代入方程$x^{2}+(m + 1)x+\frac{1}{2}=0$，得$1^{2}+(m + 1)×1+\frac{1}{2}=0$，即$1 + m + 1+\frac{1}{2}=0$，解得$m=-\frac{5}{2}$。
当$x=-1$时，代入方程$x^{2}+(m + 1)x+\frac{1}{2}=0$，得$(-1)^{2}+(m + 1)×(-1)+\frac{1}{2}=0$，即$1-(m + 1)+\frac{1}{2}=0$，解得$m=\frac{1}{2}$。
综上，$m$的值是$-\frac{5}{2}$或$\frac{1}{2}$。
C

3. 将方程$(2x-1)(3x+1)=x^{2}+2$化为一般形式$(a＞0)$为.

3. $5x^{2}-x-3=0$

解：$(2x - 1)(3x + 1) = x^2 + 2$
$6x^2 + 2x - 3x - 1 = x^2 + 2$
$6x^2 - x - 1 - x^2 - 2 = 0$
$5x^2 - x - 3 = 0$
$5x^2 - x - 3 = 0$

4. 若一元二次方程$(x-2)^{2}=3$的两根为$a$、$b$,且$a＞b$,则$2a+b$的值为.

4. $6+\sqrt{3}$ 解析：解方程$(x - 2)^{2}=3$，得$x_{1}=2+\sqrt{3}$，$x_{2}=2-\sqrt{3}$。由$a ＞ b$，得$a = 2+\sqrt{3}$，$b = 2-\sqrt{3}$，$\therefore 2a + b = 2×(2+\sqrt{3})+2-\sqrt{3}=6+\sqrt{3}$。

解方程$(x - 2)^{2}=3$，得$x - 2=\pm\sqrt{3}$，即$x_{1}=2+\sqrt{3}$，$x_{2}=2 - \sqrt{3}$。
因为$a＞b$，所以$a=2+\sqrt{3}$，$b=2 - \sqrt{3}$。
则$2a + b=2×(2+\sqrt{3})+(2 - \sqrt{3})=4 + 2\sqrt{3}+2 - \sqrt{3}=6+\sqrt{3}$。
$6+\sqrt{3}$

5. 用适当的方法解下列方程:
(1)$(x-2)^{2}=16$;
(2)$x(x-7)=8(7-x)$;
(3)$5x^{2}-5x+1=0$;
(4)$9(x-2)^{2}-(2x+3)^{2}=0$.

5. (1)$x_{1}=-2$，$x_{2}=6$ (2)$x_{1}=7$，$x_{2}=-8$ (3)$x_{1}=\frac{5+\sqrt{5}}{10}$，$x_{2}=\frac{5-\sqrt{5}}{10}$ (4)$x_{1}=\frac{3}{5}$，$x_{2}=9$

(1) $(x-2)^2=16$
$x-2=\pm4$
$x-2=4$ 或 $x-2=-4$
$x_1=6$，$x_2=-2$
(2) $x(x-7)=8(7-x)$
$x(x-7)+8(x-7)=0$
$(x-7)(x+8)=0$
$x-7=0$ 或 $x+8=0$
$x_1=7$，$x_2=-8$
(3) $5x^2-5x+1=0$
$a=5$，$b=-5$，$c=1$
$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×5×1=25-20=5$
$x=\frac{5\pm\sqrt{5}}{2×5}=\frac{5\pm\sqrt{5}}{10}$
$x_1=\frac{5+\sqrt{5}}{10}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{5}}{10}$
(4) $9(x-2)^2-(2x+3)^2=0$
$[3(x-2)]^2-(2x+3)^2=0$
$(3x-6+2x+3)(3x-6-2x-3)=0$
$(5x-3)(x-9)=0$
$5x-3=0$ 或 $x-9=0$
$x_1=\frac{3}{5}$，$x_2=9$

6. (2023·广安)已知$a$、$b$、$c$为常数,点$P(a,c)$在第四象限,则关于$x$的方程$ax^{2}+bx+c=0$的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断

6. A

∵点$P(a,c)$在第四象限，
∴$a＞0$，$c＜0$，
方程$ax^{2}+bx+c=0$的判别式$\Delta =b^{2}-4ac$，
∵$a＞0$，$c＜0$，
∴$-4ac＞0$，
又
∵$b^{2}\geq0$，
∴$\Delta =b^{2}-4ac＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根。
A

7. (2024·龙东地区)关于$x$的方程$(m-2)x^{2}+4x+2=0$有两个实数根,则$m$的取值范围是()

A.$m\leqslant4$
B.$m\geqslant4$
C.$m\geqslant-4$且$m\neq2$
D.$m\leqslant4$且$m\neq2$

7. D 解析：根据题意，得$\begin{cases}16 - 4(m - 2)×2\geqslant0\\m - 2\neq0\end{cases}$，解得$m\leqslant4$且$m\neq2$。