1. 在平面直角坐标系中,点$(5,-1)$关于原点对称的点的坐标是( )
A. $(-5,1)$
B. $(5,-1)$
C. $(1,5)$
D. $(5,-1)$

A

2. 下列四个交通标志中,为中心对称图形的是( )

A

3. 在平面直角坐标系中,将点$M(a,1)$绕点$O$逆时针旋转$90^{\circ }$,得到点$N(b,5)$.若$MN=2\sqrt {13}$,则$a+b$的值为____.

$4$或$-8$

4. 如图,将边长为1的正方形$ABCD$绕点$C$按顺时针方向旋转,得到正方形$FECG$.若点$D$落在对角线$CF$上,$EF$与$AD$相交于点$H$,则$HD$的长为____.(结果保留根号)

$\sqrt{2}-1$

5. 当图形中有一组邻边相等时,往往可以利用旋转来解决问题.
(1)如图①,在等腰直角三角形$ABC$中,$∠BAC=90^{\circ },AB=AC,M$是$BC$上的一点,$BM=1cm,CM=2cm$.若将$△ABM$绕点$A$旋转后得到$△ACN$,连接$MN$,则$AM$的长为____cm.
(2)如图②,在“筝形”四边形$ABCD$中,$AB=AD=a,CB=CD,AB⊥BC$于点$B,AD⊥CD$于点$D,P,Q$分别是$AB,AD$上的点,且$∠PCB+∠QCD=∠PCQ$,求$△APQ$的周长.(结果用含$a$的式子表示)

【解析】：
### （1）
- 因为$\triangle ABM$绕点$A$旋转后得到$\triangle ACN$，所以$\triangle ABM\cong\triangle ACN$。
则$AM = AN$，$\angle BAM=\angle CAN$，$BM = CN = 1cm$。
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle MAN=\angle BAC = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle MCN$中，$MN=\sqrt{CM^{2}+CN^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}(cm)$。
在$Rt\triangle AMN$中，$AM^{2}+AN^{2}=MN^{2}$，又$AM = AN$，所以$2AM^{2}=MN^{2}$。
即$2AM^{2}=(\sqrt{5})^{2}$，解得$AM=\frac{\sqrt{10}}{2}cm$。
### （2）
- 延长$AB$至点$E$，使$BE = DQ$，连接$CE$。
因为$CB = CD$，$\angle CBE=\angle CDQ = 90^{\circ}$，$BE = DQ$，所以$\triangle CBE\cong\triangle CDQ(SAS)$。
则$\angle BCE=\angle QCD$，$CE = CQ$。
因为$\angle PCB+\angle QCD=\angle PCQ$，所以$\angle PCE=\angle PCB+\angle BCE=\angle PCQ$。
又因为$PC = PC$，$CE = CQ$，所以$\triangle PCE\cong\triangle PCQ(SAS)$。
则$PE = PQ$。
所以$\triangle APQ$的周长$=AP + AQ + PQ=AP + AQ + PE=AP + AQ + PB + BE$。
因为$BE = DQ$，$AB = AD = a$，所以$\triangle APQ$的周长$=AB + AD = 2a$。
【答案】：
（1）$\frac{\sqrt{10}}{2}$
（2）$2a$