4. 市民广场是 1 路和 5 路公共汽车的起点站,1 路车每 10 分钟发一次车,5 路车每 25 分钟发一次车。这两路公共汽车早上$6:30$同时发车后,下一次同时发车的时间是()。(列表找出答案)
|1路车|6:30|6:40|6:50|7:00|7:10|7:20|7:30|7:40|7:50|8:00|
|5路车|6:30|6:55|7:20|7:45|8:10|8:35|8:50|9:15|9:40|10:05|

解析：本题主要考察最小公倍数和列举法的应用。
首先，需要找到10分钟和25分钟的最小公倍数，以确定两路车下一次同时发车的时间。
10的倍数有：10，20，30，40，50，60，...
25的倍数有：25，50，75，...
从上面的列举中，可以看到10和25的最小公倍数是50。
所以，两路车从早上6:30同时发车后，再过50分钟会再次同时发车。
6时30分+50分=7时20分，
答案为：7:20。

|1路车|6:30|6:40|6:50|7:00|7:10|7:20|7:30|7:40|7:50|
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
|5路车|6:30|6:55|7:20|7:45|8:10|8:35|8:00|8:25|8:50|
下一次同时发车的时间是7:20。

5. 如图,从少年宫出发,只许向南或向东走,走到体育馆,一共有多少种不同的走法?

解析：本题可通过列举从少年宫到体育馆的所有可能路线来求解走法总数，考查了用列举的策略解决问题的知识点。
从少年宫出发只许向南或向东走到体育馆，我们可以按顺序列举所有可能的走法：
第一种走法：先向东走$3$段，再向南走$2$段；
第二种走法：先向东走$2$段，再向南走$1$段，接着向东走$1$段，再向南走$1$段；
第三种走法：先向东走$1$段，再向南走$1$段，接着向东走$2$段，再向南走$1$段；
第四种走法：先向东走$1$段，再向南走$2$段，接着向东走$2$段；
第五种走法：先向南走$1$段，再向东走$3$段，再向南走$1$段；
第六种走法：先向南走$2$段，再向东走$3$段。
答案：一共有$6$种不同的走法。

解：采用标数法，从少年宫开始，向右（东）或向下（南）走，每个点的走法数等于其上方和左方点的走法数之和。
少年宫标1；
少年宫右边点：1（只能从少年宫向东）；
少年宫下边点：1（只能从少年宫向南）；
中间各点依次计算：
第二行第二列：1+1=2；
第三行第一列：1+0=1（上方无点，视为0）；
第三行第二列：2+1=3；
体育馆（第四行第二列）：3+0=3（左方无点，视为0）。
答：一共有3种不同的走法。

6. 学校举行足球比赛,一共有 5 个球队参加。如果每两个球队要踢一场球,一共要踢多少场球?

本题可通过列举法或组合数公式来计算比赛场数。
方法一：列举法
设这$5$个球队分别为$A$、$B$、$C$、$D$、$E$。
球队$A$需要和$B$、$C$、$D$、$E$各踢一场，共$4$场；
球队$B$已经和$A$踢过了，所以它还需要和$C$、$D$、$E$各踢一场，共$3$场；
球队$C$已经和$A$、$B$踢过了，所以它还需要和$D$、$E$各踢一场，共$2$场；
球队$D$已经和$A$、$B$、$C$踢过了，所以它还需要和$E$踢一场，共$1$场；
球队$E$已经和$A$、$B$、$C$、$D$都踢过了。
将各球队比赛场数相加可得总场数为：$4 + 3 + 2 + 1 = 10$（场）
方法二：组合数公式法
从$n$个不同元素中取出$m$（$m\leq n$）个元素的所有组合的个数，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数，记作$C_{n}^m$，其计算公式为$C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n - m)!}$。
每两个球队要踢一场球，即从$5$个球队中任选$2$个球队进行组合，求组合数，此时$n = 5$，$m = 2$。
$C_{5}^2=\frac{5!}{2!(5 - 2)!}=\frac{5×4×3!}{2×1×3!}=\frac{5×4}{2×1}= 10$（场）
答：一共要踢$10$场球。

解：每个球队要和另外4个球队踢一场，共5×4=20场，但每场球被重复计算2次，所以实际比赛场数为20÷2=10场。
答：一共要踢10场球。

7. 学校组织了足球、篮球、排球三个体育兴趣小组。五年级同学中,有人报了其中一个小组,也有人报了其中两个小组,还有人三个小组都报了。同学们的报名情况一共有多少种?

解析：本题考察的是组合问题，通过列举法来解决。
报名情况可以分为以下几种：
只报一个小组的情况有：足球、篮球、排球，共3种。
报两个小组的情况有：足球和篮球、足球和排球、篮球和排球，共3种。
报三个小组的情况只有1种：足球、篮球和排球都报。
所以总的报名情况为：$3(只报一个小组]+ 3(报两个小组]+ 1(报三个小组]= 7$
答案：7种。

只报一个小组：3种（足球、篮球、排球）
报两个小组：3种（足球和篮球、足球和排球、篮球和排球）
报三个小组：1种（足球、篮球和排球）
总情况数：3+3+1=7种
答：同学们的报名情况一共有7种。