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直角三角形内切圆半径的求解方法
已知直角三角形直角边为 $a$，$b$，斜边为 $c$，直角三角形内切圆半径为 $r$.
(1) 根据切线长定理推得 $a - r + b - r = c$，所以 $r=\frac{a + b - c}{2}$.
(2) 根据三角形面积的不同表示方法，得$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(a + b + c)r$，所以 $r=\frac{ab}{a + b + c}$.
已知直角三角形直角边为 $a$，$b$，斜边为 $c$，直角三角形内切圆半径为 $r$.
(1) 根据切线长定理推得 $a - r + b - r = c$，所以 $r=\frac{a + b - c}{2}$.
(2) 根据三角形面积的不同表示方法，得$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(a + b + c)r$，所以 $r=\frac{ab}{a + b + c}$.
答案
(1) 由切线长定理，设直角三角形的内心与三边切点将三边分为的线段长分别为 $x$，$y$，$r$（其中 $r$ 为内切圆半径，与直角边相邻的切线长分别为 $x$，$y$），则有 $x + r = a$，$y + r = b$，$x + y = c$。将前两式相加得 $x + y + 2r = a + b$，代入第三式 $c + 2r = a + b$，故 $r = \frac{a + b - c}{2}$。
(2) 直角三角形面积 $S = \frac{1}{2}ab$，又因为三角形面积也可表示为内心与三边构成的三个三角形面积之和，即 $S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = \frac{1}{2}(a + b + c)r$，所以 $\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}(a + b + c)r$，解得 $r = \frac{ab}{a + b + c}$。
(2) 直角三角形面积 $S = \frac{1}{2}ab$，又因为三角形面积也可表示为内心与三边构成的三个三角形面积之和，即 $S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = \frac{1}{2}(a + b + c)r$，所以 $\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}(a + b + c)r$，解得 $r = \frac{ab}{a + b + c}$。
2. 如图 $24.2.2 - 41$，在 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C = 90°$，$BC = 5$.$\odot O$ 内切$\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 的三边 $AB$，$BC$，$CA$于点 $D$，$E$，$F$，半径 $r = 2$. 求$\triangle ABC$ 的周长.
答案
2.解:因为⊙O内切于Rt△ABC,
所以根据切线长定理，得BD=BE,CE=CF,AD=AF.
连接OE,OF(图略)，
则OE⊥BC,OF⊥AC.
又因为∠C=90°,
所以四边形OECF是矩形.
又因为OE=OF,
所以矩形OECF是正方形.
所以CE=CF=r=2.
又因为BC=5,所以BE=BD=3.
设AF=AD=x,
则AC=x+2,AB=x+3,
根据勾股定理,得$(x+2)^2+5^2=(x+3)^2$，解得x=10.
所以AC=12,AB=13,即△ABC的周长是5+12+13=30.
所以根据切线长定理，得BD=BE,CE=CF,AD=AF.
连接OE,OF(图略)，
则OE⊥BC,OF⊥AC.
又因为∠C=90°,
所以四边形OECF是矩形.
又因为OE=OF,
所以矩形OECF是正方形.
所以CE=CF=r=2.
又因为BC=5,所以BE=BD=3.
设AF=AD=x,
则AC=x+2,AB=x+3,
根据勾股定理,得$(x+2)^2+5^2=(x+3)^2$，解得x=10.
所以AC=12,AB=13,即△ABC的周长是5+12+13=30.
1. 如图 $24.2.2 - 42$，从$\odot O$ 外一点 $P$ 引$\odot O$ 的两条切线 $PA$，$PB$，切点分别为 $A$，$B$. 如果 $\angle APB = 60°$，$PA = 8$，那么弦 $AB$ 的长是(
A.$4$
B.$8$
C.$4\sqrt{3}$
D.$8\sqrt{3}$
B
)A.$4$
B.$8$
C.$4\sqrt{3}$
D.$8\sqrt{3}$
答案
1.B
解析
解：
∵PA，PB是$\odot O$的切线，
∴PA=PB。
∵∠APB=60°，
∴△PAB是等边三角形。
∴AB=PA=8。
答案：B
∵PA，PB是$\odot O$的切线，
∴PA=PB。
∵∠APB=60°，
∴△PAB是等边三角形。
∴AB=PA=8。
答案：B
2. 下列说法中，不正确的是(
A.三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点
B.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部
C.过一点，有两条直线与圆相切
D.三角形的内心到三角形的三边的距离相等
C
)A.三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点
B.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部
C.过一点，有两条直线与圆相切
D.三角形的内心到三角形的三边的距离相等
答案
2.C
3. (河北中考) 如图 $24.2.2 - 43$，点 $I$ 为$\triangle ABC$ 的内心，$AB = 4$，$AC = 3$，$BC = 2$，将$\angle ACB$平移使其顶点与 $I$ 重合，则图中阴影部分的周长为(
A.$4.5$
B.$4$
C.$3$
D.$2$
B
)A.$4.5$
B.$4$
C.$3$
D.$2$
答案
3.B
解析
证明：连接$AI$，$BI$。
∵点$I$为$\triangle ABC$的内心，
∴$AI$平分$\angle CAB$，$BI$平分$\angle CBA$。
由平移性质，设平移后$\angle ACB$的两边分别交$AB$于$M$，$N$，交$AC$于$E$，交$BC$于$F$，则$IE// AC$，$IF// BC$，$\angle EIF=\angle ACB$。
∴$\angle EIA=\angle IAC=\angle EAI$，$\angle FIB=\angle IBC=\angle FBI$。
∴$EM=EI$，$FN=FI$。
阴影部分周长$=IM+IN+MN=EM+FN+MN=AM+BN+MN=AB=4$。
答案：B
∵点$I$为$\triangle ABC$的内心，
∴$AI$平分$\angle CAB$，$BI$平分$\angle CBA$。
由平移性质，设平移后$\angle ACB$的两边分别交$AB$于$M$，$N$，交$AC$于$E$，交$BC$于$F$，则$IE// AC$，$IF// BC$，$\angle EIF=\angle ACB$。
∴$\angle EIA=\angle IAC=\angle EAI$，$\angle FIB=\angle IBC=\angle FBI$。
∴$EM=EI$，$FN=FI$。
阴影部分周长$=IM+IN+MN=EM+FN+MN=AM+BN+MN=AB=4$。
答案：B
4. 如图 $24.2.2 - 44$，已知 $PA$，$PB$ 分别切$\odot O$ 于点 $A$，$B$，$\angle P = 90°$，$PA = 3$，那么$\odot O$ 的半径长是.
3
答案
4.3
解析
证明：连接 $OA$，$OB$，$OP$。
因为 $PA$，$PB$ 分别切 $\odot O$ 于点 $A$，$B$，
所以 $OA \perp PA$，$OB \perp PB$，$PA = PB = 3$。
所以 $\angle OAP = \angle OBP = 90°$。
因为 $\angle P = 90°$，
所以四边形 $OAPB$ 是矩形。
又因为 $PA = PB$，
所以四边形 $OAPB$ 是正方形。
所以 $OA = PA = 3$，即 $\odot O$ 的半径长是 $3$。
$3$
因为 $PA$，$PB$ 分别切 $\odot O$ 于点 $A$，$B$，
所以 $OA \perp PA$，$OB \perp PB$，$PA = PB = 3$。
所以 $\angle OAP = \angle OBP = 90°$。
因为 $\angle P = 90°$，
所以四边形 $OAPB$ 是矩形。
又因为 $PA = PB$，
所以四边形 $OAPB$ 是正方形。
所以 $OA = PA = 3$，即 $\odot O$ 的半径长是 $3$。
$3$
5. 如图 $24.2.2 - 45$，$BF$ 为直径，$P$ 是$\odot O$ 外的一点，$PA$，$PB$ 分别与$\odot O$ 相切于点 $A$，$B$，若$\angle P = 40°$，求$\angle AFB$ 的度数.
答案
5.解:∠AFB=70°.
解析
解：连接OA，OB。
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°。
在四边形OAPB中，∠P=40°，
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-40°=140°。
∵∠AFB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，
∴∠AFB=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×140°=70°。
答：∠AFB的度数为70°。
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°。
在四边形OAPB中，∠P=40°，
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-40°=140°。
∵∠AFB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，
∴∠AFB=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×140°=70°。
答：∠AFB的度数为70°。
1. 如图 $24.2.2 - 46$ 所示，$PA$ 切$\odot O$ 于点 $A$，$PB$切$\odot O$ 于点 $B$，$OP$ 交$\odot O$ 于点 $C$，下列结论正确的个数是(
①$PA = PB$；②$\angle 1 = \angle 2$；③$OP$ 垂直平分$AB$；④$\angle PAB = \angle PBA$.
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
D
)①$PA = PB$；②$\angle 1 = \angle 2$；③$OP$ 垂直平分$AB$；④$\angle PAB = \angle PBA$.
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
答案
1.D
解析
证明：
①
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA=PB（切线长定理），①正确；
②
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OP平分∠APB，即∠1=∠2（切线长定理），②正确；
③
∵PA=PB，∠1=∠2，
∴OP垂直平分AB（等腰三角形三线合一），③正确；
④
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA（等边对等角），④正确。
结论正确的个数是4，
答案：D
①
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA=PB（切线长定理），①正确；
②
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OP平分∠APB，即∠1=∠2（切线长定理），②正确；
③
∵PA=PB，∠1=∠2，
∴OP垂直平分AB（等腰三角形三线合一），③正确；
④
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA（等边对等角），④正确。
结论正确的个数是4，
答案：D
