3. 如图 $24.2.2 - 36$ 所示，$PA$，$PB$ 分别与$\odot O$相切于 $A$，$B$ 两点，$\angle APB = 60°$，则$\angle 1$ 的度数为，若 $OP = 4$，则$\odot O$ 的半径为.

3.30°　2

解：连接OA。
∵PA，PB分别与$\odot O$相切于A，B两点，
∴OA⊥PA，OP平分∠APB。
∵∠APB=60°，
∴∠1=∠OPA=$\frac{1}{2}$∠APB=30°。
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠1=30°，OP=4，
∴OA=$\frac{1}{2}$OP=2，即$\odot O$的半径为2。
30°；2

【例 1】如图 $24.2.2 - 37$，$P$ 为$\odot O$ 外一点，$PA$，$PB$ 均为$\odot O$ 的切线，$A$ 和 $B$ 是切点，$BC$ 是直径. 求证：
(1)$\angle APB = 2\angle ABC$；
(2)$AC// OP$.
思考 $1$：由切线长定理可得 $\angle APB = 2$ $= 2$，所以要证$\angle APB =2\angle ABC$，可转化为证$\angle ABC =$ 或$\angle ABC =$.
思考 $2$：当几何图形中出现两个以上的直角三角形时，要证两角相等，常用什么定理？
思考 $3$：由圆的性质可得 $AC\perp$，因此要证 $AC// OP$，只需证 $OP$ 也垂直于.
证明：

思考1:∠APO　∠BPO　∠APO ∠BPO
　思考2:等角或同角的余角相等.
　思考3:AB　AB
　证明:
(1)设AB交OP于F，连接AO(图略).因为PA,PB均为⊙O的切线，A和B是切点，所以∠APO=∠BPO,PA=PB,OB⊥BP,
　所以∠BPO+∠BOP=90°,∠APB=2∠BPO.
　因为OA=OB，所以PO垂直平分AB.所以∠OFB=90°.
　所以∠OBA+∠BOP=90°,
　所以∠ABC=∠BPO.
　所以∠APB=2∠ABC.
(2)由
(1)知∠OFB=90°.
　因为BC是直径，所以∠CAB=90°.
　所以∠CAB=∠OFB.
　所以AC//OP.

1. (山东济南中考) 把直尺、三角尺和圆形螺母按如图 $24.2.2 - 39$ 所示的方式放置于桌面上，$\angle CAB = 60°$，若量出 $AD =6\mathrm{cm}$，则圆形螺母的外直径是()

A.$12\mathrm{cm}$
B.$24\mathrm{cm}$
C.$6\sqrt{3}\mathrm{cm}$
D.$12\sqrt{3}\mathrm{cm}$

1.D

解：设圆形螺母的圆心为$O$，半径为$r$，连接$OD$、$OA$。
因为直尺的两边互相平行，三角尺的$\angle CAB = 60°$，所以$\angle OAD = 60°$。
$OD$为圆的半径，且与直尺垂直，所以$\triangle OAD$为直角三角形，$\angle ODA = 90°$。
在$Rt\triangle OAD$中，$\tan\angle OAD=\frac{OD}{AD}$，即$\tan60°=\frac{r}{AD}$。
已知$AD = 6\,cm$，$\tan60°=\sqrt{3}$，则$r = AD\cdot\tan60°=6\sqrt{3}\,cm$。
所以圆形螺母的外直径为$2r = 12\sqrt{3}\,cm$。
答案：D

【例 2】如图 $24.2.2 - 40$，$\odot O$ 内切于$\triangle ABC$，切点分别是 $E$，$F$，$G$. 若$\angle C = 90°$，$AC =6$，$BC = 8$，求$\odot O$ 的半径.
思考：要求$\odot O$ 的半径，应在图形中先画出$\odot O$ 的半径，那么构造哪条半径便于运算？ 为什么？
解：

思考:连接OE,OF，因为可构造正方形OECF，利用正方形的性质把⊙O的半径转移到△ABC的边上.
　解:如答图24.2.2−7,连接OE,OF.
　因为AC=6,BC=8,
　　　　　　　　　　　
　所以AB=$\sqrt{6^2+8^2}$=10.
　设⊙O的半径为r.
　因为⊙O内切于△ABC,
　所以OE⊥AC于点E,OF⊥BC于点F,CE=CF,AE=AG,BF=BG.
　因为∠C=90°,所以四边形OECF为正方形.
　所以CE=CF=OE=r,AE=AG=6−r,BF=BG=8−r.
　因为AG+BG=AB,
　所以6−r+8−r=10.解得r=2.
　所以⊙O的半径为2.