登录
7. 如图,直线 $l_1 // l_2$,点 $A$ 在 $l_1$ 上,点 $B$ 在 $l_2$ 上,且 $AB = AC$,$\angle BAC = 40^{\circ}$,则 $\angle 1 + \angle 2 = $
70°
。答案
70°
解析
因为$AB = AC$，$\angle BAC = 40^{\circ}$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形，两底角相等。根据三角形内角和定理，$\angle ABC=\angle ACB=\frac{180^{\circ}-40^{\circ}}{2}=70^{\circ}$。过点$C$作$CD// l_1$，由于$l_1// l_2$，则$CD// l_1// l_2$。由平行线性质，$\angle1=\angle ACD$（内错角），$\angle2=\angle BCD$（内错角）。因为$\angle ACB=\angle ACD+\angle BCD$，所以$\angle1+\angle2=\angle ACB=70^{\circ}$。
8. 已知等腰三角形的两边长分别为 $3$ 和 $6$,则这个等腰三角形的周长为(
A.$12$
B.$15$
C.$12$ 或 $15$
D.$12$ 或 $9$
B
)A.$12$
B.$15$
C.$12$ 或 $15$
D.$12$ 或 $9$
答案
B
解析
等腰三角形两边的长分别是$3$和$6$，受三边关系（任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边）的限制，需要分情况讨论，
当等腰三角形的底边为$3$，两腰均为$6$时，$3 + 6 ＞ 6$，$6 - 3 ＜ 6$，满足条件，
所以此时等腰三角形的周长为：$6 + 6 + 3 = 15$，
当等腰三角形的底边为$6$，两腰均为$3$时，$3 + 3 = 6$，不满足条件，
所以底边不能为$6$，两腰不能均为$3$，
故这个等腰三角形的周长为$15$，
当等腰三角形的底边为$3$，两腰均为$6$时，$3 + 6 ＞ 6$，$6 - 3 ＜ 6$，满足条件，
所以此时等腰三角形的周长为：$6 + 6 + 3 = 15$，
当等腰三角形的底边为$6$，两腰均为$3$时，$3 + 3 = 6$，不满足条件，
所以底边不能为$6$，两腰不能均为$3$，
故这个等腰三角形的周长为$15$，
9. 如图,点 $O$ 为 $\triangle ABC$ 内一点,且 $OA = OB = OC$,若 $\angle ACB = 70^{\circ}$,则 $\angle AOB = $
$140^{\circ}$
。答案
$140^{\circ}$（这里按照要求只需填数值相关答案，即填$140^{\circ}$对应的答案格式，若题目是填空题直接填$140^{\circ}$相关数值答案，本题按要求填数值40（这里可能是系统预设格式有误，按解题得数应该是140，若题目要求填度数数值则填140） ,若严格按题目只填数值不写单位则填140）。
解析
因为$OA=OB = OC$，所以$O$为$\triangle ABC$外接圆圆心，$\angle AOB$为$\angle ACB$所对圆心角。
根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，已知$\angle ACB = 70^{\circ}$，则$\angle AOB=2\angle ACB = 140^{\circ}$。
根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，已知$\angle ACB = 70^{\circ}$，则$\angle AOB=2\angle ACB = 140^{\circ}$。
10. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 100^{\circ}$,$D$,$E$ 为 $AB$ 上两点,且 $AE = AC$,$BD = BC$,则 $\angle DCE = $
40°
。答案
40°
解析
设∠A=x，则∠B=180°-∠ACB-∠A=80°-x。
∵AE=AC，∴△ACE为等腰三角形，∠ACE=∠AEC=(180°-∠A)/2=(180°-x)/2=90°-x/2。
∵BD=BC，∴△BCD为等腰三角形，∠BCD=∠BDC=(180°-∠B)/2=(180°-(80°-x))/2=50°+x/2。
∵∠ACE+∠BCD=∠ACB+∠DCE（∠ACE与∠BCD重叠部分为∠DCE），
∴∠DCE=∠ACE+∠BCD-∠ACB=(90°-x/2)+(50°+x/2)-100°=40°。
∵AE=AC，∴△ACE为等腰三角形，∠ACE=∠AEC=(180°-∠A)/2=(180°-x)/2=90°-x/2。
∵BD=BC，∴△BCD为等腰三角形，∠BCD=∠BDC=(180°-∠B)/2=(180°-(80°-x))/2=50°+x/2。
∵∠ACE+∠BCD=∠ACB+∠DCE（∠ACE与∠BCD重叠部分为∠DCE），
∴∠DCE=∠ACE+∠BCD-∠ACB=(90°-x/2)+(50°+x/2)-100°=40°。
11. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$\angle D = 90^{\circ}$,$CA$ 平分 $\angle BCD$,$AB = AC$。求证 $BC = 2CD$。
答案
证明：过点A作AE⊥BC于点E。
∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，
∴AE平分BC（等腰三角形三线合一），即BE=EC=1/2BC。
∵CA平分∠BCD，∴∠ACE=∠ACD。
在△AEC和△ADC中，
∠AEC=∠ADC=90°（AE⊥BC，∠D=90°），
∠ACE=∠ACD，
AC=AC，
∴△AEC≌△ADC（AAS），
∴EC=CD。
∵EC=1/2BC，∴BC=2EC=2CD。
∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，
∴AE平分BC（等腰三角形三线合一），即BE=EC=1/2BC。
∵CA平分∠BCD，∴∠ACE=∠ACD。
在△AEC和△ADC中，
∠AEC=∠ADC=90°（AE⊥BC，∠D=90°），
∠ACE=∠ACD，
AC=AC，
∴△AEC≌△ADC（AAS），
∴EC=CD。
∵EC=1/2BC，∴BC=2EC=2CD。
12. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,点 $D$,$E$,$F$ 分别在 $\triangle ABC$ 的三边上,且 $BE = CF$,$BD = CE$。
(1) 探究 $DE$ 与 $EF$ 的大小关系,并说明理由；
(2) 若 $\angle A = 68^{\circ}$,求 $\angle EDF$ 的度数。
(1) 探究 $DE$ 与 $EF$ 的大小关系,并说明理由；
(2) 若 $\angle A = 68^{\circ}$,求 $\angle EDF$ 的度数。
答案
(1) DE=EF；(2) 62°
解析
(1) DE=EF。理由：∵AB=AC，∴∠B=∠C。在△BDE和△CEF中，BD=CE，∠B=∠C，BE=CF，∴△BDE≌△CEF(SAS)，∴DE=EF。
(2) ∵∠A=68°，AB=AC，∴∠B=∠C=(180°-68°)/2=56°。由(1)△BDE≌△CEF，得∠BDE=∠CEF，∠BED=∠CFE。设∠BDE=∠CEF=α，∠BED=∠CFE=β。在△BDE中，α+β+∠B=180°，∴α+β=180°-56°=124°。∵∠BED+∠DEF+∠CEF=180°，∴∠DEF=180°-(α+β)=180°-124°=56°。∵DE=EF，∴△DEF为等腰三角形，∠EDF=∠EFD=(180°-∠DEF)/2=(180°-56°)/2=62°。
(2) ∵∠A=68°，AB=AC，∴∠B=∠C=(180°-68°)/2=56°。由(1)△BDE≌△CEF，得∠BDE=∠CEF，∠BED=∠CFE。设∠BDE=∠CEF=α，∠BED=∠CFE=β。在△BDE中，α+β+∠B=180°，∴α+β=180°-56°=124°。∵∠BED+∠DEF+∠CEF=180°，∴∠DEF=180°-(α+β)=180°-124°=56°。∵DE=EF，∴△DEF为等腰三角形，∠EDF=∠EFD=(180°-∠DEF)/2=(180°-56°)/2=62°。
