1. 等腰三角形的一个内角等于 $70^{\circ}$,则其底角的度数为()
A.$40^{\circ}$
B.$55^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$55^{\circ}$或 $70^{\circ}$

D

本题可分情况讨论已知的$70^{\circ}$角是等腰三角形的底角还是顶角，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求解底角的度数。
情况一：当$70^{\circ}$角为底角时
等腰三角形的两个底角相等，此时底角就是$70^{\circ}$，经检验，三个角$70^{\circ},70^{\circ},40^{\circ}$能构成三角形，符合题意。
情况二：当$70^{\circ}$角为顶角时
设底角的度数为$x$，根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为$180^{\circ}$，可得方程$2x + 70^{\circ}= 180^{\circ}$，
解方程$2x=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}$，则$x = 55^{\circ}$，经检验，三个角$55^{\circ},55^{\circ},70^{\circ}$能构成三角形，符合题意。
综上，其底角的度数为$55^{\circ}$或$70^{\circ}$。

2. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$\angle BAC = 130^{\circ}$,$DA \perp AC$,则 $\angle ADB = $()

A.$100^{\circ}$
B.$115^{\circ}$
C.$130^{\circ}$
D.$145^{\circ}$

B

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，所以∠B=∠C=(180°-130°)/2=25°。因为DA⊥AC，所以∠DAC=90°，则∠BAD=∠BAC-∠DAC=130°-90°=40°。在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-25°-40°=115°。

3. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,边 $AB$ 的垂直平分线交 $BC$ 于点 $D$,交 $AB$ 于点 $E$。若 $\angle B = 50^{\circ}$,则 $\angle CAD$ 的度数为()

A.$30^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

A

∵AB=AC，∠B=50°，
∴∠C=∠B=50°（等边对等角），
∠BAC=180°-∠B-∠C=80°（三角形内角和定理）。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
∴∠BAD=∠B=50°（等边对等角），
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=80°-50°=30°。

4. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$AD$ 平分 $\angle BAC$,交 $BC$ 于点 $D$,$DE \perp AB$,$DF \perp AC$,垂足分别为 $E$,$F$,则下列结论中错误的是()

A.$AD \perp BC$
B.$BD = CD$
C.$DE = DF$
D.$AD = BC$

D

在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$AD$平分$\angle BAC$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AD\perp BC$，$BD = CD$，所以选项A和B正确。
因为$AD$平分$\angle BAC$，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DE = DF$，选项C正确。
仅根据已知条件无法得出$AD = BC$，所以选项D错误。

5. 如图,$AD$,$BE$ 分别是 $\triangle ABC$ 的中线和角平分线,若 $AB = AC$,$\angle BAD = 24^{\circ}$,则 $\angle ABE$ 的度数为()

A.$31^{\circ}$
B.$32^{\circ}$
C.$33^{\circ}$
D.$36^{\circ}$

C

∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C。
∵AD是中线，等腰三角形底边上的中线与顶角平分线重合，∴AD平分∠BAC。
∵∠BAD=24°，∴∠BAC=2∠BAD=48°。
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∠ABC=∠C，
∴∠ABC=(180°-48°)/2=66°。
∵BE是角平分线，∴∠ABE=∠ABC/2=33°。

6. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$\angle A = 40^{\circ}$,按如下步骤作图：①以点 $B$ 为圆心,适当长为半径画弧,分别交 $BA$,$BC$ 于点 $D$,$E$；②分别以点 $D$,$E$ 为圆心,大于 $\frac{1}{2}DE$ 长为半径画弧,两弧在 $\angle ABC$ 的内部相交于点 $F$,作射线 $BF$ 交 $AC$ 于点 $G$,则 $\angle ABG$ 的大小为。

$35^{\circ}$（此处按照要求应填规范答案形式，若题目是填空题，答案就写$35^{\circ}$ ）

1. 因为$AB = AC$，$\angle A = 40^{\circ}$，根据等腰三角形性质及三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ABC=\angle C=\frac{1}{2}×(180^{\circ}-\angle A)=\frac{1}{2}×(180 - 40)=70^{\circ}$。
2. 由作图可知$BG$是$\angle ABC$的角平分线，所以$\angle ABG=\frac{1}{2}\angle ABC = 35^{\circ}$。