3. 下列说法正确的是 ()。

①如图 1,线段 AD 与 BC 相交于点 O,AO = DO,BO = CO,则△ABO ≌ △DCO
②如图 2,AC = AD,BC = BD,则△ABC ≌ △ABD
③如图 3,∠A = ∠C,∠B = ∠D,则△ABO ≌ △CDO
④如图 4,线段 AD 与 BC 相交于点 E,AE = BE,CE = DE,AC = BD,则△ABC ≌ △BAD

①②④

①中，AO=DO，∠AOB=∠DOC（对顶角），BO=CO，由SAS得△ABO≌△DCO，正确；②中，AC=AD，BC=BD，AB=AB（公共边），由SSS得△ABC≌△ABD，正确；③中，仅有∠A=∠C，∠B=∠D，无对应边相等，无法判定全等，错误；④中，AE=BE，CE=DE，得AD=AE+DE=BE+CE=BC，又AC=BD，AB=BA（公共边），由SSS得△ABC≌△BAD，正确。

4. 如图,BE = CD,AE = AD,∠1 = ∠2,∠2 = 100°,∠BAE = 60°,则∠CAE 为()

A.20°
B.30°
C.40°
D.50°

C

∵∠1=∠2=100°，∴∠ADB=∠AEC=100°，∴∠ADE=180°-∠ADB=80°，∠AED=180°-∠AEC=80°，∴∠ADE=∠AED，△ADE为等腰三角形，AD=AE（已知）。
∵BE=CD，∴BE-DE=CD-DE，即BD=EC。
在△ABD和△ACE中，AD=AE，∠ADB=∠AEC，BD=EC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠BAD=∠CAE。
在△ADE中，∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=180°-80°-80°=20°。
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=60°，设∠CAE=∠BAD=x，则x+20°=60°，解得x=40°，即∠CAE=40°。

5. 如图,下列条件中,不能证明△ABC ≌ △DCB 的是()

A.AB = DC,AC = DB
B.AB = DC,∠ABC = ∠DCB
C.BO = CO,∠A = ∠D
D.AB = DC,∠ACB = ∠DBC

D

选项A：AB=DC，AC=DB，公共边BC=CB，SSS可证全等；选项B：AB=DC，∠ABC=∠DCB，公共边BC=CB，SAS可证全等；选项C：BO=CO得∠OBC=∠OCB（即∠ABC=∠DCB），结合∠A=∠D，公共边BC=CB，AAS可证全等；选项D：AB=DC，∠ACB=∠DBC，公共边BC=CB，为SSA，无法证明全等。

6. 如图,在△ABC 中,AD ⊥ BC,CE ⊥ AB,垂足分别为 D,E,AD,CE 交于点 H,已知 EH = EB = 3,AE = 5,则 CH 的长是()

A.2
B.2.5
C.1.5
D.1

A

∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEH=∠CEB=∠ADB=90°．
∵∠BAD+∠B=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠BAD=∠BCE（同角的余角相等），即∠HAE=∠BCE．
在△AEH和△CEB中，
∠HAE=∠BCE，
∠AEH=∠CEB，
EH=EB，
∴△AEH≌△CEB（AAS）．
∴AE=CE．
∵AE=5，∴CE=5．
∵EH=3，∴CH=CE-EH=5-3=2．

7. 如图,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 的中点,过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于点 F,连接 CF. 若 AF = 5,求 DC 的长。

解题过程如下：
由题意知$E$是$AD$的中点，所以$AE = DE$，
因为$AF// BC$，
所以$\angle FAE =\angle BDE$（两直线平行，内错角相等），
又因为$\angle AEF = \angle DEB$（对顶角相等），
根据三角形全等（$ASA$）判定定理：两角及其夹边对应相等的三角形全等，
在$\triangle FAE$和$\triangle BDE$中，
$\begin{cases}\angle FAE =\angle BDE, \\ AE = DE, \\\angle AEF = \angle DEB.\end{cases}$
所以$\triangle FAE \cong \triangle BDE$，
所以$AF = DB=5$，
因为$AD$是$BC$边上的中线，
所以$CD = BD = 5$。
所以$DC$的长为$5$。