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6. 如图,已知$2\angle BOC= \angle AOC$,$\angle AOC的余角比\angle BOC小30^{\circ}$,作射线$OD$,使得$\angle AOC = 4\angle AOD$. 求$\angle DOB$的度数.
答案
设∠BOC=x，则∠AOC=2x。
∠AOC的余角为90°-∠AOC=90°-2x，由题意得：
90°-2x = x-30°，解得x=40°。
∴∠BOC=40°，∠AOC=80°。
∵∠AOC=4∠AOD，∴∠AOD=∠AOC/4=20°。
分两种情况：
①OD在∠AOC内部：
∠COD=∠AOC-∠AOD=80°-20°=60°，
∠DOB=∠COD+∠BOC=60°+40°=100°。
②OD在∠AOC外部：
∠COD=∠AOD+∠AOC=20°+80°=100°，
∠DOB=∠COD-∠BOC=100°-40°=60°。
∠DOB的度数为60°或100°。
∠AOC的余角为90°-∠AOC=90°-2x，由题意得：
90°-2x = x-30°，解得x=40°。
∴∠BOC=40°，∠AOC=80°。
∵∠AOC=4∠AOD，∴∠AOD=∠AOC/4=20°。
分两种情况：
①OD在∠AOC内部：
∠COD=∠AOC-∠AOD=80°-20°=60°，
∠DOB=∠COD+∠BOC=60°+40°=100°。
②OD在∠AOC外部：
∠COD=∠AOD+∠AOC=20°+80°=100°，
∠DOB=∠COD-∠BOC=100°-40°=60°。
∠DOB的度数为60°或100°。
解析
设$\angle BOC = x$，则$\angle AOC = 2x$。
$\angle AOC$的余角为$90^{\circ}-2x$，由题意得：$90^{\circ}-2x = x - 30^{\circ}$，解得$x = 40^{\circ}$。
$\angle AOC = 2x = 80^{\circ}$。
$\angle AOC = 4\angle AOD$，则$\angle AOD=\frac{80^{\circ}}{4}=20^{\circ}$。
情况1：OD在$\angle AOC$内部，$\angle COD=\angle AOC - \angle AOD=80^{\circ}-20^{\circ}=60^{\circ}$，$\angle DOB=\angle COD + \angle BOC=60^{\circ}+40^{\circ}=100^{\circ}$。
情况2：OD在$\angle AOC$外部，$\angle AOB=\angle AOC + \angle BOC=80^{\circ}+40^{\circ}=120^{\circ}$，$\angle DOB=\angle AOB + \angle AOD=120^{\circ}+20^{\circ}=140^{\circ}$。
$\angle DOB$的度数为$100^{\circ}$或$140^{\circ}$。
$\angle AOC$的余角为$90^{\circ}-2x$，由题意得：$90^{\circ}-2x = x - 30^{\circ}$，解得$x = 40^{\circ}$。
$\angle AOC = 2x = 80^{\circ}$。
$\angle AOC = 4\angle AOD$，则$\angle AOD=\frac{80^{\circ}}{4}=20^{\circ}$。
情况1：OD在$\angle AOC$内部，$\angle COD=\angle AOC - \angle AOD=80^{\circ}-20^{\circ}=60^{\circ}$，$\angle DOB=\angle COD + \angle BOC=60^{\circ}+40^{\circ}=100^{\circ}$。
情况2：OD在$\angle AOC$外部，$\angle AOB=\angle AOC + \angle BOC=80^{\circ}+40^{\circ}=120^{\circ}$，$\angle DOB=\angle AOB + \angle AOD=120^{\circ}+20^{\circ}=140^{\circ}$。
$\angle DOB$的度数为$100^{\circ}$或$140^{\circ}$。
7. 如图,已知$OC是\angle AOB$的平分线.
(1)当$\angle AOB = 60^{\circ}$时,求$\angle AOC$的度数；
(2)在(1)的条件下,若$\angle EOC = 90^{\circ}$,请在图中补全图形,并求$\angle AOE$的度数；
(3)当$\angle AOB= \alpha$时,若$\angle EOC = 90^{\circ}$,请直接写出$\angle AOE$的度数(用含$\alpha$的式子表示).
(1)当$\angle AOB = 60^{\circ}$时,求$\angle AOC$的度数；
(2)在(1)的条件下,若$\angle EOC = 90^{\circ}$,请在图中补全图形,并求$\angle AOE$的度数；
(3)当$\angle AOB= \alpha$时,若$\angle EOC = 90^{\circ}$,请直接写出$\angle AOE$的度数(用含$\alpha$的式子表示).
答案
(1) ∵OC是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，
∴∠AOC=∠AOB/2=60°/2=30°．
(2) 分两种情况：
① 当OE在∠AOC外部（OA下方）时，∠AOE=∠EOC - ∠AOC=90° - 30°=60°；
② 当OE在∠COB外部（OB上方）时，∠AOE=∠AOC + ∠EOC=30° + 90°=120°．
综上，∠AOE的度数为60°或120°．
(3) 90°+α/2或90°-α/2．
∴∠AOC=∠AOB/2=60°/2=30°．
(2) 分两种情况：
① 当OE在∠AOC外部（OA下方）时，∠AOE=∠EOC - ∠AOC=90° - 30°=60°；
② 当OE在∠COB外部（OB上方）时，∠AOE=∠AOC + ∠EOC=30° + 90°=120°．
综上，∠AOE的度数为60°或120°．
(3) 90°+α/2或90°-α/2．
8. 如图,将形如三角形$ABC的纸片沿MN$折叠,使点$A落在点A'$处,若$\angle A'MB = 55^{\circ}$,求$\angle AMN$的度数.
答案
由折叠性质可知$\angle A^{\prime}MN = \angle AMN$，
因为$\angle A^{\prime}MB = 55^{\circ}$，$\angle AMB = \angle A^{\prime}MB + \angle A^{\prime}MN + \angle AMN$，$\angle AMB = 180^{\circ}$，
所以$180^{\circ}=55^{\circ}+2\angle AMN$，
则$\angle AMN = 62.5^{\circ}$。
故答案为：$62.5^{\circ}$。
因为$\angle A^{\prime}MB = 55^{\circ}$，$\angle AMB = \angle A^{\prime}MB + \angle A^{\prime}MN + \angle AMN$，$\angle AMB = 180^{\circ}$，
所以$180^{\circ}=55^{\circ}+2\angle AMN$，
则$\angle AMN = 62.5^{\circ}$。
故答案为：$62.5^{\circ}$。
9. 如图,已知同一平面内$\angle AOB = 90^{\circ}$,$\angle AOC = 60^{\circ}$.
(1)计算$\angle BOC= $
(2)若$OD平分\angle BOC$,$OE平分\angle AOC$,则$\angle DOE$的度数为
(3)试问在(2)的条件下,如果将题目中$\angle AOC = 60^{\circ}改成\angle AOC = 2\alpha(\alpha＜45^{\circ})$,其他条件不变,你能求出$\angle DOE$的度数吗？若能,请你写出求解过程；若不能,请说明理由.
(1)计算$\angle BOC= $
150°
；(2)若$OD平分\angle BOC$,$OE平分\angle AOC$,则$\angle DOE$的度数为
45°
；(直接写出即可)(3)试问在(2)的条件下,如果将题目中$\angle AOC = 60^{\circ}改成\angle AOC = 2\alpha(\alpha＜45^{\circ})$,其他条件不变,你能求出$\angle DOE$的度数吗？若能,请你写出求解过程；若不能,请说明理由.
45°
答案
(1)150°；(2)45°；(3)45°
解析
(1) $30^{\circ}$
(2) $45^{\circ}$
(3) 能，$45^{\circ}$
因为$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle AOC = 2\alpha$，所以$\angle BOC=\angle AOB - \angle AOC=90^{\circ}-2\alpha$
因为$OD$平分$\angle BOC$，所以$\angle COD = \frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}(90^{\circ}-2\alpha)=45^{\circ}-\alpha$
因为$OE$平分$\angle AOC$，所以$\angle COE=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}×2\alpha=\alpha$
所以$\angle DOE=\angle COE + \angle COD=\alpha+(45^{\circ}-\alpha)=45^{\circ}$
