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8. 如图，$ S_1 $ 和 $ S_2 $ 分别为正方形 $ ABCD $ 和正方形 $ AEFG $ 的面积，点 $ B $ 在 $ EF $ 上，$ S_1 = 140 $，$ S_2 = 124 $，$ EB $ 的长为
4
。答案
4
解：
∵$ S_1 = 140 ，$$ S_2 = 124 ，$
∴ 正方形 ABCD 的边长$ AB = \sqrt{140} ，$正方形 AEFG 的边长$ AE = \sqrt{124} 。$
设 EB = x ， BF = y ，
∵ 四边形 AEFG 是正方形，
∴$ \angle AEB = 90° ，$$ EF = AE = \sqrt{124} ，$
∴$ \angle AEB = 90° ，$
在$ Rt\triangle AEB $中，由勾股定理得：
$ AE^2 + EB^2 = AB^2 ，$
即$ (\sqrt{124})^2 + x^2 = (\sqrt{140})^2 ，$
$ 124 + x^2 = 140 ，$
$ x^2 = 16 ，$
x = 4 （负值舍去），
∴ EB = 4 。
答案：4
解：
∵$ S_1 = 140 ，$$ S_2 = 124 ，$
∴ 正方形 ABCD 的边长$ AB = \sqrt{140} ，$正方形 AEFG 的边长$ AE = \sqrt{124} 。$
设 EB = x ， BF = y ，
∵ 四边形 AEFG 是正方形，
∴$ \angle AEB = 90° ，$$ EF = AE = \sqrt{124} ，$
∴$ \angle AEB = 90° ，$
在$ Rt\triangle AEB $中，由勾股定理得：
$ AE^2 + EB^2 = AB^2 ，$
即$ (\sqrt{124})^2 + x^2 = (\sqrt{140})^2 ，$
$ 124 + x^2 = 140 ，$
$ x^2 = 16 ，$
x = 4 （负值舍去），
∴ EB = 4 。
答案：4
9. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ CD \perp AB $ 于点 $ D $，$ AC = 4 $，$ BC = 3 $，$ AD = \dfrac{16}{5} $。
（1）求 $ CD $，$ BD $ 的长。
（2）判断 $ \triangle ABC $ 的形状，并说明理由。
（1）求 $ CD $，$ BD $ 的长。
（2）判断 $ \triangle ABC $ 的形状，并说明理由。
答案
解：(1)在 Rt△ACD 中
$CD^2=AC^2-AD^2=4^2-(\frac {16}5)^2=(\frac {12}5)^2$
∴$CD=\frac {12}5$
在 Rt △BCD 中
$BD^2=BC^2-CD^2=3^2-(\frac {12}5)^2=(\frac 95)^2$
∴$BD=\frac 95$
(2)△ ABC 为直角三角形，理由如下：
$AB=AD+BD=\frac {16}5+\frac 95=5$
∵$3^2+4^2=5^2$
即$ BC^2+AC^2=AB^2$
∴△ABC 为直角三角形
$CD^2=AC^2-AD^2=4^2-(\frac {16}5)^2=(\frac {12}5)^2$
∴$CD=\frac {12}5$
在 Rt △BCD 中
$BD^2=BC^2-CD^2=3^2-(\frac {12}5)^2=(\frac 95)^2$
∴$BD=\frac 95$
(2)△ ABC 为直角三角形，理由如下：
$AB=AD+BD=\frac {16}5+\frac 95=5$
∵$3^2+4^2=5^2$
即$ BC^2+AC^2=AB^2$
∴△ABC 为直角三角形
10. 如图，在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，$ AB = 10 cm $，$ AC = 6 cm $。动点 $ P $ 从点 $ B $ 出发沿射线 $ BC $ 以 $ 2 cm/s $ 的速度运动，设运动时间为 $ t s $。
（1）求 $ BC $ 的长。
（2）当 $ \triangle ABP $ 为直角三角形时，求 $ t $ 的值。
（1）求 $ BC $ 的长。
（2）当 $ \triangle ABP $ 为直角三角形时，求 $ t $ 的值。
答案
解：(1)在 Rt △ABC 中，
$BC^2=AB^2-AC^2=10^2-6^2=64$
∴BC=8
(2)由题意可知，$BP=2\ \mathrm {t}$
分两种情况讨论：
①当 ∠AP B 为直角时，点 P 与点 C 重合
BP=BC=8，即 t=4
②当 ∠BAP 为直角时，
$BP=2\ \mathrm {t}，$CP=(2t-8)，AC=6
在 Rt△ACP 中，$AP^2=6^2+(2\ \mathrm {t}-8)^2$
在 Rt △BAP 中，$AB^2+AP^2=BP^2$
∴$10^2+6^2+(2t-8)^2=(2t)^2$
解得$ t=\frac {25}4$
∴当△ ABP 为直角三角形时，
t=4 或$ \frac {25}4$
$BC^2=AB^2-AC^2=10^2-6^2=64$
∴BC=8
(2)由题意可知，$BP=2\ \mathrm {t}$
分两种情况讨论：
①当 ∠AP B 为直角时，点 P 与点 C 重合
BP=BC=8，即 t=4
②当 ∠BAP 为直角时，
$BP=2\ \mathrm {t}，$CP=(2t-8)，AC=6
在 Rt△ACP 中，$AP^2=6^2+(2\ \mathrm {t}-8)^2$
在 Rt △BAP 中，$AB^2+AP^2=BP^2$
∴$10^2+6^2+(2t-8)^2=(2t)^2$
解得$ t=\frac {25}4$
∴当△ ABP 为直角三角形时，
t=4 或$ \frac {25}4$
