【变式2】如图,在Rt△ABC中,∠A = 90°,BD平分$∠ABC,BC = 4,S_{△BDC} = 2,$则AD等于( ).

A.4
B.3
C.2
D.1

D

1. 如图,OC平分∠AOB,在OC上取一点P,过点P作PQ⊥OB于点Q.若PQ = 7 cm,则点P到OA的距离为( ).

A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.7 cm

D

2. 如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA于点C,点D在OB上,PC = 3,则PD的取值范围是.

$PD \geq 3$

根据题意，$OP$ 平分 $\angle AOB$，且 $PC \perp OA$ 于点 $C$，$PC = 3$。
由于 $OP$ 平分 $\angle AOB$，根据角平分线的性质，点 $P$ 到 $\angle AOB$ 的两边 $OA$ 和 $OB$ 的距离相等。
即 $PD = PC = 3$（当$PD\perp OB$时），而$P$到OB最远的距离为$OP$长度大于$PC$，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
所以 $PD$ 的最小长度为 3，即 $PD\geq 3$，
又因为点D在OB上，所以PD可以取任意大于或等于3的值吗，即理论上$PD\geq 3$，
而题目问取值范围，即 $PD$ 可以取到的所有可能值，所以取值范围为 $PD \geq 3$ 的所有值中的最小范围，即 $PD \geq 3$（当D点无限接近O点时，PD长度趋于OP长度，而$OP＞PC$，所以PD最小为PC长度时的情况存在，而PD更大时也存在，所以）
而由于D点在OB上，总可以找到一个位置使得PD等于某个大于等于3的值，所以PD取值范围为$PD \geq 3$中的可能范围，即最小从3开始。
考虑到实际情况，PD可以等于3（当 $PD\perp OB$），也可以大于3，所以PD的取值范围是$PD \geq 3$的所有可能中，题目问的是范围，即开区间还是闭区间，由于3可以取到，所以是闭区间，即$PD\geq 3$。

3. 如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,DE⊥AC于点E.若BC = 8,DE = 3,则△BCD的面积为.

12

过点D作DF⊥BC于点F。
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DF=DE=3（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
∵BC=8，
∴△BCD的面积为$\frac{1}{2}×BC×DF=\frac{1}{2}×8×3=12$。

4. 如图,已知BD为∠ABC的平分线,AB = BC,PM⊥AD于点M,PN⊥CD于点N.求证:PM = PN.

PM=PN

∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
AB=BC，∠ABD=∠CBD，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD（SAS）。
∴∠ADB=∠CDB，即DP平分∠ADC。
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。

1. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图,则能说明∠AOC = ∠BOC的依据是( ).

A.“SSS”
B.“ASA”
C.“AAS”
D.角的平分线上的点到角两边的距离相等

A

2. (2025 楚雄期末)如图,在△ABC中,∠C = 90°,AD是∠CAB的平分线.若BD = 6,BC = 9,则点D到AB的距离为( ).

A.1
B.2
C.3
D.4

C