7. 如图，在△ABC中，∠BAC = 60°，∠ABC和∠ACB的平分线分别为BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，则有以下结论：
①∠BPC = 120°；
②AD = AE；
③∠DAP = 30°.
其中正确的为().

A.①③
B.②③
C.①②
D.①②③

A

1. 计算∠BPC：
在△ABC 中，∠BAC = 60°，根据三角形内角和为 180°，可得∠ABC + ∠ACB = 120°。
因为 BE 和 CD 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，所以∠PBC = 1/2∠ABC，∠PCB = 1/2∠ACB。
则∠PBC + ∠PCB = 1/2(∠ABC + ∠ACB)= 60°。
在△BPC 中，根据三角形内角和为 180°，所以∠BPC = 180° - 60° = 120°，故①正确。
2. 判断 AD = AE：
过点 P 作 PF⊥AB 于 F，PG⊥BC 于 G，PH⊥AC 于 H。
因为 BE 和 CD 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以 PF = PG，PG = PH，则 PF = PH。
在 Rt△APF 和 Rt△APH 中，AP = AP，PF = PH，根据 HL 定理可得 Rt△APF≌Rt△APH，所以∠DAP = ∠EAP。
仅由已知条件无法直接证明 AD = AE，故②错误。
3. 计算∠DAP：
由前面已证∠DAP = ∠EAP，且∠BAC = 60°，所以∠DAP = 1/2∠BAC = 30°，故③正确。
综上，①③正确，答案选 A。

8. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O在BD上，过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，OE = OF，连接OA.
(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；
(2)若AC = 5，BC = 12，AB = 13，求OE的长.

(1) 证明：过点O作OG⊥AB于点G，
∵BD平分∠ABC，OE⊥BC，OG⊥AB，
∴OG=OE（角平分线上的点到角两边距离相等），
∵OE=OF，∴OG=OF，
∵OG⊥AB，OF⊥AC，
∴点O在∠BAC的平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
(2) 解：设OE=OF=OG=x，
∵∠C=90°，AC=5，BC=12，
∴S△ABC=1/2×AC×BC=1/2×5×12=30，
连接OC，S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO，
∵S△ABO=1/2×AB×OG=1/2×13x，
S△BCO=1/2×BC×OE=1/2×12x，
S△ACO=1/2×AC×OF=1/2×5x，
∴1/2×13x + 1/2×12x + 1/2×5x = 30，
即(13x + 12x + 5x)/2 = 30，
30x/2 = 30，15x=30，解得x=2，
∴OE=2。

9. (推理能力)如图，P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P转动的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点.
(1)求证：PM = PN.
(2)OM + ON的值是否为定值？请说明理由.

(1) 证明：过点P作PC⊥OA于C，PD⊥OB于D。
∵OP平分∠AOB，∴PC=PD。
∵∠AOB + ∠MPN=180°，∠OCP=∠ODP=90°，
∴∠CPD=360°-∠OCP-∠ODP-∠AOB=180°-∠AOB=∠MPN。
∴∠CPD-∠MPD=∠MPN-∠MPD，即∠CPM=∠DPN。
在△PCM和△PDN中，
∵∠PCM=∠PDN=90°，PC=PD，∠CPM=∠DPN，
∴△PCM≌△PDN(ASA)，∴PM=PN。
(2) 是定值。理由如下：
∵△OCP≌△ODP(HL)，∴OC=OD（定值）。
∵△PCM≌△PDN，∴CM=DN。
∴OM+ON=(OC+CM)+(OD-DN)=OC+OD=2OC（定值）。
即OM+ON为定值。